Exercícios: Cálculo de anuidades e mensalidades

Lucía está planejando ir a um festival de música quando terminar o Ensino Médio, daqui a 3 anos. Para custear as despesas, decide abrir uma conta poupança jovem que lhe oferece juros compostos de $3 \%$ ao ano. Se depositar $\text{R\$}\ 250$ no início de cada ano, que capital total terá acumulado para a sua viagem ao final dos três anos?

Um estudante do 11.º ano quer comprar um computador "gaming" que custa $\text{R\$}\ 1.200$. Uma loja de informática permite-lhe pagá-lo em 12 parcelas mensais iguais com juros de $6 \%$ anuais nominais. Sabendo que a taxa de juros mensal é calculada como $i = \frac{0,06}{12}$, utilize a fórmula da renda de amortização para calcular o valor da mensalidade que deverá pagar ao final de cada mês.

Para economizar para a carteira de motorista, Carlos decide depositar $\text{R\$}\ 60$ por mês em uma conta bancária ao final de cada período. O banco lhe oferece juros de $2,4 \%$ ao ano, compostos com capitalização mensal. Calcule o dinheiro que ele terá acumulado após 2 anos (24 meses) fazendo esses depósitos.

Nota: Lembre-se de converter a taxa de juros anual para a taxa de juros mensal dividindo por 12.

Uma família solicita um empréstimo de $\text{R\$}\ 5.000$ para comprar uma moto usada. O banco concede o empréstimo com juros de $5 \%$ anuais, que devem ser devolvidos em 4 parcelas anuais iguais, pagas ao final de cada ano. Determine o valor dessa parcela de amortização.

Um clube de e-sports de uma escola decide poupar para renovar suas cadeiras. Depositam $\text{R\$}\ 100$ no início de cada trimestre em uma conta que rende $4 \%$ anuais compostos. Se a capitalização é trimestral ($n=4$ períodos por ano), calcule o capital que terão conseguido poupar ao fim de um ano completo (4 depósitos).

Calcule a mensalidade necessária para amortizar uma dívida de $\text{R\$}\ 2.400$ contraída pela compra de uma câmera fotográfica profissional, se o empréstimo for devolvido em 2 anos a uma taxa de juros nominal de $4,8 \%$ anuais com pagamentos mensais.

Um jovem poupador decide depositar $\text{R\$}\ 500$ a cada ano, no início do ano, em um fundo de investimento que garante $3,5 \%$ de juros anuais compostos. Utilize a fórmula do montante final de uma anuidade de capitalização para encontrar quanto dinheiro ele terá ao fim de 5 anos.

Marta comprou um patinete elétrico financiando os $\text{R\$}\ 450$ que custa através de um empréstimo. O banco cobra parcelas mensais fixas de $\text{R\$}\ 40$ ao final de cada mês durante um ano. Se os juros totais pagos são a diferença entre a soma de todas as parcelas e o preço à vista, quanto dinheiro Marta pagou apenas a título de juros ao finalizar o ano?

O Sérgio quer financiar a compra de um notebook de $1.800$ reais por meio de um empréstimo pessoal a $2$ anos ($24$ meses) com prestações mensais fixas postecipadas. O banco aplica a ele uma taxa de juros nominal anual de $6\%$. Para calcular a prestação mensal $a$, o Sérgio escreve no caderno:

e obtém $a \approx 873,79$ reais por mês.

1. a) Sem precisar calcular a prestação real, multiplique mentalmente a prestação do Sérgio pelas $24$ mensalidades e explique, de forma fundamentada, por que o resultado é um absurdo financeiro evidente.
2. b) Identifique e explique os dois erros conceituais graves cometidos pelo Sérgio ao formular a equação.
3. c) Formule a equação correta que permite determinar a mensalidade postecipada que o Sérgio deve pagar, calcule o valor exato arredondado ao centavo e descubra o total que ele acabará pagando apenas de juros.

A Elena tem 18 anos e pretende poupar para pagar o depósito caução e as despesas de entrada de um apartamento compartilhado ao terminar o seu curso técnico dentro de $3$ anos ($36$ meses). Ela vai depositar $150$ reais no final de cada mês numa conta remunerada para jovens, a uma taxa de juros nominal de $3\%$ ao ano ($i = \frac{0,03}{12} = 0,0025$ ao mês).

1. a) Faça uma estimativa prévia fundamentada antes de aplicar fórmulas complexas: calcule quanto ela acumularia se a taxa de juros fosse de $0\%$ e justifique se, ao adicionar os $3\%$ ao ano, o capital final acumulado conseguirá superar ou não a barreira dos $6.000$ reais.
2. b) Aplique a fórmula do valor final de uma renda de poupança constante para calcular a quantia exata que ela terá acumulado depois de $36$ meses.
3. c) Compare o resultado exato com a sua estimativa prévia e calcule que porcentagem do capital final reunido provém dos juros creditados pela instituição financeira.

Para custear as despesas de uma viagem de formatura daqui a dois anos, um grupo de estudantes decide abrir uma conta de poupança. Comprometem-se a depositar $80$ reais ao final de cada mês. O banco oferece juros de $3,6\%$ ao ano (taxa efetiva anual) com capitalização mensal.

1. a) Calcule a taxa de juros nominal mensal equivalente.
2. b) De que capital o grupo disporá ao final dos $24$ meses?
3. c) A quanto chegam os juros totais gerados pela operação?

Uma família solicita um empréstimo de $15.000$ reais para reformar a cozinha e o banheiro da sua residência. O banco concede o crédito a juros anuais de $5\%$ a serem devolvidos em $4$ anos mediante parcelas mensais fixas postecipadas (ao final de cada mês).

1. a) Determine o valor da parcela mensal que deverá pagar.
2. b) Calcule o capital total que acabará pagando ao banco após os $4$ anos.
3. c) Que porcentagem do capital total pago corresponde aos juros?

Lucas quer comprar uma moto elétrica que custa $4.200$ reais. Para não se descapitalizar, decide financiá-la a $6\%$ de juros anuais nominais, comprometendo-se a pagar parcelas mensais de $120$ reais.

1. a) Utilize a fórmula das anuidades de amortização para calcular quantos meses levará para pagar a moto (você precisará utilizar logaritmos).
2. b) Se decidir pagar a moto em exatamente $3$ anos, qual deveria ser a parcela mensal fixa?

Uma família deseja constituir um fundo de poupança para a universidade do seu filho. Planejam depositar $1.500$ reais no início de cada ano durante os próximos $10$ anos. A instituição financeira garante juros compostos de $4,25\%$ anuais.

1. a) Que capital terão acumulado logo após realizar o décimo depósito?
2. b) Que capital terão um ano após o último depósito (ao finalizar o décimo ano)?

Nota: Leve em conta se a anuidade é antecipada (no início) ou postecipada (no final).

Um pequeno comércio compra uma van de entregas avaliada em $22.000$ reais. Dá uma entrada de $4.000$ reais e financia o restante a $4,8\%$ de juros anuais nominais. O contrato estipula o pagamento mediante anuidades constantes durante $5$ anos.

1. a) Calcule o valor da parcela de amortização.
2. b) Elabore as duas primeiras linhas da tabela de amortização (indicando para cada ano: saldo devedor, juros, amortização e prestação).

Um investidor individual quer ter poupado $50.000$ reais em um prazo de $8$ anos. Para isso, fará depósitos trimestrais em um fundo que lhe oferece $3\%$ de juros anuais nominais.

1. a) Qual é a taxa de juros trimestral aplicada?
2. b) Que quantia ele deve depositar a cada trimestre para atingir o seu objetivo?
3. c) Se, ao final de $4$ anos, os juros do mercado subirem para $4\%$ anuais nominais, como variará a parcela trimestral nos $4$ anos restantes se ele quiser manter o mesmo objetivo final?

Calcule a taxa efetiva anual de um empréstimo bancário anunciado com juros nominais de $6\%$ anuais se os pagamentos das parcelas forem:

1. a) Mensais.
2. b) Semestrais.
3. c) Em que caso o custo real para o cliente é maior? Justifique a sua resposta comparando os resultados obtidos.

Um atleta profissional decide poupar parte do seu salário para quando terminar a carreira esportiva. Deposita $500$ reais ao final de cada mês numa conta de poupança durante $15$ anos. A conta garante juros de $4,5\%$ ao ano nominais com capitalização mensal.

1. a) Que capital terá acumulado no momento da sua aposentadoria esportiva?
2. b) Se, depois de aposentado, desejar receber uma renda mensal fixa durante os $20$ anos seguintes, esgotando todo o capital acumulado (supondo que o banco mantém os mesmos juros de $4,5\%$), qual será o valor dessa mensalidade?

Uma família na Espanha precisa adquirir um veículo híbrido por $22.000$ reais. Após dar $4.000$ reais que tinha poupados como entrada, solicita o financiamento dos $18.000$ reais restantes em um prazo de $5$ anos ($60$ meses). A financeira aplica uma taxa de juros nominal de $7,2\%$ ao ano ($i = \frac{0,072}{12} = 0,006$ ao mês) e oferece duas modalidades de amortização:

• Modalidade A (Sistema francês padrão): $60$ parcelas mensais constantes postecipadas de valor $a$, quitando integralmente a dívida no final do mês $60$.

• Modalidade B (Parcela reduzida com valor residual): $59$ parcelas mensais reduzidas de $320$ reais e uma parcela final no mês $60$ (parcela balão) que quita a totalidade da dívida pendente nesse instante.

1. a) Modele matematicamente a Modalidade A: calcule o valor da parcela mensal $a$ e o custo total final que a família pagará.
2. b) Modele matematicamente a Modalidade B: calcule a quanto deve chegar a parcela final do mês $60$ para amortizar por completo o empréstimo restante, sabendo que o valor atual de todos os pagamentos deve equivaler ao capital financiado.
3. c) Compare as duas modalidades: calcule a diferença no valor total de juros pagos e redija uma recomendação financeira fundamentando a compensação entre o alívio mensal e o custo adicional final.

O Banco Central recomenda que a prestação mensal do financiamento imobiliário de uma família não ultrapasse $35\%$ da sua renda líquida para evitar o risco de superendividamento. O Marcos e a Sara têm renda líquida conjunta de $2.600$ reais por mês e vão pedir um financiamento imobiliário a uma taxa de juros nominal fixa de $3,6\%$ anual ($i = \frac{0,036}{12} = 0,003$ mensal).

1. a) Determine a prestação mensal máxima que eles podem suportar de acordo com a diretriz do Banco Central.
2. b) Se contratarem o financiamento imobiliário no prazo habitual de $25$ anos ($300$ meses), formule a equação do valor atual e deduza o capital máximo que a instituição financeira concederá a eles com essa prestação limite.
3. c) Se o imóvel que pretendem exige solicitar um financiamento de $220.000$ reais e eles não querem ultrapassar a prestação mensal máxima calculada no item a), formule a equação correspondente, isole algebricamente, por meio de logaritmos, o número mínimo de anos de prazo necessários para tornar viável a operação e justifique se o banco autorizará o financiamento, sabendo que o prazo comercial máximo habitual no país é de $30$ anos.

Uma jovem empreendedora de 22 anos decide planejar a sua independência financeira. O seu objetivo é ter acumulado $100.000$ reais quando completar 35 anos. Para isso, estabelece o seguinte plano de poupança em uma conta com juros compostos de $4,5 \%$ anuais:

1. Durante os primeiros 5 anos, fará depósitos mensais de $a$ reais no início de cada mês.

2. Durante os 8 anos seguintes, aumentará a sua capacidade de poupança e depositará $2a$ reais no início de cada mês.

Calcule o valor da parcela mensal inicial $a$ necessária para atingir o seu objetivo.

Uma empresa de transportes precisa renovar sua frota adquirindo três caminhões por um valor total de $360.000$ reais. Para financiar a compra, o banco oferece duas modalidades:

• Modalidade A: Um empréstimo a 6 anos com uma parcela mensal fixa, a juros nominais anuais de $4,8 \%$ com capitalização mensal.

• Modalidade B: Um empréstimo com "carência total" durante os dois primeiros anos (não se paga nada, mas os juros se acumulam ao capital inicial). Nos 4 anos restantes, amortiza-se a dívida resultante por meio de parcelas mensais constantes a juros nominais anuais de $5,2 \%$.

Determine qual das duas modalidades representa um desembolso total maior para a empresa e calcule a diferença entre ambas as opções.

Os pais criam um fundo para a faculdade da filha com juros compostos de $6 \%$ ao ano. Decidem fazer depósitos de $2.400$ reais no início de cada ano. No entanto, devido à inflação, decidem que cada parcela seja $3 \%$ maior que a do ano anterior (progressão geométrica das parcelas).

Calcule o capital acumulado no fundo ao final de 15 anos.

Dica: Você deverá somar os valores capitalizados de cada parcela de forma individual e observar que eles formam uma nova progressão geométrica.

Um profissional autônomo deseja comprar um imóvel comercial valorizado em $120.000$ reais. Ele dispõe de duas opções financeiras:

1. Economizar durante 10 anos em um fundo de investimento que garante $4 \%$ de taxa efetiva anual, realizando depósitos mensais no início de cada mês, para comprá-lo à vista no final do período (supondo que o preço do imóvel não varie).

2. Comprá-lo hoje solicitando um financiamento imobiliário a 10 anos a $4 \%$ de juros nominais anuais, com capitalização mensal e parcelas no final de cada mês.

Calcule a diferença entre a parcela mensal necessária para economizar o capital (Opção 1) e a parcela mensal necessária para pagar o empréstimo (Opção 2). Justifique qual das duas estratégias é mais eficiente do ponto de vista do fluxo de caixa mensal.

Uma família quer constituir um fundo solidário para financiar uma bolsa de estudos a longo prazo. O plano dela é depositar uma quantia fixa $a$ ao final de cada mês durante 20 anos em uma conta a $5 \%$ de juros compostos anuais (capitalização mensal).

Ao terminar esses 20 anos, querem que o capital acumulado permita retirar $1.500$ reais por mês durante os 15 anos seguintes (período de pagamento da bolsa), momento em que a conta deve ficar zerada.

Calcule a quantia da mensalidade de poupança $a$ que devem depositar durante a primeira fase.

Calcule a Taxa Efetiva Anual (TEA) de um empréstimo bancário que é anunciado a $6 \%$ de juros nominais anuais com capitalização mensal, se além disso o banco cobra uma tarifa de abertura de crédito de $1,5 \%$ do capital emprestado e um seguro de vida obrigatório de $250$ reais pago no momento inicial. Suponha que o capital solicitado é de $20.000$ reais a devolver em um único pagamento ao fim de um ano.

Como variaria essa TEA se o capital solicitado fosse de $50.000$ reais nas mesmas condições? Explique por que a TEA depende, neste caso, do valor solicitado.

Há $3$ anos, o Lucas contratou um empréstimo de $30.000$ reais a $4,8\%$ de juro nominal anual ($i = \frac{0,048}{12} = 0,004$ mensal) a reembolsar em $8$ anos ($96$ meses) mediante parcelas mensais constantes postecipadas de $376,87$ reais. Após pagar a parcela número $36$, o saldo devedor é de $20.060,58$ reais. Nesse momento ele faz uma amortização antecipada parcial de $6.000$ reais em dinheiro, reduzindo sua dívida para $14.060,58$ reais. O banco permite que ele escolha entre duas opções para reestruturar o empréstimo restante:

• Método 1 (Reduzir parcela): Manter o prazo restante previsto ($60$ meses) e calcular uma nova parcela mensal menor $a'$.

• Método 2 (Reduzir prazo): Manter a parcela mensal original de $376,87$ reais e encurtar a duração do empréstimo, recalculando o número de meses $n'$ necessários para amortizar o capital restante.

1. a) Aplique o Método 1: determine a nova parcela mensal $a'$ e os juros totais que o Lucas pagará nos $5$ anos que restam.
2. b) Aplique o Método 2: formule a equação do valor presente, isole por meio de logaritmos o novo prazo $n'$ em meses (arredondando para o número inteiro superior) e calcule os juros totais que serão pagos até a quitação.
3. c) Compare os dois métodos: calcule a economia em juros obtida por cada um em relação a não ter feito a amortização antecipada e justifique matematicamente por que o Método 2 é mais eficiente do ponto de vista do custo financeiro global.

Um usuário financia uma compra extraordinária de $C_0 = 2.500$ reais utilizando um cartão de crédito na modalidade 'rotativo' com uma taxa de juros nominal de $19,2\%$ anual ($i = \frac{0,192}{12} = 0,016$ mensal). A publicidade do cartão afirma: «Pague confortavelmente a partir de apenas $35$ reais por mês».

1. a) Tente determinar formalmente o número de meses $n$ necessários para quitar a dívida com uma prestação mensal de $a = 35$ reais aplicando a fórmula $n = \frac{-\ln(1 - \frac{C_0 \cdot i}{a})}{\ln(1+i)}$. Explique a impossibilidade matemática que ocorre ao avaliar o argumento do logaritmo e fundamente financeiramente por que razão, ao comparar a prestação com os juros gerados em um mês ($C_0 \cdot i$), a dívida cresceria indefinidamente em vez de diminuir.
2. b) Deduza qual é a prestação mensal mínima teórica que permitiria não gerar dívida adicional e calcule a prestação fixa mensal que deveria ser estabelecida para extinguir o empréstimo em um prazo razoável de $3$ anos ($36$ meses).
3. c) Se o titular escolher uma prestação fixa mensal de $60$ reais, calcule o número de meses $n$ que levará para quitar a dívida (arredondando para cima) e o valor total desembolsado. Demonstre com esses cálculos por que razão as prestações fixadas muito perto do limiar $C_0 \cdot i$ provocam o fenômeno financeiro conhecido como 'dívida cativa'.

Desafio do tema. O seu plano de independência: empréstimo e inflação.

Imagine que você começa a trabalhar e precisa financiar um veículo usado por $6000$ reais, analisando o impacto real do custo de vida. Elabore a sua proposta financeira em uma planilha seguindo estas fases:

1. IPCA e poder de compra: Consulte no site do IBGE a taxa anual do IPCA dos últimos $3$ anos e construa os seus números-índice. Se você partir de um salário de $1300$ reais que cresce $2,5$ % ao ano (progressão geométrica), deflacione esse salário para analisar se você ganha ou perde poder de compra real.

2. Simulação do empréstimo: Procure as condições de um crédito ao consumidor no portal do cliente de um banco (anote a taxa nominal e o CET). Desenhe a tabela de amortização a $3$ anos pelo método francês com prestações mensais, distinguindo a parte de capital e a de juros de cada mensalidade.

3. Relatório final: Redija uma proposta fundamentada (1 página) avaliando o custo financeiro total diante da inflação prevista, decidindo se a operação é viável.

Será valorizado:

• Obtenção rigorosa de dados do IBGE e cálculo correto de taxas, índices e salário real deflacionado.

• Precisão matemática na planilha ao modelar a mensalidade, o CET e a tabela de amortização.

• Clareza e espírito crítico no relatório final ao justificar a viabilidade econômica.