Função afim: o polinômio do primeiro grau
Um aplicativo de transporte cobra uma taxa fixa para você entrar no carro e mais um valor por quilômetro rodado. Se você sabe os dois valores, consegue prever o preço de qualquer corrida? Esse tipo de situação é descrito pela função mais simples depois da constante: a função afim, cujo gráfico é sempre uma reta.
A função afim e seus coeficientes
Mexa nos controles: $m$ inclina a reta (se $m > 0$ ela sobe, se $m < 0$ ela desce) e $n$ a desloca para cima ou para baixo.
Identifique o coeficiente angular $m$ e o coeficiente linear $n$ das seguintes funções lineares: a) $y = -4x + 7$ b) $y = \frac{2}{5}x$ c) $y = -3$
Identifique o coeficiente angular $m$ e o coeficiente linear $n$ das seguintes funções lineares:
- a) $y = -4x + 7$
- b) $y = \frac{2}{5}x$
- c) $y = -3$
Escreva a equação da reta que tem coeficiente angular igual a $5$ e cujo coeficiente linear é $-2$.
Escreva a equação da reta que tem coeficiente angular igual a $5$ e cujo coeficiente linear é $-2$.
Classifique as seguintes funções em função de proporcionalidade direta (linear), função afim ou função constante: a) $f(x) = 3x - 1$ b) $g(x) = \frac{x}{4}$ c) $h(x) = 8$
Classifique as seguintes funções em função de proporcionalidade direta (linear), função afim ou função constante:
- a) $f(x) = 3x - 1$
- b) $g(x) = \frac{x}{4}$
- c) $h(x) = 8$
Imagem, pré-imagem e zero da função
Calcular a imagem de $p$ é fazer $f(p)$: substituir $x$ por $p$. Achar a pré-imagem de $q$ é descobrir qual $x$ dá $f(x) = q$, o que exige resolver a equação $ax + b = q$. O caso $q = 0$ dá o zero (ou raiz) da função, onde a reta corta o eixo $x$: $x = -\dfrac{b}{a}$.
Quando $x$ passa pelo zero, o sinal de $f$ muda. Se $a > 0$: $f(x) > 0$ para $x$ maior que o zero e $f(x) < 0$ para $x$ menor. Se $a < 0$, é o contrário. Esse é o estudo do sinal da função afim.
A tarifa de um táxi é dada pela função $C(x) = 1,50x + 3$, onde $C(x)$ é o custo em reais e $x$ é a distância percorrida em quilômetros. Quanto custará uma viagem de $8$…
A tarifa de um táxi é dada pela função $C(x) = 1,50x + 3$, onde $C(x)$ é o custo em reais e $x$ é a distância percorrida em quilômetros. Quanto custará uma viagem de $8$ quilômetros?
Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados (eixo X e eixo Y) da reta $y = 3x - 12$.
Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados (eixo X e eixo Y) da reta $y = 3x - 12$.
Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $y = kx + 5$ passe pelo ponto $(3, -4)$.
Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $y = kx + 5$ passe pelo ponto $(3, -4)$.
Pertinência de um ponto ao gráfico
Um ponto $P(p, q)$ pertence ao gráfico de $f$ se, e somente se, $f(p) = q$. Basta substituir e comparar.
Verifique analiticamente se os pontos $A(2, 5)$ e $B(-1, -3)$ pertencem ao gráfico da função $y = 2x + 1$.
Verifique analiticamente se os pontos $A(2, 5)$ e $B(-1, -3)$ pertencem ao gráfico da função $y = 2x + 1$.
A partir da seguinte representação gráfica, determine o coeficiente angular, o coeficiente linear e a equação da reta.
A partir da seguinte representação gráfica, determine o coeficiente angular, o coeficiente linear e a equação da reta.
Como encontrar a lei da função
O coeficiente angular mede quanto $y$ varia para cada unidade de $x$:
$$a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$Isso vale para quaisquer dois pontos da reta, porque a inclinação de uma reta não muda. Depois, você acha $b$ substituindo um ponto em $y = ax + b$.
Duas retas são paralelas quando têm o mesmo coeficiente angular. Se $y = 3x - 2$, qualquer reta paralela é $y = 3x + b$, e o ponto dado determina $b$.
Para achar onde duas retas se cruzam, iguale as leis: $4x - 5 = -2x + 7 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2$, e então $y = 3$. O ponto de interseção é $(2, 3)$.
Encontre a equação da reta que tem coeficiente angular $m = -2$ e que passa pelo ponto $(1, 4)$.
Encontre a equação da reta que tem coeficiente angular $m = -2$ e que passa pelo ponto $(1, 4)$.
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$.
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$.
Determine a equação da reta que é paralela a $y = 3x - 2$ e que passa pelo ponto $(-1, 4)$.
Determine a equação da reta que é paralela a $y = 3x - 2$ e que passa pelo ponto $(-1, 4)$.
Determine analiticamente o ponto de interseção das retas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Verifique se o seu resultado coincide com o ponto indicado no gráfico a seguir.
Determine analiticamente o ponto de interseção das retas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Verifique se o seu resultado coincide com o ponto indicado no gráfico a seguir.
A reta $r$ passa pelos pontos $(1, 2)$ e $(3, 8)$. A reta $s$ é paralela a $r$ e o seu coeficiente linear é a metade do coeficiente linear de $r$. Determine a equação da…
A reta $r$ passa pelos pontos $(1, 2)$ e $(3, 8)$. A reta $s$ é paralela a $r$ e o seu coeficiente linear é a metade do coeficiente linear de $r$. Determine a equação da reta $s$.
Modelagem com funções afins
Ao ler um problema, procure primeiro o valor fixo (que não depende de $x$): é o coeficiente linear $b$. Depois procure a taxa de variação, quanto $y$ muda por unidade de $x$: é o coeficiente angular $a$.
Quando a quantidade diminui com o tempo, o coeficiente angular é negativo. Um reservatório com $800$ L que perde $20$ L por minuto tem $V(t) = 800 - 20t$, e esvazia quando $800 - 20t = 0$, isto é, em $t = 40$ min.
Outro uso importante: custo, receita e lucro. Com custo $C(x)$ e receita $R(x)$, o lucro é $L(x) = R(x) - C(x)$. Para um lucro mínimo, resolve-se uma inequação do primeiro grau.
Um encanador cobra $30$ reais pelo deslocamento até a residência, mais $15$ reais por hora de trabalho. Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo com…
Um encanador cobra $30$ reais pelo deslocamento até a residência, mais $15$ reais por hora de trabalho. Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo com o tempo trabalhado e calcule quanto ele cobrará por um conserto que leva $3,5$ horas.
Um reservatório de água contém inicialmente $800$ litros e está se esvaziando a um ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escreva a função que relaciona o volume de…
Um reservatório de água contém inicialmente $800$ litros e está se esvaziando a um ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escreva a função que relaciona o volume de água no reservatório com o tempo decorrido e calcule em qual minuto o reservatório ficará completamente vazio.
A relação entre a temperatura em graus Celsius ($^\circ C$) e graus Fahrenheit ($^\circ F$) é linear. Sabemos que a água congela a $0^\circ C$, que equivale a…
A relação entre a temperatura em graus Celsius ($^\circ C$) e graus Fahrenheit ($^\circ F$) é linear. Sabemos que a água congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, e ferve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Encontre a função linear que permite converter graus Celsius ($x$) para graus Fahrenheit ($y$).
Uma fábrica de tênis tem custos fixos mensais de $5000$ reais. Além disso, produzir cada par de tênis custa $15$ reais. Se a empresa vende cada par por $40$ reais,…
Uma fábrica de tênis tem custos fixos mensais de $5000$ reais. Além disso, produzir cada par de tênis custa $15$ reais. Se a empresa vende cada par por $40$ reais, escreva as funções de custo $C(x)$ e receita $R(x)$. Quantos pares de tênis devem vender por mês para obter um lucro de pelo menos $2000$ reais?
Função inversa de uma função afim
Se $y = ax + b$ com $a \neq 0$, cada valor de $y$ vem de um único $x$. Então dá para "desfazer" a função: isolamos $x$ em função de $y$ e trocamos os papéis das variáveis. Essa é a função inversa.
Função definida por partes
Em algumas situações a regra muda a partir de certo valor. Então a função é definida por partes: uma lei afim para cada intervalo. Veja mais em ELE-TROZ.
Para ler um gráfico por partes (como o de um ciclista), ache a lei de cada trecho com dois pontos. A velocidade de cada trecho é o coeficiente angular $\dfrac{\Delta d}{\Delta t}$, em valor absoluto.
Um estacionamento cobra $2,50$ reais pela primeira hora (ou fração de hora). A partir da primeira hora, cobra $0,05$ reais por minuto adicional. Escreva a função…
Um estacionamento cobra $2,50$ reais pela primeira hora (ou fração de hora). A partir da primeira hora, cobra $0,05$ reais por minuto adicional. Escreva a função definida por partes $C(t)$ que representa o custo total em reais em função do tempo $t$, em minutos, que um veículo fica estacionado.
O comprimento $L$ de uma mola elástica, medido em centímetros, é dado pela função $L(p) = 15 + 0,2p$, onde $p$ é o peso pendurado em gramas. Determine a expressão da…
O comprimento $L$ de uma mola elástica, medido em centímetros, é dado pela função $L(p) = 15 + 0,2p$, onde $p$ é o peso pendurado em gramas. Determine a expressão da função inversa $p(L)$ e utilize-a para calcular qual peso foi pendurado se a mola mede exatamente $22$ cm.
O gráfico a seguir mostra a distância a que um ciclista se encontra de sua casa em função do tempo. Determine a expressão algébrica definida por partes da função $d(t)$…
O gráfico a seguir mostra a distância a que um ciclista se encontra de sua casa em função do tempo. Determine a expressão algébrica definida por partes da função $d(t)$ e calcule qual foi a velocidade constante do ciclista durante a viagem de volta.
Voltando ao começo: com a taxa fixa ($b$) e o valor por quilômetro ($a$), a corrida custa $C(x) = ax + b$, e você pode prever o preço de qualquer distância.