Exercícios: Progressões aritméticas

Indique quais das seguintes sequências são progressões aritméticas e, nesse caso, dê a diferença:

1. a) $4, 7, 10, 13, \ldots$

1. b) $2, 4, 8, 16, \ldots$

1. c) $20, 17, 14, 11, \ldots$

1. d) $1, 1, 1, 1, \ldots$

1. e) $3, 7, 12, 18, \ldots$

Uma progressão aritmética tem primeiro termo $a_1 = 5$ e diferença $d = 3$.

1. a) Escreva os cinco primeiros termos.

1. b) Escreva o termo geral $a_n$.

1. c) Calcule $a_{10}$.

Em uma progressão aritmética, $a_1 = 2$ e $a_5 = 14$.

1. a) Calcule a diferença.

1. b) Escreva o termo geral.

1. c) Que posição ocupa o termo $26$?

Considere a progressão aritmética $3, 7, 11, \ldots$

1. a) Calcule a soma dos seus $10$ primeiros termos.

1. b) Verifique o resultado calculando primeiro $a_{10}$ e aplicando a fórmula da soma.

A Elena quer economizar para a sua viagem de formatura. Começa guardando $\text{R\$}\ 25$ no primeiro mês e decide aumentar a sua contribuição em $\text{R\$}\ 5$ a cada mês durante um ano completo (12 meses). Para saber quanto dinheiro vai juntar, escreve no seu caderno:

$$a_{12} = 25 + (12 - 1)\cdot 5 = 25 + 55 = \text{R\$}\ 80$$

E conclui: «Fantástico! Ao terminar o ano terei $\text{R\$}\ 80$ economizados para a viagem».

1. a) Identifique e explique detalhadamente o erro conceitual cometido pela Elena ao interpretar o resultado de $a_{12}$. O que representa na realidade essa quantia de $\text{R\$}\ 80$?
2. b) Corrija o cálculo aplicando a fórmula adequada para determinar a quantia total que a Elena terá acumulado no cofrinho ao fim dos 12 meses.
3. c) Se a viagem custar $\text{R\$}\ 600$, determine, justificando, se o dinheiro economizado será suficiente ou quanto faltará ou sobrará.

Um estudante abre uma conta-cofrinho para custear as suas despesas com ônibus durante o ano letivo. No primeiro mês deposita $\text{R\$}\ 40$ e em cada mês acrescenta mais $\text{R\$}\ 10$ do que no mês anterior, mantendo esse plano ao longo de 10 meses.

1. a) Antes de fazer cálculos detalhados, estime de forma fundamentada se o total poupado ao fim dos 10 meses estará mais próximo de $\text{R\$}\ 400$, de $\text{R\$}\ 850$ ou de $\text{R\$}\ 1.500$. Justifique a sua estimativa pensando em uma parcela mensal representativa (a parcela média entre o primeiro e o último mês).
2. b) Modele a situação por meio de uma progressão aritmética: identifique o primeiro termo $a_1$, a razão $d$ e calcule o valor exato depositado no décimo mês ($a_{10}$).
3. c) Calcule a soma total acumulada $S_{10}$ e avalie se a sua estimativa inicial foi acertada ou não, explicando a que se deve a coincidência ou o desvio.

Uma caderneta de poupança a $3 \%$ de juros simples anuais parte de um capital de $\text{R\$}\ 2.000$ que não é retirado: a cada ano são adicionados os mesmos juros sobre o capital inicial.

1. a) Por que os capitais ano a ano formam uma progressão aritmética? Indique o seu primeiro termo e a sua razão.

1. b) Escreva o termo geral do capital acumulado ao final de $n$ anos.

1. c) Qual será o capital aos $6$ anos? E aos $15$?

Para a viagem de formatura, uma aluna decide economizar seguindo uma escada: $\text{R\$}\ 10$ na primeira semana e, em cada semana seguinte, $\text{R\$}\ 5$ a mais do que na anterior, como mostra a figura.

1. a) Quanto economizará na semana $12$?

1. b) Quanto terá acumulado no total após essas $12$ semanas?

1. c) A viagem custa $\text{R\$}\ 650$. O valor acumulado em $16$ semanas de economia será suficiente? Justifique.

Interpole quatro meios aritméticos entre $3$ e $18$ (ou seja, construa uma progressão aritmética de seis termos cujos extremos são $3$ e $18$).

1. a) Calcule a diferença da progressão.

1. b) Escreva os seis termos.

1. c) Verifique que a soma dos seis termos coincide com a fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

O anfiteatro de um parque tem $22$ assentos na primeira fileira, e cada fileira posterior tem $4$ assentos a mais do que a anterior.

1. a) Quantos assentos tem a fileira $8$?

1. b) Quantos assentos há no total nas $8$ primeiras fileiras?

1. c) Para um show são necessários $600$ lugares. Quantas fileiras completas são necessárias, no mínimo?

A figura representa com barras os seis primeiros termos de uma progressão aritmética.

1. a) Leia no gráfico o primeiro termo $a_1$ e a diferença $d$, e explique por que as alturas das barras estão alinhadas em linha reta.

1. b) Escreva o termo geral $a_n$.

1. c) Calcule $a_{20}$ e a soma dos $20$ primeiros termos.

Considere as progressões aritméticas $a_n$, com $a_1 = 7$ e diferença $2$, e $b_n$, com $b_1 = 40$ e diferença $-1$.

1. a) Escreva o termo geral de cada uma.

1. b) Existe algum valor de $n$ para o qual $a_n = b_n$? Calcule-o.

1. c) Interprete o resultado: descreva em palavras como evolui cada progressão e o que significa o termo comum.

Uma cooperativa de crédito em Minas Gerais concebe um programa de microcréditos de $\text{R\$}\ 3.960$ para empreendedores, que deve ser reembolsado em 12 mensalidades decrescentes estruturadas em uma progressão aritmética. Por política social da entidade, são impostas duas condições: a soma das 12 prestações deve amortizar exatamente o total em dívida ($\text{R\$}\ 3.960$) e a primeira prestação deve ser exatamente o dobro da última ($a_1 = 2\cdot a_{12}$).

1. a) A partir da fórmula da soma de uma progressão aritmética, formule uma equação que relacione $a_1$ e $a_{12}$ com o capital total, e deduza o montante exato da primeira prestação ($a_1$) e da última ($a_{12}$).
2. b) Com os valores obtidos, calcule a razão $d$ da progressão e escreva o termo geral $a_n$ que determina o pagamento de qualquer mês $n$.
3. c) Interprete o sinal da razão $d$ neste contexto financeiro e justifique de forma fundamentada por que um esquema de prestações decrescentes pode ser vantajoso para um negócio em início de atividade, em comparação com uma prestação constante tradicional.

Para financiar a mensalidade de um mestrado universitário que custa $\text{R\$}\ 5.400$, uma graduada no Brasil estabelece um plano de poupança mensal durante 2 anos (24 meses). No primeiro mês deposita $\text{R\$}\ 110$ e se compromete a aumentar a sua contribuição mensal em uma quantia fixa constante $d$ a cada mês subsequente.

1. a) Modele o plano de poupança por meio de uma progressão aritmética e obtenha a expressão algébrica simplificada do capital total acumulado $S_{24}$ em função da razão $d$.
2. b) Calcule o aumento mensal exato $d$ que ela deve aplicar para reunir exatamente os $\text{R\$}\ 5.400$ ao concluir o mês 24. Com esse valor de $d$, determine qual será a contribuição feita no último mês ($a_{24}$).
3. c) Ao fim de 12 meses (exatamente metade do tempo previsto), ela terá conseguido poupar metade do custo da mensalidade ($\text{R\$}\ 2.700$)? Calcule $S_{12}$ e justifique quantitativamente por que, nos planos com contribuições crescentes, a poupança acumulada não cresce de forma diretamente proporcional ao tempo decorrido.

Quantos termos da progressão aritmética $5, 9, 13, \ldots$ é necessário somar para obter $377$?

1. a) Escreva o termo geral $a_n$ e a expressão da soma $S_n$ dos $n$ primeiros termos.

1. b) Modele a equação $S_n = 377$ e resolva-a. Por que razão se deve descartar uma das soluções da equação de segundo grau?

As medidas dos três lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão $d > 0$.

1. a) Expresse os três lados em função do lado médio $b$ e da razão $d$, e aplique o teorema de Pitágoras.

1. b) Demonstre que os lados são necessariamente proporcionais a $3$, $4$ e $5$.

1. c) Dê um exemplo concreto de triângulo retângulo cujos lados formam uma progressão aritmética de razão $7$.

Justifique se as seguintes afirmações sobre progressões aritméticas são verdadeiras ou falsas, demonstrando-as ou dando um contraexemplo:

1. a) «Três números $a$, $b$ e $c$ estão em progressão aritmética se e somente se $b = \frac{a + c}{2}$.»

1. b) «Em uma progressão aritmética, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é sempre a mesma: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \ldots$»

1. c) «Se for somada uma mesma quantidade a todos os termos de uma progressão aritmética, a diferença muda.»

Um pai oferece à sua filha dois planos de mesada:

• Plano A: $\text{R\$}\ 20$ no primeiro mês, aumentando $\text{R\$}\ 2$ a cada mês.

• Plano B: $\text{R\$}\ 8$ no primeiro mês, aumentando $\text{R\$}\ 3$ a cada mês.

1. a) Escreva o termo geral da mesada de cada plano no mês $n$.

1. b) Em que mês a mesada de ambos os planos coincide pela primeira vez?

1. c) Em que mês o total acumulado do plano B supera pela primeira vez o do plano A? Justifique utilizando as fórmulas da soma e por tentativa e erro fundamentada.

Um investidor aplica um capital inicial $C_0$ em um depósito bancário remunerado a uma taxa de juro simples anual de $4\text{ \%}$ ($r = 0,04$). Ele quer saber quantos anos completos devem decorrer para que o capital total acumulado atinja pelo menos o triplo do capital inicial investido ($C_n \ge 3\cdot C_0$). Dois estudantes propõem estratégias distintas:

• Método do Lucas (termo geral): Modela a evolução como uma progressão aritmética cujo primeiro termo é o capital no final do primeiro ano, $a_1 = C_0(1 + 0,04) = 1,04\cdot C_0$, e cuja razão anual é o juro fixo gerado, $d = 0,04\cdot C_0$. Estabelece $a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d \ge 3\cdot C_0$ e isola $n$.

• Método da Júlia (juros acumulados): Raciocina que, para triplicar o capital total, os juros líquidos gerados devem igualar o dobro do capital inicial ($I = 2\cdot C_0$). Aplica a fórmula do juro simples $I = C_0\cdot r\cdot n$, estabelece $C_0\cdot 0,04\cdot n \ge 2\cdot C_0$ e isola $n$.

1. a) Resolva o problema aplicando ambos os métodos passo a passo. Obtém-se o mesmo resultado? O tempo obtido depende do montante concreto do capital inicial $C_0$?
2. b) Compare criticamente ambos os caminhos: qual deles é mais direto e reduz o risco de cometer erros de defasagem temporal no índice $n$?
3. c) Generalize o resultado: se o juro simples anual for de $r\text{ \%}$ e o objetivo for multiplicar o capital inicial por um fator $k$ ($k > 1$), deduza a fórmula simplificada que fornece diretamente os anos necessários $n$ em função de $r$ e $k$. Explique qual método permitiu que você a deduzisse com maior clareza.

Dois colegas de trabalho, o Carlos e a Júlia, subscrevem respectivos planos de poupança a 10 anos (120 meses) em uma instituição financeira:

• Plano A (Carlos): Contribui com $\text{R\$}\ 100$ no primeiro mês e aumenta a sua contribuição em $\text{R\$}\ 2$ a cada mês ($d_A = \text{R\$}\ 2$).

• Plano B (Júlia): Começa com uma contribuição mais baixa, $\text{R\$}\ 40$ no primeiro mês, mas incrementa a sua parcela mensal em um ritmo maior, em $\text{R\$}\ 3$ a cada mês ($d_B = \text{R\$}\ 3$).

1. a) Determine em que mês concreto a contribuição mensal da Júlia supera pela primeira vez a do Carlos ($b_n > a_n$). Isso significa que, nesse mesmo mês, a Júlia já terá acumulado mais dinheiro total do que o Carlos? Justifique a sua resposta sem calcular ainda as somas.
2. b) Estabeleça as expressões das somas acumuladas $S_n^A$ e $S_n^B$ e resolva a equação $S_n^B = S_n^A$. Interprete as duas soluções fornecidas pela equação quadrática: que significado financeiro tem a solução $n = 0$ e em que mês exato a Júlia empataria com o Carlos em dinheiro total acumulado se o plano continuasse indefinidamente?
3. c) Sabendo que o plano termina aos 120 meses, calcule o capital acumulado final de cada um. Explique a aparente contradição de o Carlos terminar com mais dinheiro se a Júlia esteve pagando parcelas mensais superiores durante praticamente metade da duração do plano.