Logaritmos
El número de seguidores de tu nuevo canal se duplica cada semana. Es fácil ver que $2^x = 8$ requiere $x = 3$ semanas. Pero ¿cuántas semanas pasarán hasta tener 10 veces más seguidores? Eso significa resolver $2^x = 10$. Ningún número entero sirve, porque $10$ está entre $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$. Necesitas una operación que responda a "¿2 elevado a qué número da 10?". Esa operación es el logaritmo. Aparece siempre que algo crece o decrece multiplicándose: cuentas de ahorro, terremotos, sonido, acidez y decaimiento radiactivo.
¿Qué es un logaritmo?
Una potencia empieza con el exponente y te da el número. Un logaritmo va en sentido contrario: empieza con el número y te da el exponente.
Dos bases son tan comunes que tienen su propia tecla en la calculadora. El logaritmo común $\log x$ significa $\log_{10} x$. El logaritmo natural $\ln x$ significa $\log_e x$, donde $e \approx 2.718$. Volverás a ver $\ln$ más adelante en esta página.
Calcule el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición: $\log_2 64$ $\log_3 \frac{1}{9}$ $\log_{10} 0,001$ $\log_5 \sqrt{5}$
Calcule el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición:
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$\log_2 64$
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$\log_3 \frac{1}{9}$
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$\log_{10} 0,001$
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$\log_5 \sqrt{5}$
Halle el valor de la incógnita $x$ en cada caso utilizando la definición de logaritmo: $\log_x 81 = 4$ $\log_2 x = 5$ $\log_7 x = -2$
Halle el valor de la incógnita $x$ en cada caso utilizando la definición de logaritmo:
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$\log_x 81 = 4$
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$\log_2 x = 5$
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$\log_7 x = -2$
La gráfica: la inversa de una exponencial
Como $\log_a b = c$ significa lo mismo que $a^c = b$, las funciones $y = \log_a x$ y $y = a^x$ son funciones inversas. Si intercambias las coordenadas $x$ y $y$ de cualquier punto de una gráfica, obtienes un punto de la otra. Por eso las dos gráficas son imágenes especulares respecto a la recta $y = x$.
Propiedades de los logaritmos
Los logaritmos son exponentes, así que las reglas de los exponentes se convierten en reglas para los logaritmos. Cuando multiplicas potencias con la misma base, sumas los exponentes. Por eso, multiplicar dentro de un logaritmo se convierte en sumar fuera de él.
Las raíces también son potencias, ya que $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Por eso $\log\sqrt{x} = \tfrac12\log x$ y $\log\sqrt[3]{x} = \tfrac13\log x$.
Sabiendo que $\log 2 \approx 0,301$ y $\log 3 \approx 0,477$, calcule el valor numérico aproximado de $\log 6$ y $\log 1,5$ utilizando las propiedades de los logaritmos.
Sabiendo que $\log 2 \approx 0,301$ y $\log 3 \approx 0,477$, calcule el valor numérico aproximado de $\log 6$ y $\log 1,5$ utilizando las propiedades de los logaritmos.
Reduzca a un solo logaritmo la siguiente expresión matemática y calcule su valor numérico: $\log 5 + \log 20 - \log 10$
Reduzca a un solo logaritmo la siguiente expresión matemática y calcule su valor numérico:
$\log 5 + \log 20 - \log 10$
Sabiendo exclusivamente que $\log 2 \approx 0,301$, calcule el valor aproximado de $\log 25$ y de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sin introducir la operación directa en la…
Sabiendo exclusivamente que $\log 2 \approx 0,301$, calcule el valor aproximado de $\log 25$ y de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sin introducir la operación directa en la calculadora, apoyándose solo en las propiedades de los logaritmos.
Expandir y condensar logaritmos
Usa las propiedades de izquierda a derecha para expandir un solo logaritmo en una suma de logaritmos simples. Úsalas de derecha a izquierda para condensar varios logaritmos en uno.
Aplique las propiedades de los logaritmos a la inversa para expresar la siguiente combinación como un único logaritmo: $3 \log x + \frac{1}{2} \log y$
Aplique las propiedades de los logaritmos a la inversa para expresar la siguiente combinación como un único logaritmo:
$3 \log x + \frac{1}{2} \log y$
Desarrolle la siguiente expresión logarítmica aplicando todas las propiedades posibles, de manera que quede expresada en función de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:…
Desarrolle la siguiente expresión logarítmica aplicando todas las propiedades posibles, de manera que quede expresada en función de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:
$\log \left( \frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$
Agrupe la siguiente expresión algebraica en un único logaritmo, aplicando las propiedades correspondientes: $2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$
Agrupe la siguiente expresión algebraica en un único logaritmo, aplicando las propiedades correspondientes:
$2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$
Cambio de base
Tu calculadora tiene solo dos teclas de logaritmo: $\log$ (base $10$) y $\ln$ (base $e$). Para evaluar un logaritmo en cualquier otra base, cambias de base.
Utilice la fórmula del cambio de base para calcular el valor de $\log_5 120$ empleando únicamente la tecla del logaritmo decimal ($\log$) o neperiano ($\ln$) de su…
Utilice la fórmula del cambio de base para calcular el valor de $\log_5 120$ empleando únicamente la tecla del logaritmo decimal ($\log$) o neperiano ($\ln$) de su calculadora. Redondee el resultado a tres cifras decimales.
Simplifique la siguiente expresión logarítmica combinada y calcule su valor numérico exacto sin utilizar la calculadora:…
Simplifique la siguiente expresión logarítmica combinada y calcule su valor numérico exacto sin utilizar la calculadora:
$\frac{\log_2 8 + \log_3 81 - \log 1000}{\log_5 125 \cdot \log_4 \sqrt{4}}$
Demuestre, utilizando la fórmula del cambio de base y las propiedades fundamentales de los logaritmos, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ para cualesquiera números…
Demuestre, utilizando la fórmula del cambio de base y las propiedades fundamentales de los logaritmos, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ para cualesquiera números $a, b > 0$ y distintos de $1$. Una vez demostrado, aplique este resultado para calcular mentalmente el valor de $\log_8 2$ sabiendo previamente que $\log_2 8 = 3$.
Ecuaciones exponenciales
Cuando la incógnita está en el exponente y no se puede escribir ambos lados con la misma base, aplica un logaritmo a ambos lados. La regla de la potencia baja el exponente y así puedes despejarlo.
Calcule el valor de $x$ en la ecuación exponencial $3^x = 45$. Exprese el resultado final redondeado a las centésimas (puede hacer uso de la calculadora para el paso…
Calcule el valor de $x$ en la ecuación exponencial $3^x = 45$. Exprese el resultado final redondeado a las centésimas (puede hacer uso de la calculadora para el paso final).
Resuelva la ecuación exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ tomando logaritmos decimales en ambos miembros y despejando la incógnita $x$. Exprese el resultado final redondeado…
Resuelva la ecuación exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ tomando logaritmos decimales en ambos miembros y despejando la incógnita $x$. Exprese el resultado final redondeado a las milésimas.
Ecuaciones logarítmicas
Cuando la incógnita está dentro de un logaritmo, usa la definición para deshacer el logaritmo. Luego resuelve la ecuación que obtengas. Por último, verifica siempre que cada logaritmo de la ecuación original tenga un argumento positivo.
Resuelva la ecuación logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicando la definición de logaritmo para despejar la incógnita $x$.
Resuelva la ecuación logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicando la definición de logaritmo para despejar la incógnita $x$.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, hallando los valores de $x$ e $y$: $$ \begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases} $$
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, hallando los valores de $x$ e $y$:
$$ \begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases} $$Problemas de crecimiento y decaimiento
El crecimiento o decaimiento por un porcentaje fijo en cada periodo sigue $y = a\cdot b^t$. Un aumento porcentual de $r$ (como decimal) da un factor de crecimiento $b = 1 + r$. Una disminución porcentual da $b = 1 - r$. Preguntar cuándo algo llega a una meta significa despejar $t$, que es un exponente, así que necesitas un logaritmo.
Para el interés compuesto, la cantidad después de $t$ años es $A = P(1 + r)^t$. Algunos problemas escriben la tasa como porcentaje y usan $\left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$. Es la misma fórmula.
Un capital de $\$5000$ se deposita en un banco a un interés compuesto del $3,5\,\%…
Un capital de $\$5000$ se deposita en un banco a un interés compuesto del $3,5\,\%$ anual. ¿Cuántos años completos deben transcurrir para que el capital acumulado supere los $\$7000$?
Recuerde que la fórmula del capital final es $C_f = C_i \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$.
Una población de bacterias se duplica cada hora que pasa. Si inicialmente hay $1500$ bacterias, la cantidad de bacterias al cabo de $t$ horas viene dada por la función…
Una población de bacterias se duplica cada hora que pasa. Si inicialmente hay $1500$ bacterias, la cantidad de bacterias al cabo de $t$ horas viene dada por la función $P(t) = 1500 \cdot 2^t$. ¿Cuánto tiempo exacto debe pasar para que la población alcance la cifra de $100000$ bacterias?
Un vehículo nuevo tiene un costo inicial de $\$24000$. Debido al desgaste del mercado, cada año su valor se deprecia un $12\,\%…
Un vehículo nuevo tiene un costo inicial de $\$24000$. Debido al desgaste del mercado, cada año su valor se deprecia un $12\,\%$. La función que describe su valor residual al cabo de $t$ años es $V(t) = 24000 \cdot (0,88)^t$. ¿Cuántos años deben pasar para que el valor del carro se reduzca exactamente a la mitad de su precio original?
El logaritmo natural y el número $e$
Muchos procesos naturales, como el decaimiento radiactivo y el crecimiento continuo, se escriben con la base $e \approx 2.718$. Para deshacer $e^{\text{algo}}$, usa el logaritmo natural $\ln x = \log_e x$. Cumple todas las reglas anteriores.
La cantidad de Carbono-14 ($C-14$) en un resto arqueológico orgánico sigue la ley de desintegración radiactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde la constante de…
La cantidad de Carbono-14 ($C-14$) en un resto arqueológico orgánico sigue la ley de desintegración radiactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde la constante de desintegración es $\lambda \approx 0,0001209$ y $t$ es el tiempo transcurrido en años. Si en un fragmento de hueso prehistórico se detecta mediante análisis de laboratorio que solo queda un $30\,\%$ de su cantidad original de $C-14$ (es decir, $N(t) = 0,30 \cdot N_0$), ¿cuál es la antigüedad estimada del hueso?
En una conocida red social, el número de seguidores de una cuenta de contenido viral crece siguiendo un modelo exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, donde $t$ se mide en…
En una conocida red social, el número de seguidores de una cuenta de contenido viral crece siguiendo un modelo exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, donde $t$ se mide en días. Se sabe que el día inicial ($t = 0$) la cuenta tenía $200$ seguidores y el día $5$ alcanzó los $6400$ seguidores. Calcule primero el valor exacto de la constante de crecimiento $k$. A continuación, determine en qué día exacto superará la barrera del millón de seguidores.
Escalas logarítmicas: pH y terremotos
Algunas cantidades abarcan un rango tan enorme que una recta numérica común es inútil. Una escala logarítmica lo resuelve: cada paso hacia arriba significa "por $10$" en vez de "más una cantidad fija".
El pH de una solución química se define mediante la fórmula $pH = -\log [H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno medida en mol/L. Si una…
El pH de una solución química se define mediante la fórmula $pH = -\log [H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno medida en mol/L. Si una muestra de jugo de limón tiene una concentración de iones de hidrógeno de $10^{-3}$ mol/L, ¿cuál es el valor de su pH?
La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas…
La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas sísmicas y $A_0$ es una amplitud de referencia estándar. Si un terremoto concreto registra una amplitud $1000$ veces mayor que $A_0$, ¿cuál es su magnitud en la escala de Richter? Además, determine cuántas veces mayor es la amplitud de un terremoto de magnitud $6$ respecto a uno de magnitud $4$.
Decibeles y gráficas semilogarítmicas
La intensidad del sonido abarca un rango enorme, así que la sonoridad se mide en decibeles usando un logaritmo.
Ahora, otro tipo de gráfica con logaritmos. En una gráfica semilogarítmica (semi-log graph), el eje vertical es logarítmico. Cada línea de la cuadrícula es $10$ veces la de abajo, y el eje horizontal es normal. Una función exponencial $N = N_0\cdot10^{kt}$ se convierte ahí en una línea recta, porque $\log N = \log N_0 + kt$ es lineal en $t$.
El nivel de intensidad sonora, medido en decibelios (dB), se calcula con la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad…
El nivel de intensidad sonora, medido en decibelios (dB), se calcula con la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ representa el umbral mínimo de audición humana. Si el ruido del tráfico intenso en una avenida registra un nivel de $85$ dB, ¿cuál es su intensidad acústica $I$? Si un taladro de construcción emite con el doble de intensidad acústica que dicho tráfico, ¿cuántos decibelios exactos registrará el sonómetro?
El siguiente gráfico representa el crecimiento poblacional de dos colonias de bacterias, A y B, en un laboratorio. La escala del eje vertical (que indica el número de…
El siguiente gráfico representa el crecimiento poblacional de dos colonias de bacterias, A y B, en un laboratorio. La escala del eje vertical (que indica el número de bacterias $N(t)$) es logarítmica en base 10, mientras que el eje horizontal (tiempo en horas) es de escala lineal. Observando la recta que describe el comportamiento de la colonia A, halle su función exponencial asociada $N(t) = N_0 \cdot 10^{k \cdot t}$, sabiendo que pasa exactamente por los puntos $(0, 10^2)$ y $(4, 10^4)$. ¿En qué instante $t$ la colonia A alcanzará exactamente el millón de bacterias ($10^6$)?
De vuelta al principio: Los seguidores se duplican cada semana, así que necesitamos $2^x = 10$. Aplica logaritmos: $x\log 2 = \log 10 = 1$, así que $x = \dfrac{1}{\log 2} \approx \dfrac{1}{0.301} \approx 3.32$ semanas. Eso está entre $3$ y $4$, igual que $10$ está entre $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$.