Diagramas de árbol
Aaliyah encesta el $70\%$ de sus tiros libres. Al final de un partido muy reñido le tocan dos tiros. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste al menos uno? Con dos tiros todavía puedes enumerar los casos mentalmente. Con tres etapas, o cuando las probabilidades cambian después de cada paso, necesitas un sistema. Ese sistema es el diagrama de árbol (tree diagram).
Cómo construir un diagrama de árbol
Aquí hay una bolsa con $3$ canicas rojas (R) y $2$ azules (A). Sacas una, anotas su color, la devuelves a la bolsa y sacas otra. La bolsa es la misma las dos veces, así que las ramas de la segunda etapa son iguales en todos los nodos.
A veces la segunda etapa depende de lo que pasó en la primera. Por ejemplo, lanzas un dado y el resultado decide a qué juego juegas después. Entonces las ramas de la segunda etapa son distintas de un nodo a otro. Cada nodo sigue sumando $1$.
Una caja contiene $4$ bolas rojas y $6$ bolas azules. Se extrae una bola al azar, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Dibuje el…
Una caja contiene $4$ bolas rojas y $6$ bolas azules. Se extrae una bola al azar, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Dibuje el diagrama de árbol correspondiente y calcule la probabilidad de obtener dos bolas azules.
Complete el siguiente diagrama de árbol que representa el lanzamiento de una moneda cargada dos veces consecutivas, sabiendo que la probabilidad de sacar cara es…
Complete el siguiente diagrama de árbol que representa el lanzamiento de una moneda cargada dos veces consecutivas, sabiendo que la probabilidad de sacar cara es $\frac{1}{3}$. A partir del árbol, calcule la probabilidad de obtener primero cara y luego cruz.
Se lanza un dado de seis caras y, a continuación, se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si en el dado sale un número par, se gana si sale un Rey. Si…
Se lanza un dado de seis caras y, a continuación, se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si en el dado sale un número par, se gana si sale un Rey. Si en el dado sale un número impar, se gana si sale un As. Calcule la probabilidad de sacar un número par en el dado y, además, ganar.
Caminos: multiplica a lo largo, suma entre caminos
Ahora supón que no devuelves la canica. Después de la primera extracción la bolsa tiene una canica menos, así que las probabilidades de la segunda etapa cambian. Toma un frasco con $6$ canicas rojas y $4$ azules, y saca dos sin reemplazo.
Volvamos a la pregunta del inicio: la probabilidad de que Aaliyah enceste al menos uno de sus dos tiros libres es $0.91$.
Cuando un problema pide una cantidad desconocida, pon la incógnita en el árbol y escribe una ecuación.
Algunos problemas usan un mazo de $40$ cartas. Tiene cuatro palos de $10$ cartas cada uno: As, $2$ al $7$, Jota, Reina y Rey. Así que el mazo tiene exactamente $4$ ases y $4$ reyes, y $P(\text{rey}) = \dfrac{4}{40} = \dfrac{1}{10}$ en una sola extracción. Si sacas sin reemplazo y la primera carta es de un palo dado, quedan $9$ cartas de ese palo entre $39$ cartas.
En un clóset hay $5$ camisetas blancas y $3$ negras. Se eligen dos camisetas al azar, una tras otra y sin devolver la primera al clóset. Calcule la probabilidad de que…
En un clóset hay $5$ camisetas blancas y $3$ negras. Se eligen dos camisetas al azar, una tras otra y sin devolver la primera al clóset. Calcule la probabilidad de que ambas camisetas sean blancas.
Un estudiante tiene que realizar dos exámenes el mismo día. La probabilidad de aprobar el primero es $0,6$. Si aprueba el primero, se motiva y la probabilidad de aprobar…
Un estudiante tiene que realizar dos exámenes el mismo día. La probabilidad de aprobar el primero es $0,6$. Si aprueba el primero, se motiva y la probabilidad de aprobar el segundo sube a $0,8$. Sin embargo, si reprueba el primero, se desanima y la probabilidad de aprobar el segundo baja a $0,3$. Construya el diagrama de árbol y calcule la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes.
En una urna hay $x$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es $\frac{1}{6}$,…
En una urna hay $x$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazo. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es $\frac{1}{6}$, plantee la ecuación correspondiente apoyándose en un diagrama de árbol y determine el número inicial de bolas blancas $x$.
Árboles que se detienen antes
No todos los caminos tienen la misma longitud. En un juego que termina "en cuanto ganas" o "cuando sacas una canica roja", una rama simplemente se detiene cuando el juego termina. Solo sigues haciendo crecer las ramas donde el juego continúa.
Toma una bolsa con $2$ canicas rojas y $3$ azules. Sacas sin reemplazo y te detienes en la primera roja.
La misma idea sirve para una serie al mejor de tres, un punto de tenis o cualquier juego de "detente cuando…". Solo se extienden las ramas que continúan.
En un partido de tenis, si el primer servicio de un jugador entra en el cuadro (probabilidad $0,6$), gana el punto con probabilidad $0,7$. Si el primer servicio falla,…
En un partido de tenis, si el primer servicio de un jugador entra en el cuadro (probabilidad $0,6$), gana el punto con probabilidad $0,7$. Si el primer servicio falla, realiza un segundo servicio que entra con probabilidad $0,8$. Si el segundo servicio entra, gana el punto con probabilidad $0,5$. Si el segundo servicio también falla, comete doble falta y pierde el punto automáticamente. Calcule la probabilidad total de que el jugador gane el punto en ese servicio.
Una bolsa contiene $5$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen bolas de una en una y sin reemplazo hasta que salga una bola negra. ¿Cuál es la probabilidad de tener…
Una bolsa contiene $5$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen bolas de una en una y sin reemplazo hasta que salga una bola negra. ¿Cuál es la probabilidad de tener que realizar exactamente tres extracciones para que el juego termine?
Dos equipos de eSports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas es el campeón). Alpha es mejor equipo, por…
Dos equipos de eSports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas es el campeón). Alpha es mejor equipo, por lo que su probabilidad de ganar cualquier partida es $0,6$. Las partidas no pueden terminar en empate. Dibuje el diagrama de árbol de los posibles desarrollos de la final y calcule la probabilidad de que el equipo Beta gane el torneo.
Probabilidad total a partir de un árbol
Muchas veces la primera etapa divide el experimento en grupos, por ejemplo qué máquina fabricó una pieza o qué caja elegiste. Para hallar la probabilidad global de un suceso, suma todos los caminos que terminan en ese suceso.
Chloe llega a la escuela en autobús el $50\%$ de las veces, caminando el $30\%$ y en carro (la llevan) el $20\%$. Llega tarde el $10\%$ de las veces en autobús, el $5\%$ caminando y el $2\%$ en carro.
La primera etapa no tiene que ser un "grupo". Puede ser un lanzamiento de moneda, un dado o la elección de una caja. Si cara significa "sacar de la urna A" y cruz significa "sacar de la urna B", las ramas de la primera etapa son $\tfrac12$ y $\tfrac12$, y las de la segunda etapa describen cada urna.
A veces la primera extracción cambia lo que hay en el segundo recipiente. Sacas una ficha de la caja 1, la pasas a la caja 2 y luego sacas de la caja 2. Las probabilidades de la segunda etapa dependen del color que se movió. Construye el árbol con eso en mente y luego suma los caminos.
En una cafetería ofrecen dos tipos de menú: el $60\,\%$ de los clientes elige el menú del día y el $40\,\%$ elige el menú vegetariano. De los que eligen el menú del día,…
En una cafetería ofrecen dos tipos de menú: el $60\,\%$ de los clientes elige el menú del día y el $40\,\%$ elige el menú vegetariano. De los que eligen el menú del día, el $70\,\%$ pide café de postre. De los que eligen el menú vegetariano, el $80\,\%$ pide té. Calcule la probabilidad de que un cliente elegido al azar haya tomado el menú del día y además haya pedido café.
Se tienen dos urnas. La urna A contiene $3$ bolas rojas y $2$ negras. La urna B contiene $4$ bolas rojas y $5$ negras. Se lanza una moneda al aire: si sale cara, se…
Se tienen dos urnas. La urna A contiene $3$ bolas rojas y $2$ negras. La urna B contiene $4$ bolas rojas y $5$ negras. Se lanza una moneda al aire: si sale cara, se extrae una bola de la urna A; si sale cruz, se extrae una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja?
Se tienen dos cajas. La caja 1 contiene $4$ fichas azules y $2$ rojas. La caja 2 contiene $3$ fichas azules y $5$ rojas. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y se…
Se tienen dos cajas. La caja 1 contiene $4$ fichas azules y $2$ rojas. La caja 2 contiene $3$ fichas azules y $5$ rojas. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y se introduce en la caja 2. A continuación, se extrae una ficha de la caja 2. Calcule la probabilidad de que la ficha extraída de la caja 2 sea azul.
Al revés: probabilidad condicional
Chloe llega tarde. ¿Qué tan probable es que haya venido en autobús? Ahora ya conoces el resultado y te preguntas de cuál rama de la primera etapa probablemente vino. El árbol también resuelve esto.
El mismo método responde preguntas con "dado que" en problemas de juegos. Si un jugador cayó al foso, los caminos que quedan son los que terminan en caída. Divide el único camino "cayó en la segunda plataforma" entre la suma de todos los caminos de caída.
Ya tienes las herramientas para responder cualquier pregunta que parta de un árbol. Multiplica a lo largo de los caminos, suma los caminos que coinciden y divide entre el total cuando te dicen lo que ya ocurrió.
En una ciudad, el $20\,\%$ de los conductores son jóvenes (menores de 25 años) y el $80\,\%$ son adultos. La probabilidad de que un conductor joven tenga un accidente en…
En una ciudad, el $20\,\%$ de los conductores son jóvenes (menores de 25 años) y el $80\,\%$ son adultos. La probabilidad de que un conductor joven tenga un accidente en un año es $0,15$, mientras que para un adulto es $0,05$. Se selecciona un conductor al azar y resulta que ha tenido un accidente este año. Utilizando las ramas de un diagrama de árbol, calcule la probabilidad de que dicho conductor sea joven. (Exprese el resultado como fracción irreducible).
En un juego de mesa, un jugador debe superar un foso saltando sobre tres plataformas sucesivas. La probabilidad de resbalar en la primera plataforma es $\frac{1}{10}$.…
En un juego de mesa, un jugador debe superar un foso saltando sobre tres plataformas sucesivas. La probabilidad de resbalar en la primera plataforma es $\frac{1}{10}$. Si supera la primera, la probabilidad de resbalar en la segunda es $\frac{1}{5}$. Si supera la segunda, la probabilidad de resbalar en la tercera es $\frac{1}{4}$. Si resbala en cualquier plataforma, cae al foso y pierde. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador cruce el foso con éxito? Si sabemos que el jugador cayó al foso, ¿cuál es la probabilidad de que haya caído exactamente en la segunda plataforma?
En una competencia, un arquero dispone de un máximo de tres flechas para dar en el blanco. La probabilidad de acertar con la primera flecha es $0,4$. Si falla, ajusta su…
En una competencia, un arquero dispone de un máximo de tres flechas para dar en el blanco. La probabilidad de acertar con la primera flecha es $0,4$. Si falla, ajusta su visor y la probabilidad de acertar con la segunda es $0,6$. Si vuelve a fallar, se pone nervioso y la probabilidad de acertar con la tercera es $0,3$. El arquero deja de disparar en el momento en que acierta. Calcule la probabilidad de que el arquero necesite realizar más de un disparo sabiendo que finalmente logró dar en el blanco.