Exponentes racionales y radicales
Aaliyah deposita $\$500$ en una cuenta que crece 44% cada año. Después de 1.5 años, su saldo es $500 \cdot 1.44^{3/2}$. Pero ¿qué significa elevar un número a la potencia $\tfrac{3}{2}$? ¿Y se puede hallar el valor exacto sin calculadora? Al final de esta página sabrás hacerlo.
Radicales como exponentes racionales
Ya sabes que $9^1 \cdot 9^1 = 9^2$: al multiplicar potencias con la misma base, se suman los exponentes. Ahora pregúntate: ¿qué número sería $9^{1/2}$ para que $9^{1/2} \cdot 9^{1/2} = 9^{1/2 + 1/2} = 9^1$? Un número que multiplicado por sí mismo da $9$, es decir, $\sqrt{9} = 3$. Por eso tiene sentido definir $9^{1/2} = \sqrt{9}$. La misma idea funciona con cualquier índice.
Como $a^{m/n} = (a^{1/n})^m$, puedes sacar primero la raíz y luego elevar a la potencia. Para trabajar con valores exactos, saca siempre la raíz primero: los números se mantienen pequeños.
Las gráficas de arriba son las curvas de la raíz cuadrada y la raíz cúbica. Observa que ambas pasan por $(0, 0)$ y $(1, 1)$.
Expresa como radical las siguientes potencias de exponente fraccionario y calcula su valor exacto si es un número entero: a) $27^{\frac{1}{3}}$ b) $16^{\frac{3}{4}}$ c)…
Expresa como radical las siguientes potencias de exponente fraccionario y calcula su valor exacto si es un número entero:
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a) $27^{\frac{1}{3}}$
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b) $16^{\frac{3}{4}}$
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c) $5^{\frac{2}{3}}$
Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario los siguientes radicales y simplifica la fracción del exponente: a) $\sqrt[6]{x^2}$ b) $\sqrt[15]{a^5}$ c)…
Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario los siguientes radicales y simplifica la fracción del exponente:
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a) $\sqrt[6]{x^2}$
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b) $\sqrt[15]{a^5}$
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c) $\sqrt[8]{2^6}$
Simplificar radicales: sacar y meter factores
Un radical está en su forma más simple cuando ningún factor del radicando es una potencia perfecta del índice. Para simplificar, busca el mayor cuadrado perfecto (para $\sqrt{\ }$), el mayor cubo perfecto (para $\sqrt[3]{\ }$), etc., que divida al radicando.
¿Por qué funciona? La raíz de un producto es el producto de las raíces, así que $\sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Con variables, divide cada exponente entre el índice. El cociente indica cuántas copias salen del radical y el residuo se queda dentro.
El movimiento inverso es meter un factor dentro del radical. Un factor $a$ fuera de un radical de índice $n$ entra como $a^n$:
$$a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$$Extrae todos los factores posibles del interior de los siguientes radicales: a) $\sqrt{50}$ b) $\sqrt[3]{16}$ c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$
Extrae todos los factores posibles del interior de los siguientes radicales:
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a) $\sqrt{50}$
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b) $\sqrt[3]{16}$
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c) $\sqrt[4]{x^7 y^5}$
Introduce los factores dentro del radical y simplifica la expresión resultante si es posible: a) $3 \sqrt{2}$ b) $x^2 \sqrt[3]{x}$ c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, con $a \ge 0$
Introduce los factores dentro del radical y simplifica la expresión resultante si es posible:
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a) $3 \sqrt{2}$
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b) $x^2 \sqrt[3]{x}$
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c) $2a \sqrt[4]{3a^2}$, con $a \ge 0$
Multiplicar, dividir y elevar radicales con el mismo índice
Cuando los índices coinciden, puedes trabajar directamente con los radicandos.
Realiza los siguientes productos de radicales del mismo índice y extrae factores del resultado si es posible: a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ b)…
Realiza los siguientes productos de radicales del mismo índice y extrae factores del resultado si es posible:
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a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$
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b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$
Calcula y simplifica el resultado de las siguientes divisiones de radicales: a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$ b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$
Calcula y simplifica el resultado de las siguientes divisiones de radicales:
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a) $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$
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b) $\frac{\sqrt[3]{40}}{\sqrt[3]{5}}$
Calcula las siguientes potencias de radicales, introduciendo el exponente en el radicando y expresando el resultado de la forma más sencilla posible: a)…
Calcula las siguientes potencias de radicales, introduciendo el exponente en el radicando y expresando el resultado de la forma más sencilla posible:
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a) $(\sqrt[3]{5})^6$
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b) $(\sqrt{x^3})^4$
Sumar radicales y racionalizar denominadores
Los radicales se suman como los términos semejantes. Dos radicales con el mismo índice y el mismo radicando son radicales semejantes, y se suman sus coeficientes: $4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.
Los radicales con radicandos distintos no se pueden combinar: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$. Pero radicales que no parecen semejantes pueden serlo después de simplificarlos.
Por convención, una respuesta simplificada no tiene radicales en el denominador. Para eliminarlo, multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador. Esto se llama racionalizar el denominador.
Un arquitecto paisajista está diseñando una zona verde con forma de triángulo escaleno y necesita calcular su perímetro para encargar una valla. Los planos indican que…
Un arquitecto paisajista está diseñando una zona verde con forma de triángulo escaleno y necesita calcular su perímetro para encargar una valla. Los planos indican que los lados miden $\sqrt{48}$ pies, $\sqrt{75}$ pies y $\sqrt{12}$ pies. Simplifica los radicales extrayendo factores y calcula el perímetro exacto expresado como un único radical.
Una cooperativa agrícola quiere cercar un terreno con forma de cuadrado cuya área total es de $1250 \text{ m}^2$. Calcula la longitud exacta del lado del terreno…
Una cooperativa agrícola quiere cercar un terreno con forma de cuadrado cuya área total es de $1250 \text{ m}^2$. Calcula la longitud exacta del lado del terreno extrayendo factores del radical y determina cuántos pies de cerca necesitarán en total, dejando el resultado en su forma radical más simple.
Índice común y radicales anidados
Si los índices son distintos, no puedes combinar los radicandos directamente. Escribe cada radical como una potencia y pon los exponentes con un denominador común.
El mismo truco te permite comparar radicales: dales el mismo índice y luego compara los radicandos.
En los radicales anidados que además tienen factores delante, trabaja de adentro hacia afuera: reescribe el radical interior como potencia, multiplícalo con su radicando y luego pasa a la siguiente capa.
Expresa como un único radical utilizando la propiedad de la raíz de una raíz y simplifica el índice si se puede: a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$ b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$
Expresa como un único radical utilizando la propiedad de la raíz de una raíz y simplifica el índice si se puede:
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a) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$
-
b) $\sqrt[4]{\sqrt{x^8}}$
Para la fabricación de tres componentes electrónicos se requieren láminas protectoras cuyos grosores, medidos en pulgadas, vienen dados por las expresiones…
Para la fabricación de tres componentes electrónicos se requieren láminas protectoras cuyos grosores, medidos en pulgadas, vienen dados por las expresiones $A = \sqrt[3]{5}$, $B = \sqrt[4]{7}$ y $C = \sqrt[6]{24}$. Reduce los radicales a índice común para ordenar los grosores de las láminas de menor a mayor.
Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados introduciendo progresivamente los factores en los radicales más internos y expresando el resultado final como…
Simplifica la siguiente expresión con radicales anidados introduciendo progresivamente los factores en los radicales más internos y expresando el resultado final como una sola raíz:
$$ \sqrt{2 \sqrt[3]{2 \sqrt{2}}} $$Leyes de los exponentes con exponentes racionales
Todas las reglas que conoces para exponentes enteros también funcionan con exponentes racionales. Esa es la razón principal para convertir los radicales en potencias: solo necesitas un conjunto de reglas.
Dos datos más que necesitas: $(ab)^p = a^p b^p$ y $a^{-p} = \dfrac{1}{a^p}$. Para combinar exponentes fraccionarios, usa un denominador común, como con cualquier fracción.
Cuando quieras la respuesta final en forma radical, escríbela con exponentes positivos y sin exponentes fraccionarios.
Efectúa las siguientes operaciones reduciendo previamente a índice común y extrae los factores posibles del resultado final: a)…
Efectúa las siguientes operaciones reduciendo previamente a índice común y extrae los factores posibles del resultado final:
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a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{8}$
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b) $\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[6]{3}}$
Opera utilizando las propiedades de las potencias fraccionarias y expresa el resultado final en forma de raíz simplificada: $$ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot…
Opera utilizando las propiedades de las potencias fraccionarias y expresa el resultado final en forma de raíz simplificada:
$$ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{x^{\frac{1}{4}}} $$Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, asumiendo que $a$ y $b$ son números reales positivos. Expresa el resultado final empleando notación radical, sin…
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, asumiendo que $a$ y $b$ son números reales positivos. Expresa el resultado final empleando notación radical, sin dejar exponentes negativos ni fraccionarios en la solución:
$$ \left( \frac{\sqrt[4]{a^3 \cdot b} \cdot \sqrt[3]{a \cdot b^2}}{\sqrt[12]{a^5 \cdot b^7}} \right)^{-2} $$Las potencias como herramienta para resolver problemas
Los problemas complicados (radicales anidados con variables, ecuaciones con radicales, demostraciones) se resuelven con el mismo plan: convierte todo en potencias de la misma base.
Ecuaciones. Si dos potencias de la misma base son iguales, sus exponentes son iguales: $2^u = 2^v$ significa $u = v$. Por eso, reescribe ambos lados como potencias de una misma base y luego resuelve la ecuación lineal para el exponente. Algunos problemas piden la respuesta como fracción en su forma más simple (en su mínima expresión), así que reduce tu fracción final.
Demostraciones. Para probar que dos expresiones radicales son iguales, conviértelas en potencias y muestra que los exponentes coinciden. Cada signo de igualdad debe justificarse con una regla.
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación, transformando previamente todas las expresiones a potencias de base $2$ con exponentes racionales: $$…
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación, transformando previamente todas las expresiones a potencias de base $2$ con exponentes racionales:
$$ \sqrt[3]{16} \cdot 2^x = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt[4]{2}} $$Exprese la solución final en forma de fracción irreducible.
Demuestre, utilizando rigurosamente las propiedades de las potencias de exponente racional, que para cualquier número real positivo $x$, la expresión…
Demuestre, utilizando rigurosamente las propiedades de las potencias de exponente racional, que para cualquier número real positivo $x$, la expresión $\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}}$ es equivalente a $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}}$. A continuación, aplique esta propiedad o el paso a potencias para calcular el valor exacto numérico de la siguiente suma:
$$ \sqrt[3]{\sqrt{64}} + \sqrt{\sqrt[3]{729}} $$Simplifique la siguiente expresión con radicales anidados, reduciendo a un único índice común y extrayendo los factores que sean posibles fuera de la raíz resultante: $$…
Simplifique la siguiente expresión con radicales anidados, reduciendo a un único índice común y extrayendo los factores que sean posibles fuera de la raíz resultante:
$$ \sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^2 \cdot b \cdot \sqrt[4]{b^3}}} $$Aplicaciones: crecimiento y geometría
Las fórmulas de la ciencia, las finanzas y la geometría están llenas de exponentes fraccionarios. Convierte, saca primero la raíz y mantén la respuesta exacta.
De vuelta con Aaliyah. El interés compuesto usa $A = P(1 + r)^t$, y $t$ puede ser una fracción. Como $1.44 = 1.2^2$, tenemos $1.44^{3/2} = \left(1.2^2\right)^{3/2} = 1.2^3 = 1.728$. Su saldo es $500 \cdot 1.728 = \$864$, exactamente, sin calculadora. Una potencia con exponente $\tfrac{3}{2}$ simplemente significa "raíz cuadrada y luego al cubo".
Cuando el exponente no da un número entero de raíces, reescribe la base como una potencia perfecta y deja el resto como radical, sacando los factores enteros.
En un laboratorio de biología, el número de bacterias de un determinado cultivo sigue la expresión $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, donde $t$ es el tiempo…
En un laboratorio de biología, el número de bacterias de un determinado cultivo sigue la expresión $N(t) = 5000 \cdot 8^{\frac{t}{3}}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. Expresa esta fórmula utilizando radicales y calcula el número exacto de bacterias que habrá cuando hayan transcurrido $2$ horas.
La diagonal principal de un depósito cúbico de almacenamiento de agua (la línea recta que une dos vértices opuestos pasando por el centro del cubo) mide exactamente…
La diagonal principal de un depósito cúbico de almacenamiento de agua (la línea recta que une dos vértices opuestos pasando por el centro del cubo) mide exactamente $\sqrt{108}$ pies. Calcula la longitud de la arista del cubo de forma exacta y, a partir de ella, determina la capacidad del depósito en pies cúbicos. Expresa todos los resultados simplificando los radicales.
El capital final $C_f$ obtenido al invertir un capital inicial $C_0$ a una tasa de interés compuesto anual $r$ (expresada en tanto por uno) durante $t$ años viene dado…
El capital final $C_f$ obtenido al invertir un capital inicial $C_0$ a una tasa de interés compuesto anual $r$ (expresada en tanto por uno) durante $t$ años viene dado por la fórmula $C_f = C_0 (1+r)^t$. Una empresa invierte $\$10000$ a un interés del $21$ % anual ($r = 0,21$). Usando potencias de exponente fraccionario, calcule de forma exacta el capital acumulado al cabo de $1$ año y $4$ meses (lo que equivale a $t = \frac{4}{3}$ de año). Sabiendo que $1,21 = 1,1^2$, simplifique el resultado extrayendo los factores posibles del radical.
Radicales en fórmulas: valores exactos con π y potencias de 10
Las fórmulas de física suelen combinar un radical con $\pi$, con notación científica o con una suma de raíces cuadradas. Las mismas herramientas funcionan. Dos recordatorios lo hacen fácil.
$\pi$ es solo un número que se queda afuera. No necesitas reemplazarlo por $3.14$. Simplifica el radical y escribe la respuesta como un coeficiente por $\pi$.
Reparte las potencias de 10 según su paridad. Para una potencia de 10 con exponente racional, aplica el exponente a cada factor: $(a \cdot 10^n)^{p} = a^p \cdot 10^{np}$. Reescribe $a$ como potencia perfecta cuando puedas.
El periodo $T$ (en segundos) que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa se calcula con la fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la…
El periodo $T$ (en segundos) que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa se calcula con la fórmula física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda en pies y $g$ es la aceleración de la gravedad (tomaremos $g = 10 \text{ m/s}^2$). Si un péndulo de un museo tiene una longitud $L = 12$ pies, calcula su periodo exacto simplificando el radical al máximo y dejándolo en función de $\pi$.
La tercera ley de Kepler relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con el radio medio de su órbita $r$ mediante la expresión…
La tercera ley de Kepler relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con el radio medio de su órbita $r$ mediante la expresión $T = k^{\frac{1}{2}} \cdot r^{\frac{3}{2}}$. Si para un sistema estelar ficticio la constante es $k = 4 \cdot 10^{-6}$ y un planeta orbita a un radio medio $r = 25 \cdot 10^4$ millas, calcula el periodo orbital exacto utilizando las propiedades de las potencias de exponente racional y los radicales.
En navegación marítima, la distancia $d$ (en millas) a la que se encuentra el horizonte visible para un observador situado a una altura $h$ (en pies) sobre el nivel del…
En navegación marítima, la distancia $d$ (en millas) a la que se encuentra el horizonte visible para un observador situado a una altura $h$ (en pies) sobre el nivel del mar se aproxima mediante la fórmula $d = \sqrt{13h}$. Dos observadores se encuentran en diferentes puntos de un acantilado a alturas de $h_1 = 52$ pies y $h_2 = 117$ pies, respectivamente. Calcule la diferencia exacta de sus distancias al horizonte visible, simplificando la expresión $\sqrt{13 \cdot 117} - \sqrt{13 \cdot 52}$ mediante la extracción de factores.