Operaciones con números complejos en forma polar

Forma polar: un repaso rápido

Todo número complejo no nulo $z = a + bi$ es un punto $(a, b)$ en el plano complejo. (Algunos problemas llaman a este punto el afijo de $z$. Es simplemente el punto que representa a $z$.) Puedes describir ese punto por su distancia al origen y su dirección.

Para pasar de una forma a otra, usa trigonometría del triángulo rectángulo:

• De polar a cartesiana: $a = r\cos\theta$ y $b = r\sin\theta$.

• De cartesiana a polar: $r = \sqrt{a^2 + b^2}$. Halla el ángulo de referencia con $\tan^{-1}\left|\tfrac{b}{a}\right|$ y luego coloca $\theta$ en el cuadrante correcto.

Dos datos rápidos de la forma polar te servirán en toda la página.

Por ejemplo, si $z = 7_{110^\circ}$, entonces $\bar z = 7_{-110^\circ} = 7_{250^\circ}$ y $-z = 7_{290^\circ}$.

Multiplicar y dividir en forma polar

Multiplicar dos números complejos en forma cartesiana requiere cuatro productos. En forma polar es casi gratis.

¿Por qué? Multiplica las dos formas trigonométricas y usa las fórmulas de la suma de ángulos:

La parte real es $\cos(\alpha+\beta)$ y la parte imaginaria es $\sin(\alpha+\beta)$. Así que el resultado es $rs\,[\cos(\alpha+\beta) + i\sin(\alpha+\beta)]$.

La figura muestra $z_1 = 2_{30^\circ}$ por $z_2 = 5_{45^\circ}$. El producto tiene módulo $2 \cdot 5 = 10$, que es 5 veces la longitud de $z_1$, y argumento $30^\circ + 45^\circ = 75^\circ$.

Con varios factores, trabaja por separado los módulos y los ángulos. Para una cadena como $\dfrac{a_\alpha \cdot b_\beta}{c_\gamma}$ el resultado es $\left(\dfrac{ab}{c}\right)_{\alpha+\beta-\gamma}$.

Multiplicar es girar y escalar

La regla del producto tiene un significado geométrico. Multiplicar $z$ por $s_\beta$ hace dos cosas a la vez:

• Escala la distancia al origen por el factor $s$.

• Gira el punto $\beta$ grados en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del origen.

El inverso de un número complejo

Dividir entre $z$ es multiplicar por $\dfrac1z$. Pon $1 = 1_{0^\circ}$ en el numerador de la regla del cociente y obtienes el inverso.

Un problema mixto: la impedancia total de dos componentes en paralelo en un circuito de corriente alterna cumple $\dfrac{1}{Z_T} = \dfrac{1}{Z_1} + \dfrac{1}{Z_2}$. Los recíprocos son fáciles en forma polar, pero la suma no. Debes pasar a forma cartesiana para sumar.

Teorema de De Moivre: potencias

Una potencia es una multiplicación repetida. Aplica la regla del producto $n$ veces a $r_\theta$: el módulo se multiplica por sí mismo $n$ veces y da $r^n$, y el argumento se suma consigo mismo $n$ veces y da $n\theta$.

Ahora volvamos a la pregunta inicial: $(1+i)^{20}$. Tenemos $1 + i = (\sqrt2)_{45^\circ}$, así que $(1+i)^{20} = \big((\sqrt2)^{20}\big)_{20\cdot 45^\circ} = 1024_{900^\circ}$. Como $900^\circ - 720^\circ = 180^\circ$, el resultado es $1024_{180^\circ} = -1024$. Veinte multiplicaciones se volvieron una.

Raíces de un número complejo

La ecuación $x^2 = 4$ tiene dos soluciones reales, $\pm 2$. Con los números complejos, $z^n = w$ siempre tiene exactamente $n$ soluciones (el teorema fundamental del álgebra en acción). Da vuelta al teorema de De Moivre para hallarlas.

¿Por qué? Si $z = r_\alpha$ y $z^n = s_\beta$, De Moivre da $r^n = s$ y $n\alpha = \beta + 360^\circ k$ (dos ángulos nombran la misma dirección si difieren en vueltas completas). Resuelve: $r = \sqrt[n]{s}$ y $\alpha = \dfrac{\beta + 360^\circ k}{n}$. Al subir $k$ en uno se suma $\dfrac{360^\circ}{n}$. Con $k = n$ ya sumaste una vuelta completa de $360^\circ$ y la lista se repite, así que $k = 0, \ldots, n-1$ da exactamente $n$ raíces distintas.

Cuando la ecuación no tiene ya la forma $z^n = w$, primero despeja y luego pasa $w$ a forma polar. Para $z^4 + 81 = 0$, escribe $z^4 = -81$ y observa que $-81 = 81_{180^\circ}$.

Raíces como polígonos regulares

Las $n$ raíces de $z^n = w$ están sobre una circunferencia de radio $R = \sqrt[n]{|w|}$ y separadas $\dfrac{360^\circ}{n}$. Por eso son los vértices de un $n$-ágono regular centrado en el origen. Esto significa que puedes aplicarles geometría.

Raíces desplazadas y sistemas ocultos

Algunos problemas parecen más difíciles, pero se reducen a lo que ya sabes.

Cuando un problema dice "la raíz con argumento en el primer cuadrante" (o algo parecido), calcula primero las $n$ raíces y quédate con la que cumple la condición. Si un problema pide "la transformación equivalente a multiplicar por una raíz", elige esa raíz y multiplica con la regla del producto: el ángulo de giro es el argumento de esa raíz.

El teorema de De Moivre como herramienta

El teorema de De Moivre conecta el álgebra con la trigonometría. Hay tres técnicas que aparecen una y otra vez.

Técnica 1: igualar las partes real e imaginaria. Desarrolla $(\cos\alpha + i\sin\alpha)^n$ de dos maneras: con De Moivre y con el desarrollo del binomio. Dos números complejos son iguales cuando sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.

Para el cubo, desarrolla con $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ con $b = i\sin\alpha$, y recuerda que $i^2 = -1$, $i^3 = -i$ y $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

Técnica 2: comparar módulos y luego argumentos. Cuando una ecuación mezcla $z$ y $\bar z$, escribe $z = r_\theta$ y $\bar z = r_{-\theta}$, e iguala los módulos y los ángulos (salvo vueltas completas).

Técnica 3: ¿cuándo una potencia cae sobre el eje real? El punto $(r_\theta)^n$ es un número real positivo cuando $n\theta$ es múltiplo de $360^\circ$, y un número real negativo cuando $n\theta = 180^\circ + 360^\circ k$. Por ejemplo, $(1 + i)^n = \big((\sqrt2)^n\big)_{45^\circ n}$ es un número real positivo cuando $45n$ es múltiplo de $360$, así que el menor $n$ positivo es $8$.

Resumen