Exercícios: Tipos de funções lineares. Polinômio do primeiro grau.

Identifique o coeficiente angular $m$ e o coeficiente linear $n$ das seguintes funções lineares:

1. a) $y = -4x + 7$
2. b) $y = \frac{2}{5}x$
3. c) $y = -3$

Escreva a equação da reta que tem coeficiente angular igual a $5$ e cujo coeficiente linear é $-2$.

Classifique as seguintes funções em função de proporcionalidade direta (linear), função afim ou função constante:

1. a) $f(x) = 3x - 1$
2. b) $g(x) = \frac{x}{4}$
3. c) $h(x) = 8$

Encontre a equação da reta que tem coeficiente angular $m = -2$ e que passa pelo ponto $(1, 4)$.

A tarifa de um táxi é dada pela função $C(x) = 1,50x + 3$, onde $C(x)$ é o custo em reais e $x$ é a distância percorrida em quilômetros. Quanto custará uma viagem de $8$ quilômetros?

Calcule os pontos de interseção com os eixos coordenados (eixo X e eixo Y) da reta $y = 3x - 12$.

Verifique analiticamente se os pontos $A(2, 5)$ e $B(-1, -3)$ pertencem ao gráfico da função $y = 2x + 1$.

A partir da seguinte representação gráfica, determine o coeficiente angular, o coeficiente linear e a equação da reta.

O Marcos tem a função afim $f(x) = 3x + 4$ e precisa calcular a imagem de $x = 10$. Como sabe que $f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 19$, raciocina da seguinte maneira: «Dado que $10$ é o dobro de $5$, o valor de $f(10)$ tem de ser exatamente o dobro de $19$, ou seja, $f(10) = 38$».\na) Identifique o erro conceitual do Marcos e explique por que não é válido aplicar uma regra de três simples direta neste tipo de função.\nb) Que valor deveria ter o coeficiente linear $n$ para que o raciocínio do Marcos tivesse sido totalmente correto?\nc) Calcule o valor real de $f(10)$ por meio da sua fórmula e verifique algebricamente quantas unidades aumenta na realidade o valor de $y$ quando $x$ aumenta em $5$ unidades.

Procura-se uma função polinomial do primeiro grau $f(x) = mx + n$ que cumpra simultaneamente três condições:\n1. É uma função afim decrescente.\n2. Intersecta o eixo das ordenadas $Y$ em um ponto situado a $4$ unidades abaixo da origem do sistema de coordenadas.\n3. O valor de x cuja imagem é $2$ (preimagem de $2$) é igual a $-3$.\na) Determine de forma fundamentada os valores exatos do coeficiente angular $m$ e do coeficiente linear $n$, e escreva a expressão algébrica de $f(x)$.\nb) Justifique, a partir do sinal do coeficiente angular, por que a função é decrescente.\nc) Verifique algebricamente se o ponto $Q(-6, 8)$ pertence ao gráfico desta função.

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $A(-2, 5)$ e $B(4, -7)$.

Determine a equação da reta que é paralela a $y = 3x - 2$ e que passa pelo ponto $(-1, 4)$.

Um encanador cobra $30$ reais pelo deslocamento até a residência, mais $15$ reais por hora de trabalho. Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo com o tempo trabalhado e calcule quanto ele cobrará por um conserto que leva $3,5$ horas.

Um reservatório de água contém inicialmente $800$ litros e está se esvaziando a um ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escreva a função que relaciona o volume de água no reservatório com o tempo decorrido e calcule em qual minuto o reservatório ficará completamente vazio.

Determine analiticamente o ponto de interseção das retas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Verifique se o seu resultado coincide com o ponto indicado no gráfico a seguir.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $y = kx + 5$ passe pelo ponto $(3, -4)$.

A relação entre a temperatura em graus Celsius ($^\circ C$) e graus Fahrenheit ($^\circ F$) é linear. Sabemos que a água congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, e ferve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Encontre a função linear que permite converter graus Celsius ($x$) para graus Fahrenheit ($y$).

Calcule a área do triângulo formado pela reta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ ao interceptar os eixos coordenados no primeiro quadrante.

A tarifa de um serviço de táxi urbano em uma capital brasileira é composta por uma «bandeirada» fixa de $1,80$ reais logo no início do percurso e um custo de $1,15$ reais por cada quilômetro percorrido.\na) Escreva a expressão analítica da função $C(x)$ que dá o custo total da viagem em reais em função dos quilômetros $x$ percorridos. Justifique se é uma função linear, afim ou constante, e interprete o que representam o coeficiente angular e o coeficiente linear no contexto do problema.\nb) Um cliente afirma: «Se eu fizer um trajeto de $18$ km, pagarei exatamente o triplo do que pagaria se fizesse um de $6$ km». Justifique matematicamente se essa afirmação é verdadeira ou falsa, calculando ambos os valores.\nc) Se uma pessoa dispõe de um orçamento máximo de $20$ reais, formule e resolva uma equação ou inequação para determinar quantos quilômetros completos (número inteiro) ela pode viajar no máximo.

De acordo com medições meteorológicas da AEMET na troposfera, a temperatura diminui uniformemente cerca de $0,65$ °C para cada $100$ m de aumento na altitude. Em Cercedilla, localidade situada a $1200$ m acima do nível do mar, o termômetro marca $17$ °C ao meio-dia.\na) Antes de formular qualquer equação, faça uma estimativa mental de que temperatura aproximada haverá no puerto de Navacerrada ($1860$ m de altitude): estará mais próxima de $12$ °C ou de $15$ °C? Explique o seu raciocínio arredondando a diferença de altitude às centenas.\nb) Modele a temperatura por meio de uma função do primeiro grau $T(h) = mh + n$, em que $h$ é a altitude em metros. Determine de forma fundamentada o valor do coeficiente angular $m$ (em °C/m) e o valor do coeficiente linear $n$.\nc) Calcule com a função matemática o valor exato da temperatura no puerto de Navacerrada e compare-o com a sua estimativa inicial para avaliar se foi acertada.

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto $(0, 5)$ e que forma com os eixos coordenados um triângulo retângulo de área $10$ unidades quadradas no primeiro quadrante.

Uma fábrica de tênis tem custos fixos mensais de $5000$ reais. Além disso, produzir cada par de tênis custa $15$ reais. Se a empresa vende cada par por $40$ reais, escreva as funções de custo $C(x)$ e receita $R(x)$. Quantos pares de tênis devem vender por mês para obter um lucro de pelo menos $2000$ reais?

A reta $r$ passa pelos pontos $(1, 2)$ e $(3, 8)$. A reta $s$ é paralela a $r$ e o seu coeficiente linear é a metade do coeficiente linear de $r$. Determine a equação da reta $s$.

Um estacionamento cobra $2,50$ reais pela primeira hora (ou fração de hora). A partir da primeira hora, cobra $0,05$ reais por minuto adicional. Escreva a função definida por partes $C(t)$ que representa o custo total em reais em função do tempo $t$, em minutos, que um veículo fica estacionado.

O comprimento $L$ de uma mola elástica, medido em centímetros, é dado pela função $L(p) = 15 + 0,2p$, onde $p$ é o peso pendurado em gramas. Determine a expressão da função inversa $p(L)$ e utilize-a para calcular qual peso foi pendurado se a mola mede exatamente $22$ cm.

O gráfico a seguir mostra a distância a que um ciclista se encontra de sua casa em função do tempo. Determine a expressão algébrica definida por partes da função $d(t)$ e calcule qual foi a velocidade constante do ciclista durante a viagem de volta.

Dadas as retas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determine os valores dos parâmetros $m$ e $n$ para que ambas as equações representem exatamente a mesma reta (retas coincidentes).

Determine os valores de $a$ e $b$ para que a reta $y = ax + b$ satisfaça simultaneamente duas condições: ser paralela à reta $y = \frac{1}{2}x$ e passar pelo ponto de interseção das retas $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.

Tem-se a seguinte tabela de valores experimentais correspondentes a uma função desconhecida $f(x)$:\n$x$: $-3$, $1$, $3$, $7$\n$y$: $14$, $6$, $2$, $-6$\n\nPara averiguar se a tabela pode ser descrita por uma função do primeiro grau e encontrar a sua fórmula, dois alunos propõem estratégias distintas:\n- Método da Ana: Formula um sistema de duas equações com incógnitas $m$ e $n$ usando as duas primeiras linhas. Em seguida, substitui os valores de $x$ das outras duas linhas para verificar se os valores de $y$ coincidem.\n- Método do Lucas: Calcula a razão $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre cada linha e a seguinte; se todas derem o mesmo resultado, garante que a função é polinomial do primeiro grau, toma esse valor como coeficiente angular $m$ e determina $n$ com um ponto qualquer.\n\na) Compare ambos os métodos e justifique qual deles permite descartar mais depressa que a função seja do primeiro grau caso uma das linhas contenha um erro de medição.\nb) Utilize o método que você considerar mais eficiente para demonstrar se os dados correspondem a uma reta. Em caso afirmativo, classifique-a de forma fundamentada (linear ou afim) e encontre a sua fórmula $f(x) = mx + n$.\nc) Sem calcular explicitamente o valor de $x$, deduza a priori se a pré-imagem de $-100$ será um número positivo ou negativo, baseando-se nas propriedades da função obtida. Em seguida, calcule-a com exatidão.

Considere a família de funções $f_k(x) = (2k - 4)x + (3k + 6)$, onde $k$ é um parâmetro real fixo em cada caso.\na) Determine o valor de $k$ para o qual a função é constante. Escreva a sua equação e descreva a posição geométrica do seu gráfico em relação aos eixos coordenados.\nb) Encontre o valor de $k$ que transforma $f_k$ em uma função linear (de proporcionalidade direta). Qual é o valor do seu coeficiente angular neste caso?\nc) Verifique analiticamente se existe algum valor de $k$ tal que a reta passe pelo ponto $A(2, 4)$ e, ao mesmo tempo, a função resultante seja estritamente crescente. Justifique rigorosamente a sua conclusão.\nd) Para $k = 1$, encontre os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados e calcule a área do triângulo que essa reta determina juntamente com os eixos cartesianos.