Exercícios: Progressões aritméticas

Observe as seguintes sequências de números. Sua tarefa consiste em identificar quais delas são progressões aritméticas.

Para aquelas que forem, indique qual é a razão ($d$) constante entre seus termos e calcule o número que viria na posição seguinte.

1. a) $5, 9, 13, 17, \dots$
2. b) $2, 4, 8, 16, \dots$
3. c) $20, 15, 10, 5, \dots$
4. d) $1, 1, 2, 3, 5, \dots$

Em um supermercado, estão montando uma exibição de latas de molho de tomate em forma de pirâmide triangular plana contra uma parede.

Na fileira superior (o topo), colocam 1 lata. Na fileira logo abaixo, colocam 2 latas, na terceira fileira 3 latas, e assim sucessivamente, aumentando uma lata a cada nível que descem.

Se a pirâmide tem um total de 8 fileiras de altura:

1. a) Escreva a sequência que representa o número de latas em cada fileira.
2. b) Quantas latas haverá na última fileira (a da base)?

Dada a seguinte progressão aritmética:

1. Identifique o primeiro termo ($a_1$) e a razão ($d$).

2. Usando a fórmula do termo geral $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$, calcule o valor do termo que ocupa a posição 20 ($a_{20}$).

Ana decidiu economizar para comprar uma bicicleta nova. Em seu cofrinho ela já tem 50 reais que ganhou de aniversário. Ela decidiu que, a partir da próxima semana, guardará 5 reais da sua mesada toda semana sem falta.

1. a) Escreva a economia total que Ana terá ao final da semana 1, semana 2, semana 3 e semana 4.
2. b) De que tipo de progressão se trata e qual é a razão?
3. c) Calcule quanto dinheiro ela terá acumulado na semana 12.

Calcule a soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética sabendo que:

• O primeiro termo é $a_1 = 3$.

• O último termo a somar é $a_{15} = 45$.

Lembre-se de usar a fórmula da soma de uma progressão aritmética:

Em um restaurante, juntam-se mesas quadradas para formar uma mesa longa de comemoração.

• Se for usada 1 mesa isolada, cabem 4 pessoas (uma de cada lado).

• Se forem juntadas 2 mesas, cabem 6 pessoas.

• Se forem juntadas 3 mesas, cabem 8 pessoas.

Observe o desenho e responda:

1. a) Quantas pessoas cabem se juntarmos 4 mesas?
2. b) Qual é a diferença constante de pessoas que cabem para cada mesa extra que adicionamos?
3. c) Calcule quantas pessoas caberiam se juntarmos uma fileira de 10 mesas.

Encontre o termo geral ($a_n$) das seguintes progressões aritméticas dadas por seus primeiros termos. Expresse-o da forma mais simplificada possível (por exemplo: $a_n = 3n + 2$).

1. a) $2, 4, 6, 8, \dots$
2. b) $5, 8, 11, 14, \dots$
3. c) $10, 8, 6, 4, \dots$

Uma planta de bambu cresce muito rápido e de maneira constante sob condições controladas de laboratório.

No dia 1, a planta mede 15 cm de altura.

No dia 2, a planta mede 18 cm de altura.

Sabendo que seu crescimento segue uma progressão aritmética:

1. a) Quantos centímetros a planta cresce a cada dia ($d$)?
2. b) Quanto a planta medirá no dia 7?

Num teste de 3.º de ESO, pede-se para calcular o termo que ocupa a posição 12 ($a_{12}$) na progressão aritmética decrescente: $18, 14, 10, 6, \dots$

A Claudia resolve no caderno dela da seguinte maneira:

«A diferença é $d = 4$ porque os números vão de 4 em 4.

Aplico a fórmula do termo geral: $a_{12} = a_1 + 12 \cdot d = 18 + 12 \cdot 4 = 18 + 48 = 66$.»

1. a) Encontre e explique detalhadamente os dois erros conceituais cometidos pela Claudia no raciocínio dela.
2. b) Corrija o exercício passo a passo, calculando o valor real da diferença $d$ e o valor correto do termo $a_{12}$.
3. c) Sem fazer operações complexas, por que é evidente que o resultado obtido pela Claudia ($66$) não faz nenhum sentido ao olhar para os primeiros termos da sequência?

Imagine que é você quem está elaborando os exercícios para uma prova escrita da sua turma. Você deve inventar duas progressões aritméticas distintas que cumpram uma mesma condição: em ambas, o oitavo termo deve valer exatamente 30 ($a_8 = 30$).

1. a) Construa uma primeira progressão que seja crescente e cuja razão seja um número par ($d > 0$). Indique o valor que você escolheu para $d$, calcule o primeiro termo dela $a_1$ e escreva a expressão simplificada do termo geral dela $a_n$.
2. b) Construa uma segunda progressão que seja decrescente ($d < 0$) e cujo primeiro termo seja maior do que 50 ($a_1 > 50$). Mostre os valores escolhidos para $d$ e $a_1$, e escreva o termo geral dela $a_n$.
3. c) Verifique numericamente, em ambas as progressões, que, ao substituir $n = 8$ nas suas fórmulas, se obtém exatamente 30.

Dada a sequência aritmética formada pelos números: $7, 11, 15, 19, \dots$

1. a) Escreva a fórmula do termo geral $a_n$.
2. b) Calcule o valor do termo que ocupa a posição 30 ($a_{30}$).
3. c) Determine qual posição ocupa o número $127$ nesta sequência.

Em uma progressão aritmética, sabemos que o terceiro termo ($a_3$) vale $12$ e o oitavo termo ($a_8$) vale $27$.

Calcule a razão $d$ da progressão e escreva o valor do primeiro termo $a_1$.

Lucas está economizando para comprar uma bicicleta nova. Na primeira semana guarda $25$ reais em seu cofrinho. Ele se propôs a aumentar a quantidade que guarda a cada semana em $2,50$ reais em relação à semana anterior. Ou seja, na segunda semana guarda $27,50$ reais, na terceira $30$ reais, e assim sucessivamente.

Se mantiver esse ritmo:

1. a) Quanto dinheiro terá que guardar no cofrinho na semana número 12?
2. b) Quanto dinheiro terá acumulado no total ao finalizar a semana 12?

Um auditório tem suas poltronas dispostas em forma de trapézio. A primeira fileira (a mais próxima do palco) tem $15$ assentos. Cada fileira seguinte tem $2$ assentos a mais que a anterior.

Se o auditório tem um total de $20$ fileiras:

1. a) Quantos assentos tem a última fileira?
2. b) Qual é a capacidade total (número total de poltronas) do auditório?

Calcule a soma de todos os múltiplos de $3$ que existem entre $100$ e $200$.

As medidas dos quatro ângulos de um quadrilátero formam uma progressão aritmética. Sabendo que o menor ângulo mede $60^{\circ}$, calcule a medida dos outros três ângulos.

Lembre-se: A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre $360^{\circ}$.

Em um armazém, estão empilhando tubos de PVC formando uma estrutura triangular. Na fileira inferior (a base), colocaram $18$ tubos. Na fileira imediatamente superior, puseram $17$ tubos, na seguinte $16$, e assim sucessivamente até coroar a pilha com um único tubo no topo.

1. a) Quantas fileiras de tubos foram empilhadas no total?
2. b) Quantos tubos há no total na estrutura?

Queremos colocar $5$ postes de sinalização em uma rodovia reta que une duas cidades situadas no quilômetro $10$ e no quilômetro $28$, respectivamente. Os postes devem ser colocados entre as duas cidades de modo que a distância entre postes seja sempre a mesma, e também seja igual à distância da primeira cidade ao primeiro poste e do último poste à segunda cidade.

Calcule em qual ponto quilométrico exato deve ser colocado cada um dos $5$ postes.

Para se preparar para a tradicional corrida de São Silvestre (10 km) em São Paulo, o Lucas planeja um treino de 14 dias seguidos. No primeiro dia corre $3\text{ km}$, e a cada dia decide aumentar a distância percorrida em $0,5\text{ km}$ em relação ao dia anterior ($a_1 = 3$, $d = 0,5$).

1. a) Estime: Antes de calcular qualquer coisa com fórmulas exatas, estime mentalmente se a distância total acumulada durante os 14 dias superará os $80\text{ km}$. Para fundamentar a sua estimativa, pense na distância aproximada que ele correrá no meio do plano (por exemplo, no dia 7) e multiplique-a pelos 14 dias. Explique por que esse produto aproxima bem a soma total.
2. b) Calcule: Determine a distância exata que ele correrá no último dia ($a_{14}$) e, aplicando a fórmula da soma de uma progressão aritmética $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, calcule os quilômetros totais que ele terá percorrido ao final dos 14 dias.
3. c) Verifique e avalie: Compare a sua estimativa inicial com o resultado exato. A sua previsão foi acertada? Que relação matemática existe entre o valor do dia intermediário e a média entre o primeiro e o último termo $\frac{a_1 + a_{14}}{2}$?

Segundo registros da Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), numa atmosfera estável a temperatura diminui de forma aproximadamente constante $0,65\,^\circ\text{C}$ para cada $100\text{ m}$ que se sobe em altitude (gradiente térmico vertical). Em um dia ensolarado de primavera, às 11:00 h registra-se uma temperatura de $14,2\,^\circ\text{C}$ em uma aldeia de montanha, situada a $1500\text{ m}$ de altitude. Estabelecem-se pontos de controle altimétricos a cada $100\text{ m}$ de subida em direção ao pico: o ponto 1 está a $1500\text{ m}$ ($a_1 = 14,2$), o ponto 2 a $1600\text{ m}$, o ponto 3 a $1700\text{ m}$, etc.

1. a) Modele a temperatura dos pontos de controle como uma progressão aritmética: identifique o valor da diferença $d$ e escreva a fórmula do termo geral $a_n$ em função do número do ponto de controle $n$.
2. b) O refúgio encontra-se a uma altitude de $2500\text{ m}$. Qual número de ponto de controle $n$ corresponde a ele e que temperatura será registrada lá nessa mesma hora?
3. c) Nessa mesma encosta, a que altitude exata se atingiria a temperatura de congelamento ($0\,^\circ\text{C}$)? Justifique de forma fundamentada se essa cota coincide exatamente com algum dos pontos de controle da progressão ou se situa entre dois deles.

Um parque de aventuras quer instalar uma nova tirolesa. O design da estrutura forma um triângulo retângulo como mostrado na figura. O engenheiro determinou que os comprimentos dos três lados do triângulo (a base no solo, o poste vertical e o cabo da tirolesa) devem formar uma progressão aritmética.

Se sabemos que a razão dessa progressão é de $6\text{ m}$ (ou seja, cada lado mede 6 metros a mais que o anterior), calcule:

1. O comprimento de cada um dos três lados.

2. O comprimento total de cabo e material necessário para formar o perímetro do triângulo.

(Dica: Lembre-se do Teorema de Pitágoras $a^2 + b^2 = c^2$ e equacione os lados em função da razão).

Em um armazém de suprimentos de encanamento, os tubos de PVC são empilhados formando uma estrutura trapezoidal para economizar espaço e manter o equilíbrio.

Na fileira inferior (a base) há 35 tubos. Na fileira superior (o topo) há 5 tubos. Cada fileira tem um tubo a menos que a fileira imediatamente inferior.

1. Quantas fileiras de altura tem a pilha?

2. Quantos tubos de PVC estão armazenados no total nesta estrutura?

Os ângulos internos de um pentágono convexo (polígono de 5 lados) estão em progressão aritmética.

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono é calculada pela fórmula $(n-2) \cdot 180^{\circ}$, onde $n$ é o número de lados. Se o menor ângulo do pentágono mede $72^{\circ}$:

1. Calcule a razão $d$ da progressão.

2. Determine quanto mede o maior ângulo.

3. Escreva a medida dos cinco ângulos.

Uma ciclista está treinando para uma competição e segue um plano de treinamento progressivo durante 14 dias.

O plano estabelece que a cada dia ela deve percorrer uma distância determinada, aumentando essa distância em uma quantidade fixa de quilômetros em relação ao dia anterior.

Sabemos que:

• O terceiro dia ($a_3$) percorreu 24 km.

• O último dia ($a_{14}$) percorreu 79 km.

Responda de forma justificada:

1. Quantos quilômetros ela percorreu no primeiro dia?

2. Qual é o incremento diário de distância ($d$)?

3. Calcule a distância total acumulada que ela terá percorrido ao finalizar os 14 dias de treinamento.

Três números formam uma progressão aritmética. Sabemos que sua soma é igual a 33 e que seu produto é igual a 1287.

Monte um sistema de equações utilizando as propriedades das progressões aritméticas (você pode chamar os termos de $x-d$, $x$ e $x+d$ para simplificar) e encontre o valor desses três números.

A plateia de um auditório de música tem a forma de um trapézio isósceles. Devido a essa forma, cada fila tem mais lugares do que a anterior.

• A primeira fila (a mais próxima do palco) tem 20 lugares.

• O auditório tem um total de 780 lugares.

• Cada fila tem 2 lugares a mais do que a fila imediatamente anterior.

Utilizando as fórmulas da soma de uma progressão aritmética ($S_n$), escreva uma equação do segundo grau para determinar quantas filas ($n$) o auditório tem no total.

Deseja-se instalar uma cerca de segurança em uma rodovia reta. Os postes da cerca devem ser colocados a distâncias regulares, formando uma progressão aritmética.

Sabemos que:

• O poste número 11 está no ponto quilométrico 5,4.

• A distância entre o poste número 5 e o poste número 20 é de 450 metros ($0,45\text{ km}$).

Calcule:

1. A distância de separação entre cada poste (razão da progressão).

2. Em qual ponto quilométrico será colocado o primeiro poste.

Uma empresa de tecnologia oferece dois tipos de contrato salarial a um engenheiro para um projeto de 5 anos (60 meses):

• Opção A: Um salário inicial de $\text{R\$}\ 1500$ mensais, com um aumento de $\text{R\$}\ 20$ a cada mês em relação ao mês anterior (progressão aritmética mensal).

• Opção B: Um salário fixo de $\text{R\$}\ 24.000$ no primeiro ano, com um aumento anual de $\text{R\$}\ 3.000$ a cada ano seguinte (progressão aritmética anual).

Calcule o total de dinheiro ganho nos 5 anos completos com cada opção e determine qual é a mais vantajosa economicamente para o engenheiro. (Nota: Na opção A você deve somar 60 termos; na opção B você deve somar 5 termos anuais).

Numa progressão aritmética não conhecemos nem o primeiro termo nem a diferença, mas sabemos que o sexto termo é 19 ($a_6 = 19$) e o décimo quinto termo é 64 ($a_{15} = 64$). Precisamos de descobrir o termo que ocupa a posição 40 ($a_{40}$).

Dois estudantes de 3.º de ESO propõem duas estratégias diferentes:

• Método do Sergio: Formular o sistema de duas equações com duas incógnitas formado por $a_1 + 5d = 19$ e $a_1 + 14d = 64$, resolvê-lo para encontrar $a_1$ e $d$, e depois calcular $a_{40} = a_1 + 39d$.

• Método da Laura: Dar-se conta de que para passar do termo 6 ao 15 são dados 9 passos: $a_{15} = a_6 + 9d$. Isolar $d$ diretamente dessa única equação e, de seguida, calcular $a_{40}$ avançando a partir de $a_{15}$ com a fórmula $a_{40} = a_{15} + (40 - 15) \cdot d$, sem calcular $a_1$.

1. a) Resolva o problema seguindo os passos do método do Lucas até encontrar $a_{40}$.
2. b) Resolva o problema seguindo os passos do método da Laura e verifique se chega à mesma solução.
3. c) Compare ambos os métodos: qual você considera mais eficiente e com menor risco de cometer erros de cálculo? Justifique a sua resposta.
4. d) Se, além disso, o problema pedisse para você calcular a soma dos primeiros 40 termos ($S_{40}$), o método da Laura continuaria sendo mais curto ou a abordagem do Lucas ganharia vantagem? Justifique por quê.

Uma empresa de distribuição de encomendas urbanas em São Paulo renova sua frota com vans elétricas por meio de um contrato de leasing de 24 meses (2 anos). No primeiro mês de utilização, uma van percorre $3200\text{ km}$ ($a_1 = 3200$). Devido ao envelhecimento gradual das baterias e à manutenção, a empresa assume que a cada mês a van percorrerá uma quantidade fixa de quilômetros a menos do que no mês anterior, descrevendo uma progressão aritmética decrescente de diferença $d$.

1. a) A empresa estabelece que, por rentabilidade logística, a quilometragem do último mês do contrato (mês 24) não deve ser inferior a $2050\text{ km}$ ($a_{24} \ge 2050$). Determine qual é a redução mensal máxima admissível (o valor-limite da diferença $d$).
2. b) Assumindo que a redução mensal é exatamente essa diferença limite obtida no item anterior, calcule a distância total acumulada que a van terá percorrido durante os 24 meses do contrato ($S_{24}$).
3. c) Em uma reunião de diretoria, um gestor propõe um objetivo comercial alternativo: «Mantendo o início de $3200\text{ km}$ no mês 1, devemos conseguir que a van acumule um total de pelo menos $80\,000\text{ km}$ nos 24 meses, permitindo que a quilometragem diminua mês a mês ($d < 0$)». Demonstre matematicamente, a partir das propriedades da soma de uma progressão aritmética, se a proposta deste gestor é possível ou matematicamente inviável.