Razón de cambio promedio y tasa de crecimiento porcentual
Manejas de Chicago a St. Louis, unas 300 millas, en 5 horas. Tu rapidez promedio fue de 60 mph, pero el velocímetro nunca tuvo que marcar exactamente 60. ¿Cómo puede un solo número resumir todo un viaje y qué es lo que oculta? En esta sección medirás qué tan rápido cambia una función en un intervalo, de dos maneras: en términos absolutos (millas por hora) y en términos relativos (porcentaje).
Cambio neto y razón de cambio promedio
¿Por qué dividir entre $b - a$? Un intervalo largo suele producir un cambio neto mayor solo por ser largo. Al dividir entre la longitud obtienes el cambio por cada unidad de $x$, y así puedes comparar intervalos de distinta longitud. Las unidades de la respuesta son "unidades de $y$ por unidad de $x$", como millas por hora, dólares por mes o pies por segundo.
Dada la función lineal $f(x) = 3x - 5$, calcule la tasa de variación (TV) en el intervalo $[2, 5]$.
Dada la función lineal $f(x) = 3x - 5$, calcule la tasa de variación (TV) en el intervalo $[2, 5]$.
Calcule la tasa de variación media (TVM) de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$ en el intervalo $[1, 4]$.
Calcule la tasa de variación media (TVM) de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$ en el intervalo $[1, 4]$.
Dada la función $f(x) = 2x^2 + 1$, halle la tasa de variación (TV) y la tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[-1, 2]$.
Dada la función $f(x) = 2x^2 + 1$, halle la tasa de variación (TV) y la tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[-1, 2]$.
Tablas, gráficas y rectas secantes
No siempre te dan una fórmula. A veces te dan una tabla o una gráfica. La idea es la misma: lee los valores de los dos extremos y luego calcula $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
En una gráfica, la razón de cambio promedio tiene una imagen. Une los dos puntos $A(a, f(a))$ y $B(b, f(b))$ con una línea recta, llamada recta secante (secant line).
¿Por qué? La pendiente es "cambio vertical entre cambio horizontal"; aquí el cambio vertical es $\Delta y = f(b) - f(a)$ y el horizontal es $\Delta x = b - a$. Es la misma fórmula que usaste para rectas en Álgebra 1, ahora aplicada a dos puntos de una curva.
A partir de la siguiente tabla de valores, que muestra la distancia $d$ (en millas) recorrida por un ciclista en función del tiempo $t$ (en horas), calcule la velocidad…
A partir de la siguiente tabla de valores, que muestra la distancia $d$ (en millas) recorrida por un ciclista en función del tiempo $t$ (en horas), calcule la velocidad media (que equivale a la tasa de variación media) entre $t = 1$ y $t = 3$ horas.
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$t$ (h): $0, 1, 2, 3, 4$
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$d$ (millas): $0, 15, 32, 45, 60$
Observe la gráfica de la función $f(x)$ y calcule la tasa de variación media en el intervalo $[0, 3]$.
Observe la gráfica de la función $f(x)$ y calcule la tasa de variación media en el intervalo $[0, 3]$.
El siguiente gráfico muestra los ingresos mensuales de una tienda en línea (en miles de dólares) durante los primeros 6 meses del año. Calcule y compare la tasa de…
El siguiente gráfico muestra los ingresos mensuales de una tienda en línea (en miles de dólares) durante los primeros 6 meses del año. Calcule y compare la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[4, 6]$.
Interpretar razones de cambio en contexto
Un número como $-16$ solo sirve si puedes decir qué significa. Responde siempre con el signo, las unidades y el intervalo.
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Una razón positiva significa que la salida aumenta en promedio en el intervalo. Una razón negativa significa que disminuye.
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Para comparar qué tan rápido cambian las cosas, compara los valores absolutos de las razones. El signo solo indica la dirección.
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Las unidades son (unidades de $y$) por (unidad de $x$).
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = -2t^2 + 12t + 20$. Calcule la…
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = -2t^2 + 12t + 20$. Calcule la tasa de variación media de la temperatura en el intervalo $[1, 4]$ e interprete el significado del resultado en el contexto del problema.
Las ganancias de una empresa constructora (en miles de dólares) se modelan con la función $G(x) = -x^2 + 10x - 9$, donde $x$ es el mes del año. Calcule la tasa de…
Las ganancias de una empresa constructora (en miles de dólares) se modelan con la función $G(x) = -x^2 + 10x - 9$, donde $x$ es el mes del año. Calcule la tasa de variación media en el intervalo $[2, 5]$ y en el intervalo $[6, 8]$. ¿Qué indican los signos obtenidos en cada caso sobre la marcha de la empresa?
Observe la gráfica que representa la evolución del número de infectados durante una epidemia (en miles de personas) a lo largo de 8 semanas. Identifique visualmente y…
Observe la gráfica que representa la evolución del número de infectados durante una epidemia (en miles de personas) a lo largo de 8 semanas. Identifique visualmente y luego calcule de forma exacta la tasa de variación media en el intervalo de dos semanas consecutivas donde dicha tasa alcanza su valor máximo.
Tasa de crecimiento porcentual
¿Ganar 10 seguidores es una gran noticia? Depende de dónde empezaste. La razón de cambio promedio mide el cambio en términos absolutos. La tasa de crecimiento porcentual (muchos libros la llaman cambio porcentual) lo mide en relación con el valor inicial.
Una tasa de crecimiento porcentual negativa significa una disminución. Por ejemplo, una baja de $50$ a $40$ es $\dfrac{40 - 50}{50} = -20\%$.
El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcule la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.
El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcule la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.
El precio de una acción en bolsa pasó de $\$15$ a $\$18$. ¿Cuál fue su tasa de crecimiento porcentual en ese periodo?
El precio de una acción en bolsa pasó de $\$15$ a $\$18$. ¿Cuál fue su tasa de crecimiento porcentual en ese periodo?
El precio de un producto tecnológico era de $\$800$ en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $\$640$. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcule…
El precio de un producto tecnológico era de $\$800$ en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $\$640$. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcule la tasa de variación media mensual y la tasa de crecimiento porcentual total en esos dos primeros meses.
Funciones lineales: una razón constante
Las distintas familias de funciones tienen "firmas" distintas en sus razones de cambio. Las rectas tienen la más sencilla.
Una recta cambia la misma cantidad por cada unidad de $x$, pero su cambio porcentual se reduce a medida que los valores crecen. Para $L(t) = 40t + 100$: de $t = 0$ a $1$ el valor pasa de $100 \to 140$ ($+40\%$), y de $t = 1$ a $2$ pasa de $140 \to 180$ (alrededor de $+28.6\%$).
Demuestre algebraicamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo cualquiera $[a, b]$ (con $a \neq b$) es siempre…
Demuestre algebraicamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo cualquiera $[a, b]$ (con $a \neq b$) es siempre constante e igual a su pendiente $m$.
Funciones exponenciales: una tasa porcentual constante
Las funciones exponenciales se comportan al revés. Sea $P(t) = A \cdot b^t$ con $A > 0$ y $b > 0$.
El crecimiento de una población de bacterias en un cultivo viene dado por la función $P(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. Calcule la tasa de crecimiento…
El crecimiento de una población de bacterias en un cultivo viene dado por la función $P(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. Calcule la tasa de crecimiento porcentual de la población en el intervalo de tiempo $[0, 2]$.
El valor de un carro se deprecia según la función $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en dólares.…
El valor de un carro se deprecia según la función $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en dólares. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en el primer año (intervalo $[0, 1]$) y explique el significado práctico de su signo.
Sea la función exponencial $f(x) = 2^x$. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en los intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ y $[3, 4]$. A partir de los resultados obtenidos,…
Sea la función exponencial $f(x) = 2^x$. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en los intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ y $[3, 4]$. A partir de los resultados obtenidos, demuestre algebraicamente que para cualquier intervalo de la forma $[n, n+1]$ (con $n \in \mathbb{N}$), la tasa de crecimiento porcentual de esta función es siempre constante.
Comparar modelos lineales y exponenciales
| Lineal $mx + b$ | Exponencial $A b^x$ | |
|---|---|---|
| Razón de cambio promedio | constante ($= m$) | crece o decrece |
| Tasa de crecimiento porcentual (intervalos de igual longitud) | cambia | constante ($= b - 1$ por unidad) |
Cuando te dan dos modelos, calcula la tasa de crecimiento porcentual de cada uno en el mismo intervalo y luego compara.
Una empresa de mercadotecnia analiza el rendimiento de dos campañas publicitarias. La campaña A genera visitas a un sitio web según el modelo lineal…
Una empresa de mercadotecnia analiza el rendimiento de dos campañas publicitarias. La campaña A genera visitas a un sitio web según el modelo lineal $V_A(t) = 100t + 500$, y la campaña B según el modelo exponencial $V_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (donde $t$ se mide en días). Calcule la tasa de crecimiento porcentual de ambas campañas en el intervalo $[2, 4]$ y determine cuál experimenta un crecimiento relativo mayor en ese periodo.
Variación inversa y otras funciones
Las mismas dos fórmulas sirven para cualquier función. Solo evalúa en los extremos.
Calcule la tasa de variación media de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{12}{x}$ en el intervalo $[2, 6]$.
Calcule la tasa de variación media de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{12}{x}$ en el intervalo $[2, 6]$.
El nivel de agua de un embalse (en hectómetros cúbicos) durante los meses de verano sigue la función $N(t) = \frac{120}{t+1}$, donde $t$ es el número de meses…
El nivel de agua de un embalse (en hectómetros cúbicos) durante los meses de verano sigue la función $N(t) = \frac{120}{t+1}$, donde $t$ es el número de meses transcurridos ($t=0$ es el inicio de junio, $t=1$ es el inicio de julio, etc.). Calcule la tasa de variación media entre el inicio de junio y el inicio de agosto ($t=2$) y la tasa de crecimiento porcentual en ese mismo periodo.
Determine el valor del parámetro $k$ para que la tasa de crecimiento porcentual de la función $f(x) = \frac{k}{x+2}$ en el intervalo $[2, 8]$ sea exactamente del…
Determine el valor del parámetro $k$ para que la tasa de crecimiento porcentual de la función $f(x) = \frac{k}{x+2}$ en el intervalo $[2, 8]$ sea exactamente del $-60\%$. ¿Depende el resultado final del valor inicial de $k$? Razone su respuesta algebraicamente.
Modelos de costo y ganancia
Los modelos cuadráticos aparecen siempre que las curvas de costo o de ganancia se curvan. El método no cambia.
El costo total de producción de $x$ unidades de un artículo viene dado por la función $C(x) = 0,1x^2 + 5x + 200$. Si el volumen de producción en la fábrica pasa de $40$…
El costo total de producción de $x$ unidades de un artículo viene dado por la función $C(x) = 0,1x^2 + 5x + 200$. Si el volumen de producción en la fábrica pasa de $40$ a $60$ unidades, calcule el incremento del costo total (TV), el costo medio por cada unidad adicional producida (TVM) y la tasa de crecimiento porcentual del costo total en dicho intervalo.
Trabajar al revés: hallar valores desconocidos
A veces te dan la razón y tienes que hallar un parámetro o un extremo. Escribe la razón de cambio promedio como una expresión, iguálala al valor dado y resuelve.
Sabiendo que la tasa de variación media de la función $f(x) = ax^2 - 3x$ en el intervalo $[1, 3]$ es igual a $5$, determine el valor numérico del parámetro $a$.
Sabiendo que la tasa de variación media de la función $f(x) = ax^2 - 3x$ en el intervalo $[1, 3]$ es igual a $5$, determine el valor numérico del parámetro $a$.
La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en pies y $t$ en segundos). Encuentre el instante exacto de tiempo $t > 1$ para…
La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en pies y $t$ en segundos). Encuentre el instante exacto de tiempo $t > 1$ para el cual la velocidad media (que coincide con la tasa de variación media) en el intervalo $[1, t]$ es exactamente de $25$ pies/s.
Sabiendo que una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ tiene su vértice exactamente en el punto $(2, -1)$ y pasa por el punto de corte con el eje de…
Sabiendo que una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ tiene su vértice exactamente en el punto $(2, -1)$ y pasa por el punto de corte con el eje de ordenadas en $(0, 3)$, plantee el sistema correspondiente para encontrar su expresión y, a continuación, calcule su tasa de variación media en el intervalo $[1, 4]$.
De vuelta al viaje: la rapidez promedio de 60 mph es la razón de cambio promedio de tu distancia en $[0, 5]$ horas. Es la rapidez constante que recorrería las mismas 300 millas en el mismo tiempo, pero tu velocímetro muestra la razón en un intervalo diminuto alrededor de un instante, y esa puede ser mayor o menor.