¿Qué altura tiene el asta de la bandera frente a tu escuela? Nadie quiere subir con una cinta métrica. Pero puedes medir tu propia sombra, la sombra del asta y tu estatura, y con eso basta. El secreto son los triángulos semejantes: triángulos con la misma forma, de modo que todas sus longitudes están en la misma razón.
Tres maneras de probar que dos triángulos son semejantes
El orden importa: en $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, el vértice $A$ corresponde a $D$, $B$ a $E$ y $C$ a $F$. El factor de escala sirve para todos los pares de longitudes correspondientes: lados, alturas, medianas, perímetros.
No tienes que comprobarlo todo. Basta con uno de estos tres criterios.
Practica★☆☆Sin empezar
Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y…
Dos triángulos tienen, respectivamente, los siguientes ángulos: el primero tiene un ángulo de $45^\circ$ y otro de $60^\circ$; el segundo tiene un ángulo de $60^\circ$ y otro de $75^\circ$. Determina si ambos triángulos son semejantes justificando tu respuesta con base en los criterios de semejanza.
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide…
Los lados de un triángulo miden $5\text{ cm}$, $7\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Sabiendo que un segundo triángulo es semejante a este y que su lado menor mide $15\text{ cm}$, calcula la longitud de los otros dos lados del segundo triángulo.
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y…
Determina si los triángulos $ABC$ y $DEF$ son semejantes, sabiendo que sus lados miden $AB = 12\text{ cm}$, $BC = 16\text{ cm}$, $CA = 20\text{ cm}$ y $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 12\text{ cm}$, $FD = 15\text{ cm}$. En caso afirmativo, indica cuál es el criterio utilizado y la razón de semejanza.
Traza una recta paralela a un lado de un triángulo de modo que corte los otros dos lados. Aparecen dos triángulos, uno dentro del otro. Comparten el ángulo en $A$, y los otros ángulos son congruentes porque son ángulos correspondientes formados por rectas paralelas. Eso es AA.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que…
En un triángulo $ABC$, se traza un segmento $DE$ paralelo a la base $BC$, de modo que el punto $D$ pertenece al lado $AB$ y el punto $E$ al lado $AC$. Sabiendo que $AD = 4\text{ cm}$, $DB = 6\text{ cm}$ y $DE = 5\text{ cm}$, aplica el teorema de Tales en el triángulo para calcular la longitud de la base $BC$.
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y…
En la siguiente figura, los segmentos $DE$ y $BC$ son paralelos. Las longitudes vienen dadas por expresiones algebraicas: $AD = x$, $DB = 2\text{ cm}$, $AE = x + 2$, y $EC = 3\text{ cm}$. Aplica el teorema de Tales para plantear una ecuación y calcular el valor numérico de $x$.
En el mismo momento, los rayos del sol son paralelos. Un objeto vertical y su sombra forman un triángulo rectángulo, y todo objeto vertical forma el mismo ángulo con su rayo. Así, dos objetos y sus sombras dan triángulos rectángulos semejantes (AA).
Una lámpara funciona igual, pero ahora todos los rayos de luz parten de un punto. Busca el triángulo grande (de la lámpara a la punta de la sombra) y el triángulo pequeño (de la persona a la punta de la sombra).
Practica★☆☆Sin empezar
Un árbol proyecta una sombra de $8\text{ m}$ en el mismo instante en que un poste vertical de $1,5\text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $2\text{ m}$. Dibuja…
Un árbol proyecta una sombra de $8\text{ m}$ en el mismo instante en que un poste vertical de $1,5\text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $2\text{ m}$. Dibuja mentalmente los triángulos rectángulos que se forman y calcula la altura del árbol.
Un poste de luz tiene una altura de $4,5\text{ m}$. Una persona que mide $1,8\text{ m}$ se aleja del poste de luz en línea recta. En un momento dado, la persona se…
Un poste de luz tiene una altura de $4,5\text{ m}$. Una persona que mide $1,8\text{ m}$ se aleja del poste de luz en línea recta. En un momento dado, la persona se encuentra a $3\text{ m}$ de la base del poste de luz. Calcula la longitud $x$ de la sombra que proyecta la persona en ese instante.
Un foco de luz se encuentra en el suelo a $12\text{ m}$ de una pared vertical. Una persona de $1,8\text{ m}$ de altura camina desde el foco hacia la pared a una…
Un foco de luz se encuentra en el suelo a $12\text{ m}$ de una pared vertical. Una persona de $1,8\text{ m}$ de altura camina desde el foco hacia la pared a una velocidad constante de $1\text{ m/s}$. Aplica la semejanza de triángulos para calcular la altura $y$ de la sombra de la persona proyectada en la pared cuando han transcurrido $4\text{ s}$ desde que empezó a caminar.
No necesitas el sol. Cualquier situación en la que los ángulos coincidan da triángulos semejantes.
Espejo. La luz rebota en un espejo plano de modo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Pon un espejo en el suelo, párate donde puedas ver en él la parte superior del edificio, y los dos triángulos (tú y el edificio) son semejantes por AA.
Al otro lado de un río. Párate en $A$, justo frente a un árbol $B$. Camina por la orilla hasta $C$, luego hasta $D$, gira y camina alejándote del río hasta $E$, de modo que $C$, $E$ y $B$ queden alineados. Los triángulos $ABC$ y $DEC$ tienen ángulos rectos en $A$ y $D$ y ángulos opuestos por el vértice en $C$, así que son semejantes por AA.
Cámara estenopeica. La luz de la parte superior de un objeto pasa en línea recta por el orificio diminuto y llega invertida a la pared del fondo. Los dos triángulos (objeto-orificio y orificio-imagen) se encuentran en el orificio con ángulos opuestos por el vértice, así que son semejantes. La imagen está invertida, pero lo que importa es la razón.
Practica★★☆Sin empezar
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1,5\text{ m}$ desde el…
Para calcular la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base del edificio. Al retroceder $1,5\text{ m}$ desde el espejo, el estudiante (cuyos ojos están a $1,6\text{ m}$ del suelo) puede ver exactamente la parte más alta del edificio reflejada en él. Sabiendo que los ángulos de incidencia y reflexión en el espejo forman triángulos rectángulos semejantes, calcula la altura del edificio.
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la…
Una cámara oscura (o cámara estenopeica) tiene una profundidad de $15\text{ cm}$. Se sitúa frente a un edificio que está a $30\text{ m}$ de distancia del orificio de la cámara. Si la imagen invertida del edificio que se proyecta en el fondo de la cámara tiene una altura de $12\text{ cm}$, ¿cuál es la altura real del edificio?
Para medir el ancho de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina…
Para medir el ancho de un río de orillas paralelas, un topógrafo se sitúa en un punto $A$ de una orilla, justo enfrente de un árbol $B$ en la orilla opuesta. Camina $15\text{ m}$ por la orilla hasta un punto $C$ y clava un jalón. Luego camina $3\text{ m}$ más hasta el punto $D$, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta un punto $E$, desde el cual ve alineados el jalón $C$ y el árbol $B$. Calcula el ancho $x$ del río.
Si dos figuras son semejantes con factor de escala $k$, no solo cambian las longitudes. El área cambia más rápido que la longitud, porque el área tiene dos dimensiones.
También puedes ir en sentido contrario. Si dos figuras semejantes tienen áreas de $18$ y $50$, la razón de áreas es $\dfrac{50}{18} = \dfrac{25}{9}$, así que $k = \sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3}$.
Practica★☆☆Sin empezar
La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2,5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es $k = 2,5$. Si el área del polígono menor es de $12\text{ cm}^2$, ¿cuál es el área del polígono mayor?
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de…
Dos empresas fabrican velas triangulares semejantes para barcos de competición. El perímetro de la vela pequeña es de $12\text{ m}$ y el de la vela grande es de $18\text{ m}$. Si el área de la vela pequeña es de $6\text{ m}^2$, ¿cuál es el área de la vela grande?
Corta una pirámide o un cono con un plano paralelo a la base. La sección es semejante a la base, y la pieza pequeña de arriba es una copia más pequeña del sólido completo. El factor de escala es
$$k = \frac{\text{distancia del vértice al corte}}{\text{altura total}}$$
La misma idea sirve para los líquidos. Un vaso cónico con agua contiene un cono de agua más pequeño, semejante al vaso.
Practica★★☆Sin empezar
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a…
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12\text{ cm}$ y el lado de su base mide $8\text{ cm}$. Se corta la pirámide por un plano paralelo a la base, situado a $3\text{ cm}$ del vértice. Calcula el área de la sección obtenida y el volumen de la pirámide deficiente (la pequeña pirámide superior).
Un tanque de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si el…
Un tanque de agua tiene forma de cono invertido (el vértice hacia abajo) con un radio en la base superior de $3\text{ m}$ y una profundidad total de $4\text{ m}$. Si el tanque contiene agua hasta una altura de $2\text{ m}$, utiliza la relación entre los volúmenes de cuerpos semejantes para calcular el volumen de agua que contiene y el volumen vacío restante.
Traza la altura desde el ángulo recto de un triángulo rectángulo hasta la hipotenusa. Divide el triángulo en dos triángulos rectángulos más pequeños. Cada uno comparte un ángulo agudo con el grande, así que por AA los tres triángulos son semejantes.
De $\triangle ACD \sim \triangle CBD \sim \triangle ABC$, al escribir las proporciones de los lados correspondientes se obtiene:
Algunos problemas llaman al segundo teorema simplemente leg theorem.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) que miden $4\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura $h$.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3,6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para…
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide $10\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre ella mide $3,6\text{ cm}$. Aplica el teorema del cateto para hallar la longitud de dicho cateto.
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4,5\text{ cm}$. Aplica…
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide $6\text{ cm}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de $4,5\text{ cm}$. Aplica los teoremas de la semejanza en triángulos rectángulos para calcular el perímetro y el área del triángulo completo.
Triángulos rectángulos con incógnitas, rectángulos y esferas
A veces el triángulo rectángulo está escondido, o la incógnita es un segmento. Entonces una ecuación de álgebra (a menudo cuadrática) hace el trabajo.
Practica★★★Sin empezar
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos (proyecciones) tales que uno es $5\text{ cm}$ más largo que el otro. Si la altura mide $6\text{ cm}$, determina analíticamente la longitud de los dos segmentos y calcula el perímetro exacto del triángulo original.
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de…
La diagonal de un rectángulo mide $20\text{ cm}$. Si trazamos la perpendicular desde uno de los vértices a la diagonal, esta queda dividida en dos segmentos. Si uno de los segmentos mide $7,2\text{ cm}$, halla el área total del rectángulo aplicando los teoremas del cateto y de la altura.
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de…
En una esfera de radio $R = 15\text{ cm}$ se inscribe un cono recto cuya generatriz mide $g = 24\text{ cm}$. Considera el triángulo rectángulo formado por el diámetro de la esfera y la generatriz del cono para aplicar los teoremas de semejanza. Calcula el radio de la base del cono y su altura.
En los problemas más difíciles, los dos triángulos no están dibujados. Busca rectas paralelas (ángulos correspondientes iguales), ángulos rectos, ángulos compartidos y ángulos opuestos por el vértice. Luego nombra los triángulos en orden correspondiente y plantea una proporción.
Un cuadrado en un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo tiene catetos de $12$ ft y $4$ ft. Un cuadrado de lado $x$ tiene un vértice en el ángulo recto y el vértice opuesto sobre la hipotenusa.
Cables cruzados. Dos postes verticales están sobre terreno plano. Un cable va desde la parte superior de cada poste hasta la base del otro.
Prolongar un trapecio. Prolonga los lados oblicuos de un trapecio hasta que se encuentren. El triángulo pequeño de arriba es semejante al triángulo grande, porque las bases son paralelas.
Practica★★★Sin empezar
En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con…
En un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, se inscribe un cuadrado de lado $x$ de tal forma que uno de los vértices del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo, y el vértice opuesto descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor exacto del lado del cuadrado $x$.
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable…
Dos postes verticales de alturas $4\text{ m}$ y $6\text{ m}$ están situados sobre un suelo horizontal, separados por una distancia de $10\text{ m}$. Se tiende un cable recto desde la parte superior de cada poste hasta la base del otro. Calcula a qué altura $h$ del suelo se cruzan ambos cables. Demuestra si este resultado depende o no de la distancia que separa los postes.
Se tiene un trapecio rectángulo cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se…
Se tiene un trapecio rectángulo cuyas bases miden $15\text{ cm}$ y $25\text{ cm}$, y su altura es de $12\text{ cm}$. Se prolongan los lados no paralelos hasta que se cortan en un punto, formando un triángulo en la parte superior. Calcula la altura $x$ de dicho triángulo superior y el área total del gran triángulo formado.
Volvamos al principio: con un estudiante de $6$ ft que proyecta una sombra de $4$ ft y la sombra del asta midiendo $30$ ft, los triángulos semejantes dan un asta de $45$ ft, sin que nadie tenga que subir a nada.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel fácil en este apartado