Un letrero de una montaña rusa dice: "Los pasajeros deben medir entre 48 y 74 pulgadas de estatura, inclusive." Una alberca necesita un rango seguro de pH. Un mecánico tiene una tolerancia para una pieza. Todos estos casos son trozos de la recta numérica. En esta sección aprenderás una notación corta y exacta para describirlos: desigualdades (también llamadas inecuaciones), gráficas y notación de intervalos.
Intervalos
Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos extremos. Importan dos cosas: dónde empieza y termina el trozo, y si cada extremo está incluido.
En la recta numérica, un círculo cerrado (relleno) significa "incluido" y un círculo abierto significa "no incluido". Esto coincide con los símbolos de desigualdad: $\le$ y $\ge$ incluyen el extremo; $<$ y $>$ no.
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Observe la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y expréselo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.
Observe la representación gráfica del siguiente conjunto de números reales y expréselo utilizando notación de intervalo y en forma de desigualdad.
Algunos conjuntos continúan para siempre en una dirección: "al menos 48 pulgadas" o "bajo cero". Se llaman rayos. Un extremo es un número. El otro es $\infty$ o $-\infty$.
Traducir del español a desigualdades e intervalos depende sobre todo de unas cuantas frases clave:
Palabras
Desigualdad
Intervalo
más que $a$
$x > a$
$(a, \infty)$
al menos $a$
$x \ge a$
$[a, \infty)$
menos que $b$
$x < b$
$(-\infty, b)$
como máximo $b$ (o no más de $b$)
$x \le b$
$(-\infty, b]$
entre $a$ y $b$
$a < x < b$
$(a, b)$
de $a$ a $b$, inclusive
$a \le x \le b$
$[a, b]$
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Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.
Escribe en forma de semirrecta el conjunto de todos los números reales que son menores o iguales que $7$.
Asocia cada una de las siguientes frases con su correspondiente intervalo matemático: "Temperaturas bajo cero." "Edades entre 12 y 16 años, ambos inclusive." "Precios…
Asocia cada una de las siguientes frases con su correspondiente intervalo matemático:
El letrero de la montaña rusa da las estaturas $[48, 74]$. Podemos describir el mismo intervalo de otra manera: con su punto medio y lo que se extiende hacia cada lado. Algunos problemas lo llaman entorno, y se escribe $E(a, r)$.
Para pasar de un intervalo $(p, q)$ a la forma de centro y radio:
centro = punto medio $= \dfrac{p + q}{2}$
radio = distancia del centro a un extremo $= \dfrac{q - p}{2}$ (la mitad de la longitud)
¿Por qué? El centro es el punto que está a la misma distancia de ambos extremos, es decir, el punto medio. El radio es esa distancia.
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Escriba en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.
Escriba en forma de entorno $E(a, r)$ el intervalo abierto $(2, 10)$.
En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18.5, 24.9]$. Expresa este rango en forma…
En el ámbito de la nutrición, se considera que el Índice de Masa Corporal (IMC) es saludable si se encuentra en el intervalo $[18.5, 24.9]$. Expresa este rango en forma de entorno cerrado, calculando previamente su centro y su radio.
El valor absoluto $|x - a|$ es la distancia entre $x$ y $a$ en la recta numérica. (Algunos problemas dicen módulo, que es lo mismo que valor absoluto.) La distancia es justo lo que describen un centro y un radio, así que las desigualdades con valor absoluto y los intervalos son dos maneras de decir lo mismo.
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Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.
Expresa en forma de desigualdad y mediante un intervalo el conjunto de números reales cuya distancia al cero es estrictamente menor que $5$.
Expresa mediante valor absoluto el conjunto de números reales cuya distancia al número $-2$ es menor o igual que $6$, y escribe el intervalo resultante.
Expresa mediante valor absoluto el conjunto de números reales cuya distancia al número $-2$ es menor o igual que $6$, y escribe el intervalo resultante.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el intervalo solución de la inecuación $|x - k| \le 5$ tenga como extremo superior el número $12$. Una vez calculado $k$,…
Determina el valor del parámetro $k$ para que el intervalo solución de la inecuación $|x - k| \le 5$ tenga como extremo superior el número $12$. Una vez calculado $k$, indica cuál es el extremo inferior del intervalo y exprésalo en forma de entorno.
En la vida real, "valor objetivo $\pm$ error" está en todas partes: piezas en una fábrica, termómetros, tazas medidoras. La frase "el valor es $a$ con un error máximo de $r$" es exactamente $|x - a| \le r$.
Ahora la situación inversa: un instrumento que es impreciso. Si un termómetro marca $m$ y tiene un error máximo de $e$, el valor real está en algún lugar de $[m - e,\ m + e]$. Para estar seguros de que el valor real está en un intervalo seguro, todo ese intervalo tiene que caber dentro del intervalo seguro.
Practica★★☆Sin empezar
Una máquina produce ejes de acero cuya longitud ideal es de $120\text{ mm}$. El control de calidad permite un error máximo de $0.5\text{ mm}$. Expresa el rango de…
Una máquina produce ejes de acero cuya longitud ideal es de $120\text{ mm}$. El control de calidad permite un error máximo de $0.5\text{ mm}$. Expresa el rango de longitudes permitidas como un entorno, como una desigualdad con valor absoluto y, finalmente, como un intervalo.
El precio de las acciones de una empresa tecnológica osciló durante la semana dentro del entorno $E(24.5, 1.8)$ dólares. Determina el precio máximo y mínimo que…
El precio de las acciones de una empresa tecnológica osciló durante la semana dentro del entorno $E(24.5, 1.8)$ dólares. Determina el precio máximo y mínimo que alcanzaron las acciones y exprésalo como un intervalo cerrado.
Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7.2, 7.6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error…
Para que el agua de una piscina sea segura, su pH debe estar estrictamente en el intervalo $[7.2, 7.6]$. Si disponemos de un medidor electrónico que tiene un error absoluto máximo de $0.1$, determina en qué intervalo debe dar la lectura el aparato para que tengamos la certeza absoluta de que el pH real es seguro. Exprésalo también como entorno.
Los intervalos son conjuntos, así que se pueden combinar. La unión $A \cup B$ es todo lo que está en $A$ o en $B$ (o en ambos). La intersección $A \cap B$ es solo lo que está en $A$ y en $B$.
El mejor método: dibuja ambos intervalos en rectas numéricas apiladas y luego lee la unión (todo lo cubierto) y la intersección (lo cubierto por ambos). En cada extremo, pregúntate si ese número exacto está en el resultado.
Practica★★☆Sin empezar
Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
Dados los intervalos $A = [-4, 3)$ y $B = (0, 6]$, determina el intervalo resultante de la unión $A \cup B$ y de la intersección $A \cap B$.
En un laboratorio, la cepa de bacterias Alpha* sobrevive a temperaturas comprendidas en el intervalo $(-5, 20]$ °F, mientras que la cepa Beta* sobrevive en el intervalo…
En un laboratorio, la cepa de bacterias Alpha sobrevive a temperaturas comprendidas en el intervalo $(-5, 20]$ °F, mientras que la cepa Beta sobrevive en el intervalo $[10, 35)$ °F. Determina en qué intervalo de temperaturas pueden convivir ambas cepas y exprésalo como una desigualdad.
Muchas preguntas reales tienen dos condiciones. "Y" significa la intersección de los dos conjuntos solución. "O" significa la unión.
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Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en lb) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos…
Un puente está diseñado para soportar cargas $C$ (en lb) que cumplan la condición $|C - 4500| \le 1500$. Por otra parte, una normativa local prohíbe el paso de vehículos que superen los $5500\text{ kg}$. Determina el intervalo real de cargas que pueden circular por el puente cumpliendo ambas condiciones.
Encuentra el intervalo de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las inecuaciones $3x - 2 \le 7$ y $5 - x < 4$. Una vez hallado, exprésalo como entorno.
Encuentra el intervalo de números reales $x$ que cumplen simultáneamente las inecuaciones $3x - 2 \le 7$ y $5 - x < 4$. Una vez hallado, exprésalo como entorno.
La longitud de un intervalo con extremos $a < b$ es $b - a$, estén o no incluidos los extremos. Esto te permite comparar trozos y calcular porcentajes. Para hallar lo que sobra cuando quitas un intervalo de otro, resta el traslape y conserva los trozos que quedan.
Los problemas de astronomía usan la misma idea con distancias medidas en unidades astronómicas (UA, o AU en inglés). Una UA es la distancia promedio de la Tierra al Sol, unos $93$ millones de millas, así que la Tierra orbita a unas $1$ UA. Es la misma unidad.
Practica★★★Sin empezar
Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en pulgadas) cumple la condición $|L - 30| < 0.5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían…
Un fabricante de tornillos acepta aquellos cuya longitud $L$ (en pulgadas) cumple la condición $|L - 30| < 0.5$. Se recibe un lote de tornillos cuyas longitudes varían uniformemente en el intervalo $[29.2, 30.8]$. ¿Qué porcentaje del rango de longitudes de este lote será rechazado por el control de calidad?
La "zona de habitabilidad" de una estrella enana roja se define mediante un entorno de centro $0.8\text{ UA}$ y radio $0.2\text{ UA}$. Un exoplaneta tiene una órbita…
La "zona de habitabilidad" de una estrella enana roja se define mediante un entorno de centro $0.8\text{ UA}$ y radio $0.2\text{ UA}$. Un exoplaneta tiene una órbita elíptica cuya distancia al astro varía en el intervalo $[0.5, 1.1]\text{ UA}$. Determina qué intervalos de la órbita del planeta caen fuera de la zona de habitabilidad.