Variación inversa y la hipérbola y = k/x
Aaliyah y sus amigos se reparten el costo de $\$60$ de una fiesta de pizza. Entre 2 personas, cada una paga $\$30$. Entre 3 personas, cada una paga $\$20$. Entre 6 personas, cada una paga $\$10$. Mientras más personas, menos paga cada una, pero ¿cómo funciona exactamente? ¿Y qué significaría que $0$ personas se repartan la cuenta?
Variación inversa
En la fiesta de pizza, el número de personas $x$ por lo que paga cada una $y$ siempre es lo mismo: $2 \cdot 30 = 60$, $3 \cdot 20 = 60$, $6 \cdot 10 = 60$. Cuando un producto se mantiene constante, una cantidad sube exactamente en la misma medida en que la otra baja.
¿Por qué $y = k/x$? Si duplicas $x$, entonces $y$ debe reducirse a la mitad para que el producto $xy$ siga igual. Compáralo con la variación directa $y = kx$, donde al duplicar $x$ también se duplica $y$.
La curva de arriba es la fiesta de pizza: lo que paga cada persona, $y = \dfrac{60}{x}$, para $x$ personas.
Identifica en la siguiente tabla si las magnitudes $x$ e $y$ son inversamente proporcionales y, en caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe…
Identifica en la siguiente tabla si las magnitudes $x$ e $y$ son inversamente proporcionales y, en caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe la función que las relaciona.
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$x$: 1, 2, 3, 4, 6
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$y$: 24, 12, 8, 6, 4
Dada la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ para $x = 3$, $x = -9$ y $x = 0,5$.
Dada la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$, calcula el valor de $y$ para $x = 3$, $x = -9$ y $x = 0,5$.
La gráfica: hipérbola, dominio, rango y asíntotas
Dos hechos controlan toda la gráfica de $y = \dfrac{k}{x}$. Primero, nunca puedes dividir entre $0$. Segundo, una fracción con numerador distinto de cero nunca es $0$.
La gráfica es una hipérbola con dos partes separadas llamadas ramas. Se acerca cada vez más a los ejes sin tocarlos nunca.
La posición de las ramas depende del signo de $k$. Prueba el control deslizante.
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Si $k > 0$, las ramas están en los cuadrantes I y III.
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Si $k < 0$, las ramas están en los cuadrantes II y IV.
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Mientras mayor sea $|k|$, más lejos de los ejes queda la curva.
Determina el dominio, el recorrido y las ecuaciones de las asíntotas de la función $y = \frac{-8}{x}$.
Determina el dominio, el recorrido y las ecuaciones de las asíntotas de la función $y = \frac{-8}{x}$.
Asocia cada una de las siguientes funciones con la descripción de los cuadrantes en los que se sitúan sus ramas al representarlas gráficamente: a) $y = \frac{5}{x}$ b)…
Asocia cada una de las siguientes funciones con la descripción de los cuadrantes en los que se sitúan sus ramas al representarlas gráficamente:
- a) $y = \frac{5}{x}$
- b) $y = \frac{-2}{x}$
- c) $y = \frac{0,1}{x}$
Hipérbolas trasladadas: y = k/(x − h) + v
¿Y si la gráfica se desplaza? Reemplazar $x$ por $x - h$ desliza la gráfica $h$ unidades a la derecha. Sumar $v$ la desliza $v$ unidades hacia arriba. Las asíntotas se mueven con ella.
Por qué el rango excluye $v$: la fracción $\dfrac{k}{x-h}$ nunca es $0$, así que $y = \dfrac{k}{x-h} + v$ nunca es $0 + v$.
Indica cuáles son las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal de la hipérbola cuya expresión algebraica es $y = \frac{5}{x-4} + 3$.
Indica cuáles son las ecuaciones de las asíntotas vertical y horizontal de la hipérbola cuya expresión algebraica es $y = \frac{5}{x-4} + 3$.
Halla el dominio de definición de la función racional $y = \frac{7}{x+5}$.
Halla el dominio de definición de la función racional $y = \frac{7}{x+5}$.
La gráfica de la función $y = \frac{8}{x}$ se traslada en el plano cartesiano $4$ unidades hacia la izquierda y $3$ unidades hacia abajo. Escribe la expresión algebraica…
La gráfica de la función $y = \frac{8}{x}$ se traslada en el plano cartesiano $4$ unidades hacia la izquierda y $3$ unidades hacia abajo. Escribe la expresión algebraica de la nueva función, determina su dominio y halla las coordenadas del punto donde se cortan sus asíntotas.
Intersecciones con los ejes y crecimiento/decrecimiento
Para hallar las intersecciones de $y = \dfrac{k}{x-h} + v$, usa la misma idea que con cualquier función.
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Intersección con el eje $y$: sustituye $x = 0$ (solo es posible si $h \neq 0$).
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Intersección con el eje $x$: iguala $y = 0$ y resuelve. Primero aísla la fracción y luego resuelve la ecuación.
Una hipérbola trasladada puede tener una intersección con el eje $x$ y una con el eje $y$, o solo una de ellas. Por ejemplo, $y = \dfrac{3}{x - 2}$ tiene asíntota horizontal $y = 0$, así que nunca llega al eje $x$.
Para $y = \dfrac{6}{x-3} - 2$, tenemos $k = 6 > 0$, así que $y$ es decreciente para $x < 3$ y decreciente para $x > 3$.
Halla analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.
Halla analíticamente los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función racional $y = \frac{10}{x-2} + 5$.
Determina el dominio, el recorrido, las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de la función $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indica también sus intervalos de crecimiento…
Determina el dominio, el recorrido, las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de la función $y = \frac{-3}{x+2} - 4$. Indica también sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Cómo leer una ecuación a partir de una gráfica
Toda hipérbola de este tipo queda determinada por dos cosas: sus asíntotas (que fijan $h$ y $v$) y un punto (que fija $k$).
Para una hipérbola con centro en el origen, los pasos 1 y 2 son triviales y $k = xy$ para cualquier punto de ella.
Observa la siguiente gráfica de una función de proporcionalidad inversa y determina su constante $k$ y su expresión algebraica $y = \frac{k}{x}$.
Observa la siguiente gráfica de una función de proporcionalidad inversa y determina su constante $k$ y su expresión algebraica $y = \frac{k}{x}$.
A partir de la gráfica de esta hipérbola trasladada, determina las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas de su centro de simetría y deduce su expresión algebraica…
A partir de la gráfica de esta hipérbola trasladada, determina las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas de su centro de simetría y deduce su expresión algebraica de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$.
Cómo construir una ecuación a partir de información
Los mismos cuatro pasos sirven cuando te dan palabras en lugar de una gráfica. Cada dato es una asíntota (da $h$ o $v$), el centro (da ambos) o un punto de la curva (da $k$). Una intersección con un eje también es un punto.
Escribe la ecuación de una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ sabiendo que sus asíntotas son las rectas $x = -2$ e $y = 4$, y que su gráfica pasa por el punto…
Escribe la ecuación de una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ sabiendo que sus asíntotas son las rectas $x = -2$ e $y = 4$, y que su gráfica pasa por el punto $(0, 5)$.
Una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ tiene su centro de simetría en el punto $(-1, 3)$ y corta al eje de abscisas en $x = 1$. Halla su expresión algebraica…
Una hipérbola de la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ tiene su centro de simetría en el punto $(-1, 3)$ y corta al eje de abscisas en $x = 1$. Halla su expresión algebraica y calcula el punto de corte con el eje de ordenadas.
Cómo reescribir una función racional
A veces una hipérbola aparece como $y = \dfrac{2x + 7}{x + 3}$, con $x$ tanto en el numerador como en el denominador. Para hallar sus asíntotas, reescríbela en la forma $\dfrac{k}{x - h} + v$. El truco: escribe el numerador usando el denominador.
Algunos problemas lo llaman división de polinomios: al dividir $2x + 7$ entre $x + 3$ se obtiene cociente $2$ y residuo $1$, así que $\dfrac{2x+7}{x+3} = 2 + \dfrac{1}{x+3}$. El siguiente ejemplo muestra una forma rápida de llegar a eso.
Las dos curvas coinciden: son la misma función.
Expresa la función racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ realizando la división de polinomios. A continuación, indica las ecuaciones de sus…
Expresa la función racional $y = \frac{2x+7}{x+3}$ en la forma $y = \frac{k}{x-a} + b$ realizando la división de polinomios. A continuación, indica las ecuaciones de sus asíntotas y las coordenadas de su centro de simetría.
La hipérbola se encuentra con una recta
Para hallar dónde se cruzan una hipérbola y una recta, iguala las dos expresiones y resuelve. Multiplica ambos lados por el denominador para eliminar la fracción; obtendrás una ecuación cuadrática.
¿Cuántas intersecciones puede haber? Después de eliminar la fracción tienes una cuadrática, así que el discriminante $b^2 - 4ac$ te lo dice: positivo significa dos puntos, cero significa un punto (la recta es tangente: toca la curva en exactamente un punto) y negativo significa ninguno.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{-4}{x-1}$ y la recta $y = -x + 4$.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{-4}{x-1}$ y la recta $y = -x + 4$.
Halla el valor de la constante $k$ para que la hipérbola $y = \frac{k}{x}$ sea tangente a la recta $y = -x + 6$ (es decir, para que se corten en un único punto).
Halla el valor de la constante $k$ para que la hipérbola $y = \frac{k}{x}$ sea tangente a la recta $y = -x + 6$ (es decir, para que se corten en un único punto).
Modelos con variación inversa
La variación inversa aparece siempre que se reparte un total o se divide un trabajo: más personas significa menos para cada una, más velocidad significa menos tiempo. El paso clave es hallar la cantidad que permanece constante, porque esa es $k$.
Un premio de lotería de $\$300$ se va a repartir a partes iguales entre un grupo de $x…
Un premio de lotería de $\$300$ se va a repartir a partes iguales entre un grupo de $x$ amigos. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el dinero que recibe cada uno con el número de amigos y calcula cuánto reciben si son $6$ personas.
Para recorrer una distancia fija de $120$ millas, el tiempo $t$ empleado (en horas) y la velocidad media $v$ (en mph) son magnitudes inversamente proporcionales. Escribe…
Para recorrer una distancia fija de $120$ millas, el tiempo $t$ empleado (en horas) y la velocidad media $v$ (en mph) son magnitudes inversamente proporcionales. Escribe la función $v(t)$ y calcula a qué velocidad constante debe ir un carro si quiere tardar exactamente $2,5$ horas en realizar el trayecto.
Para llenar una piscina, $4$ llaves de igual caudal tardan $9$ horas. Escribe la función que relaciona el tiempo de llenado $t$ (en horas) con el número de llaves…
Para llenar una piscina, $4$ llaves de igual caudal tardan $9$ horas. Escribe la función que relaciona el tiempo de llenado $t$ (en horas) con el número de llaves abiertas $n$. ¿Cuánto tiempo tardarían $6$ llaves en llenar la misma piscina?
Modelos científicos, desigualdades y fórmulas
En las ciencias, la variación inversa se esconde en las fórmulas. La ley de Boyle dice que, para un gas a temperatura constante, la presión $P$ y el volumen $V$ cumplen $PV = k$.
A menudo necesitas una condición como "como máximo" o "al menos", que da una desigualdad (también llamada inecuación). Si la variable es positiva (como la velocidad, el área, el volumen o la presión), puedes multiplicar ambos lados por ella sin invertir el signo de la desigualdad.
Otra situación común es una fórmula que tiene la incógnita en dos recíprocos. Despeja la variable que quieres y luego reescribe el resultado como una hipérbola.
Según la ley de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, la presión $P$ de un gas y su volumen $V$ son magnitudes inversamente proporcionales ($P \cdot V = k$). Si un…
Según la ley de Boyle-Mariotte, a temperatura constante, la presión $P$ de un gas y su volumen $V$ son magnitudes inversamente proporcionales ($P \cdot V = k$). Si un gas determinado ocupa un volumen de $20$ galones a una presión de $1,5$ atmósferas, escribe la función $V(P)$ y calcula qué volumen ocupará a $3$ atmósferas.
La resistencia eléctrica $R$ (en ohmios, $\Omega$) de un hilo conductor de longitud constante es inversamente proporcional al área de su sección transversal $S$ (en…
La resistencia eléctrica $R$ (en ohmios, $\Omega$) de un hilo conductor de longitud constante es inversamente proporcional al área de su sección transversal $S$ (en mm$^2$). Si para una sección de $2 \text{ mm}^2$ la resistencia es de $0,02\ \Omega$, expresa $R$ en función de $S$. ¿Cuál debe ser la sección mínima del hilo para que la resistencia sea menor o igual a $0,01\ \Omega$?
La distancia focal de una lente delgada convergente es de $20$ pulgadas. La relación entre la distancia del objeto a la lente $s_o$ y la distancia de la imagen $s_i$…
La distancia focal de una lente delgada convergente es de $20$ pulgadas. La relación entre la distancia del objeto a la lente $s_o$ y la distancia de la imagen $s_i$ viene dada por la ecuación $\frac{1}{20} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}$. Expresa $s_i$ en función de $s_o$. ¿Qué ocurre con la distancia de la imagen cuando el objeto se acerca a $20$ pulgadas de la lente por la derecha?
Modelos de costo y el dominio en contexto
En una situación real, el dominio matemático ($x \neq 0$) no siempre es el dominio lógico. Si $x$ es un número de personas, debe ser un número entero positivo.
Las funciones racionales también modelan el costo promedio: el costo total dividido entre el número de artículos. Un camión de comida tiene $\$300$ de gastos fijos al día y gasta $\$3$ por comida.
Un grupo de personas alquila una cancha de tenis por $\$24$. Escribe la función $C(x)$ que expresa el costo por persona en función del número de jugadores $x…
Un grupo de personas alquila una cancha de tenis por $\$24$. Escribe la función $C(x)$ que expresa el costo por persona en función del número de jugadores $x$. Si el costo final ha sido de $\$6$ por persona, ¿cuántos jugadores alquilaron la cancha? ¿Cuál es el dominio lógico de esta función teniendo en cuenta el contexto del problema?
Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos gastos fijos diarios de $\$500$ por encender la maquinaria, y producir cada unidad cuesta $\$2$. Escribe la función…
Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos gastos fijos diarios de $\$500$ por encender la maquinaria, y producir cada unidad cuesta $\$2$. Escribe la función del costo medio por unidad $C_m(x)$ en función del número de unidades $x$ fabricadas al día. Halla sus asíntotas e interpreta el significado de la asíntota horizontal en el contexto del problema.
Resumen
Volvamos al principio: la fiesta de pizza de Aaliyah es $y = \dfrac{60}{x}$. El producto $xy = 60$ se mantiene constante, la rama del cuadrante I describe la situación real (solo números enteros positivos de personas) y $x = 0$ queda excluido: la asíntota vertical dice que mientras menos personas haya, más paga cada una.