Exercícios: Equações do segundo grau

Resolva a seguinte equação do segundo grau incompleta isolando diretamente a incógnita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcule as soluções da seguinte equação do segundo grau incompleta colocando o fator comum em evidência:

$3x^2 + 15x = 0$

Aplique a fórmula geral para encontrar as raízes da seguinte equação do segundo grau completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Determine se a equação $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tem solução no conjunto dos números reais calculando previamente o valor do seu discriminante $\Delta$.

Encontre as soluções da seguinte equação que já se encontra fatorada, sem necessidade de desenvolver o produto:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Escreva uma equação do segundo grau na forma $x^2 + bx + c = 0$ sabendo que suas únicas soluções são $x_1 = 3$ e $x_2 = -8$.

Determine o valor do coeficiente $c$ na equação $x^2 + 4x + c = 0$ para que ela tenha uma única solução real dupla.

O quadrado de um número natural menos o seu triplo é exatamente igual a $18$. Escreva uma equação do segundo grau e calcule de qual número se trata.

O Lucas está resolvendo a equação $2x^2 - 10x = 0$ no quadro e faz os seguintes passos no caderno dele:

Ao consultar as soluções do livro, ele verifica com surpresa que a equação tem na realidade duas soluções: $x_1 = 0$ e $x_2 = 5$.

1. a) Explique com rigor matemático que erro conceitual o Lucas cometeu ao dividir ambos os membros pela incógnita $x$ e por que essa operação eliminou uma das soluções válidas.
2. b) Resolva a equação corretamente colocando o fator comum em evidência e justifique cada passo aplicando a lei do anulamento do produto.

Deseja-se construir uma equação do segundo grau com coeficientes inteiros da forma $ax^2 + bx + c = 0$ cujas soluções exatas sejam $x_1 = -\frac{3}{2}$ e $x_2 = 4$.

1. a) Aplique as fórmulas de Cardano-Vieta para deduzir o valor exato da soma ($S = x_1 + x_2$) e do produto ($P = x_1 \cdot x_2$) das soluções na forma de fração irredutível.
2. b) Escreva uma equação equivalente que tenha coeficientes inteiros ($a, b, c \in \mathbb{Z}$), sem denominadores, com $a > 0$ e de tal modo que os coeficientes não tenham fatores comuns (ou seja, que sejam primos entre si).
3. c) A equação obtida no item anterior é a única equação do segundo grau do mundo que tem exatamente essas duas soluções? Justifique sua resposta explicando o que acontece ao multiplicar todos os coeficientes por uma constante $k \neq 0$.

Para reformar a sala retangular de um imóvel, o arquiteto indica que o comprimento mede $2\text{ m}$ a mais que a largura. Se a área total da sala é de $35\text{ m}^2$, escreva uma equação do segundo grau e calcule as dimensões exatas do cômodo.

Um engenheiro aeroespacial lança um foguete de teste. A altura $h$ (em metros) atingida pelo foguete em função do tempo $t$ (em segundos) é dada pela expressão $h(t) = 40t - 5t^2$. Determine em quais instantes de tempo o foguete se encontra exatamente a $75\text{ m}$ de altura.

Desenvolva os produtos notáveis, agrupe os termos semelhantes e resolva a seguinte equação:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

A venda de ingressos do musical da escola gera um lucro $B$ (em dezenas de reais) que depende do número de ingressos vendidos $x$ (em dezenas) segundo a equação $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calcule quantos ingressos devem ser vendidos exatamente para que o lucro seja nulo (o ponto de equilíbrio).

Determine o valor numérico do parâmetro $k$ para que a equação $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenha uma única solução real dupla.

Em uma rampa de skate com forma de triângulo retângulo, o cateto maior mede $7\text{ m}$ a mais que o cateto menor, e a hipotenusa mede $2\text{ m}$ a mais que o cateto maior. Escreva uma equação do segundo grau utilizando o teorema de Pitágoras e calcule o comprimento dos três lados da rampa.

Resolva a seguinte equação efetuando previamente as operações com frações algébricas. Certifique-se de verificar as soluções obtidas para descartar possíveis raízes falsas que anulem os denominadores:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Sabendo que uma das soluções da equação $2x^2 + bx - 15 = 0$ é $x_1 = 3$, calcule sem resolver completamente a equação o valor da outra solução $x_2$ e o valor do coeficiente $b$.

Para resolver a equação $(3x - 1)^2 - 25 = 0$, a Alice e o Mateus propõem estratégias diferentes:

• A Alice propõe desenvolver o produto notável do binômio, subtrair $25$, agrupar termos na forma geral canônica $ax^2 + bx + c = 0$ e aplicar a fórmula de Bhaskara com o discriminante.

• O Mateus propõe isolar diretamente a potência, escrevendo $(3x - 1)^2 = 25$, e extrair a raiz quadrada de ambos os membros considerando o duplo sinal $\pm$.

1. a) Resolva a equação seguindo passo a passo o procedimento da Alice e depois o do Mateus, verificando que ambos levam às mesmas soluções.
2. b) Compare os dois caminhos e justifique qual deles é mais eficiente e apresenta menor risco de cometer erros de cálculo (sinais, operações com números grandes).
3. c) O método abreviado do Mateus seria aplicável de forma direta para resolver a equação $(3x - 1)^2 - 6x = 25$? Justifique por que sim ou por que não.

Segundo os estudos técnicos da Dirección General de Tráfico (DGT), a distância total de parada $d$ (em metros) de um veículo de passeio em asfalto seco em função da velocidade $v$ (em $\text{km/h}$) com que circula é aproximada pelo modelo quadrático:

onde $0,3v$ corresponde à distância percorrida durante o tempo de reação do motorista e $0,005v^2$ à frenagem mecânica. A Polícia Militar investiga um acidente em uma avenida urbana cujo limite genérico é de $50\text{ km/h}$ e encontra uma marca de frenagem até a parada total de $36\text{ m}$.

1. a) Estime: Antes de resolver a equação, calcule mentalmente ou por estimativa rápida qual distância seria necessária para parar a $50\text{ km/h}$ e a $70\text{ km/h}$. A partir desses valores, delimite entre quais dezenas de $\text{km/h}$ deve estar a velocidade do veículo.
2. b) Formule a equação quadrática correspondente a $d = 36\text{ m}$ e resolva-a pela fórmula de Bhaskara para obter o valor numérico exato de $v$.
3. c) Verifique: Rejeite, com critério físico, uma das soluções matemáticas obtidas e determine se o veículo ultrapassava o limite legal de velocidade, comparando o resultado com a sua estimativa anterior.

Uma fotografia retangular de dimensões $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura será emoldurada com um passe-partout de largura uniforme $x$. Se a área total do conjunto (fotografia mais passe-partout) deve ser exatamente de $500\text{ cm}^2$, escreva uma equação do segundo grau e calcule a largura $x$ do passe-partout.

Em uma liga de voleibol, cada equipe joga exatamente uma partida contra todas as outras. Sabendo que o número total de partidas disputadas em um torneio de $n$ equipes é dado pela fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$ e que, ao finalizar a temporada, foram disputadas um total de $105$ partidas, escreva a equação correspondente e descubra quantas equipes participaram da liga.

Duas mangueiras de espessuras diferentes enchem juntas um depósito de água em $6\text{ horas}$. Se fosse utilizada apenas uma delas, a mangueira mais fina levaria $5\text{ horas}$ a mais do que a mangueira mais grossa para encher o depósito sozinha. Escreva uma equação quadrática somando as frações do depósito que cada mangueira enche em uma hora e calcule quanto tempo cada mangueira levaria trabalhando individualmente.

Discuta, em função dos diferentes valores do parâmetro $m$, o número de soluções reais que a seguinte equação do segundo grau possui:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Certifique-se de analisar o que ocorre quando o discriminante é positivo, nulo ou negativo, e não se esqueça do caso especial em que o coeficiente principal se anula.

Um escultor quer dividir uma haste de latão de $1\text{ metro}$ de comprimento em dois pedaços de comprimentos $x$ e $1-x$ (sendo $x$ o pedaço maior, ou seja, $x > 1-x$). Ele deseja fazer isso de tal forma que a proporção entre a haste completa e o pedaço maior seja igual à proporção entre o pedaço maior e o pedaço menor. Escreva a equação correspondente e determine o valor exato de $x$.

A área de um retângulo é de $60\text{ cm}^2$ e o comprimento da sua diagonal é de $13\text{ cm}$. Chamando a base de $x$ e a altura de $y$, expresse $y$ em função de $x$ usando o dado da área. Em seguida, substitua no teorema de Pitágoras para a diagonal e resolva a equação biquadrada resultante para encontrar as dimensões exatas do retângulo.

Resolva a seguinte equação em que aparece um radical, isolando primeiro a raiz e elevando ambos os membros ao quadrado. É obrigatório verificar as soluções obtidas na equação original para descartar possíveis raízes falsas:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Um grupo de estudantes aluga um ônibus para uma excursão por um custo total de $\text{R\$}\ 400$. De última hora, mais $5$ estudantes se inscrevem na viagem, o que faz com que cada um dos que iriam inicialmente pague $\text{R\$}\ 4$ a menos. Escreva uma equação quadrática para calcular quantos estudantes iriam no início e resolva-a.

Uma cooperativa de olivicultores de Jaén dedicada à produção de Azeite de Oliva Virgem Extra (AOVE) administra uma propriedade com uma densidade padrão de $120$ oliveiras por hectare, obtendo uma colheita média de $50\text{ kg}$ de azeitona por árvore ao ano. Os técnicos agrícolas alertam que, por cada oliveira adicional $x$ plantada por hectare, a competição pela água e pelos nutrientes do solo reduz a produção média de cada árvore em $0,25\text{ kg}$.

1. a) Escreva a expressão algébrica da produção total por hectare em função do número de árvores adicionadas $x$, multiplicando o número total de oliveiras pelo rendimento de azeitona por árvore.
2. b) A cooperativa planeja a safra para colher um total de $6\,375\text{ kg}$ de azeitona por hectare. Formule a equação do segundo grau correspondente, organize-a na sua forma canônica $ax^2 + bx + c = 0$ e calcule os dois valores possíveis de $x$.
3. c) O modelo algébrico fornece duas soluções reais positivas. Interprete o significado prático de cada uma delas e justifique de forma fundamentada qual das duas opções convém à cooperativa adotar se o seu objetivo for minimizar custos de poda, colheita e consumo de água.

Considere a seguinte família de equações em que aparece um parâmetro real $k$:

1. a) Um aluno afirma que, se $k = 2$, a equação não tem solução alguma porque, ao aplicar a fórmula de Bhaskara, o denominador $2a$ se anula ($2 \cdot 0 = 0$). Refute com fundamentação a afirmação dele, explicando que tipo de equação se obtém na realidade ao substituir $k = 2$, e calcule a solução dela.
2. b) Para os casos em que $k \neq 2$, calcule a expressão simplificada do discriminante $\Delta$ em função de $k$ e determine formalmente para quais valores do parâmetro a equação tem duas soluções reais distintas, uma solução real dupla ou nenhuma solução real.
3. c) Sem precisar calcular as soluções da equação, utilize de forma justificada as relações de Girard (soma e produto das raízes) para verificar se existe algum valor de $k$ que faça com que as duas raízes sejam simétricas ou opostas ($x_1 + x_2 = 0$). Em caso afirmativo, determine esse valor de $k$, verifique se as raízes são reais e calcule o valor de ambas as soluções.