Conceptos básicos de las funciones
En una gasolinera de Texas, la gasolina regular cuesta $\$3.50$ por galón. Si echas 4 galones, pagas $\$14$. Si echas 10 galones, pagas $\$35$. Para cada cantidad de gasolina hay exactamente un precio. Eso es una función. En esta página responderás dos preguntas sobre cualquier función: qué entradas tienen sentido y qué tan rápido cambia la salida.
¿Qué es una función?
En la bomba de gasolina, $C(g) = 3.50g$ da el costo en dólares de $g$ galones. Tú eliges $g$, así que es independiente. El costo $C(g)$ se calcula, así que es dependiente.
Para evaluar una función, reemplaza cada $x$ con la entrada. Escribe la entrada entre paréntesis para que los números negativos y los exponentes funcionen bien.
Escribir una función a partir de una situación
En una situación real, el dominio está limitado por lo que tiene sentido. No puedes viajar un número negativo de minutos, así que el dominio de $C$ es $t \ge 0$, o $[0, \infty)$.
La prueba de la recta vertical
En una gráfica, una función nunca tiene dos salidas para la misma entrada. Por eso, una recta vertical cruza su gráfica a lo sumo una vez.
Dada la función polinómica $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcule las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Dada la función polinómica $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcule las imágenes para los valores $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Un servicio de alquiler de bicicletas cobra una tarifa fija de $\$3$ por el alta del servicio, más $\$1,50$ por cada hora de uso. Escribe la expresión algebraica de la…
Un servicio de alquiler de bicicletas cobra una tarifa fija de $\$3$ por el alta del servicio, más $\$1,50$ por cada hora de uso. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo total con el tiempo de uso, e identifica cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente.
Una empresa de taxis cobra $\$3$ por la bajada de bandera y $\$1,20$ por cada milla recorrida. a) Escribe la función que relaciona el precio total del trayecto con las…
Una empresa de taxis cobra $\$3$ por la bajada de bandera y $\$1,20$ por cada milla recorrida.
- a) Escribe la función que relaciona el precio total del trayecto con las millas recorridas.
- b) ¿Cuál es el dominio de esta función teniendo en cuenta el contexto del problema?
- c) ¿Cuánto costará un trayecto de $15$ millas?
- d) Si un cliente ha pagado $\$21$, ¿cuántas millas ha recorrido?
Hallar el dominio
-
Polinomio (sumas, restas y productos de $x$): está definido para todo $x$, así que el dominio son todos los números reales, $(-\infty, \infty)$.
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Fracción con $x$ en el denominador: excluye todo $x$ que haga que el denominador sea $0$ (no se puede dividir entre cero).
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Raíz de índice par ($\sqrt{\ }$, $\sqrt[4]{\ }$, …): el radicando debe ser $\ge 0$ (la raíz cuadrada de un número negativo no es real).
Los dominios se escriben en notación de intervalos. Usa $\cup$ ("unión") para juntar las partes: $[1, 5) \cup (5, \infty)$ significa "todos los $x \ge 1$ excepto $5$".
Una raíz de una fracción
Cuando el radicando es una fracción, necesitas $\dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} \ge 0$. Usa una tabla de signos: halla dónde el numerador y el denominador valen $0$, y luego prueba un número en cada región.
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$ b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones:
- a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
- b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.
Determina analíticamente el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Expresa el resultado como unión de intervalos.
Determina analíticamente el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Expresa el resultado como unión de intervalos.
Intersecciones y simetría
¿Por qué esos nombres? Para $f(x) = x^2$, el punto $x$ y el punto $-x$ dan la misma salida, que es la imagen de espejo de las potencias pares. Para $f(x) = x^3$, entradas opuestas dan salidas opuestas, que es la imagen de las potencias impares.
Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$.
Calcula analíticamente los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función $f(x) = x^2 - 6x + 8$.
Determina algebraicamente si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen ningún tipo de simetría: a) $f(x) = x^4 - 2x^2$ b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$
Determina algebraicamente si las siguientes funciones son pares, impares o no tienen ningún tipo de simetría:
- a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
- b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$
Razón de cambio promedio
¿Qué tan rápido cambia la salida cuando cambia la entrada? En la bomba de gasolina la respuesta siempre fue $\$3.50$ por galón. La mayoría de las funciones cambian a distintas velocidades en distintos lugares, así que medimos el cambio en un intervalo.
Las unidades de la RCP son (unidades de salida) por (unidad de entrada): dólares por galón, pies por segundo, millas por hora. En una función lineal, la RCP es la misma en cualquier intervalo y es igual a la pendiente.
A veces se da la RCP y hay una incógnita escondida en la función. Escribe la fórmula de la RCP con la incógnita, iguálala al valor dado y resuelve. Por ejemplo, si $f(x) = kx^2 - x$ tiene RCP $11$ en $[1, 3]$, entonces $\dfrac{(9k - 3) - (k - 1)}{2} = \dfrac{8k - 2}{2} = 4k - 1 = 11$, así que $k = 3$.
Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4$ en los intervalos $[-1, 2]$ y $[2, 5]$.
Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4$ en los intervalos $[-1, 2]$ y $[2, 5]$.
La distancia $d$ (en pies) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo $t$ (en segundos) se aproxima mediante la función $d(t) = 5t^2$. Calcula la…
La distancia $d$ (en pies) que recorre un objeto en caída libre en función del tiempo $t$ (en segundos) se aproxima mediante la función $d(t) = 5t^2$. Calcula la velocidad media del objeto (que se corresponde con la Tasa de Variación Media) entre el primer y el tercer segundo ($t \in [1, 3]$), y entre el tercer y el quinto segundo ($t \in [3, 5]$).
Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 + kx$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la Tasa de Variación Media de la función en el intervalo $[1, 3]$ es…
Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 + kx$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la Tasa de Variación Media de la función en el intervalo $[1, 3]$ es igual a $8$.
Leer una gráfica: dominio, rango, crecimiento y decrecimiento
Una gráfica muestra todo a la vez, pero hay que leerla en la dirección correcta. Lee de izquierda a derecha.
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Dominio: todos los valores de $x$ que cubre la gráfica (su "sombra" sobre el eje $x$).
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Rango: todos los valores de $y$ que alcanza la gráfica (su "sombra" sobre el eje $y$).
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Un punto relleno significa que el punto sí pertenece a la gráfica. Un círculo abierto significa que no. Una flecha significa que la gráfica continúa sin fin.
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Creciente en un intervalo: la gráfica sube cuando $x$ aumenta. Decreciente: la gráfica baja.
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Un máximo relativo es una cima, más alta que los puntos que la rodean. Un mínimo relativo es un valle. Se dan como puntos $(x, y)$.
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento siempre se dan en términos de $x$.
Conexión con la RCP. Si $f$ es creciente en todo $[a, b]$, la RCP en $[a, b]$ es positiva. Si $f$ es decreciente en todo $[a, b]$, la RCP es negativa. Por ejemplo, una RCP negativa en un intervalo donde la gráfica baja confirma que la función es decreciente ahí.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, indica en forma de intervalo su dominio y su recorrido.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, indica en forma de intervalo su dominio y su recorrido.
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas exactas de sus máximos y mínimos…
Observa la siguiente gráfica de una función $f(x)$ y determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas exactas de sus máximos y mínimos relativos.
Calcula la Tasa de Variación Media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en los intervalos $[1, 2]$ y $[2, 4]$. ¿Qué indica el signo de los resultados sobre la monotonía de…
Calcula la Tasa de Variación Media de la función $f(x) = \frac{1}{x}$ en los intervalos $[1, 2]$ y $[2, 4]$. ¿Qué indica el signo de los resultados sobre la monotonía de la función en esos intervalos?
Valores máximos y mínimos
Parábolas
Para $f(x) = ax^2 + bx + c$, el punto más alto o más bajo es el vértice.
¿Por qué funciona? La parábola es simétrica respecto a la recta vertical $x = -\frac{b}{2a}$, y el vértice está sobre ese eje de simetría.
Optimización con una función
Ahora cambia la situación: ¿y si un lado del corral es una pared que ya existe? Entonces solo cercas tres lados, y la restricción cambia.
Gráficas periódicas
Algunas gráficas repiten el mismo patrón una y otra vez. Una función es periódica si su gráfica se repite a intervalos regulares. El período es la longitud de un ciclo completo, medida entre dos puntos equivalentes, como dos picos consecutivos. Una función periódica cumple $f(t + \text{período}) = f(t)$.
La gráfica adjunta representa la altura en pies a la que se encuentra una cabina de una rueda de la fortuna en función del tiempo en minutos. Observa la gráfica y…
La gráfica adjunta representa la altura en pies a la que se encuentra una cabina de una rueda de la fortuna en función del tiempo en minutos. Observa la gráfica y responde:
- a) ¿Es una función periódica? En caso afirmativo, indica su periodo.
- b) ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la cabina?
- c) ¿A qué altura se encuentra la cabina a los $10$ minutos exactos de empezar a girar?
La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) en el interior de un horno industrial desde que se enciende hasta que se apaga viene dada por la función…
La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) en el interior de un horno industrial desde que se enciende hasta que se apaga viene dada por la función $T(t) = -t^2 + 8t + 20$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas. ¿En qué instante se alcanza la temperatura máxima? ¿Cuál es el valor de esa temperatura máxima?
Un agricultor dispone de $100$ pies de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando el muro rectilíneo de un almacén ya construido, de modo que solo necesita…
Un agricultor dispone de $100$ pies de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando el muro rectilíneo de un almacén ya construido, de modo que solo necesita vallar tres de los cuatro lados del rectángulo.
- a) Encuentra la expresión de la función que da el área del huerto en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
- b) Determina el dominio de definición válido para $x$ en el contexto de este problema.
- c) ¿Qué dimensiones debe tener el huerto para que su área sea máxima?
Asíntotas
Una función racional es una fracción de dos polinomios. Su gráfica puede acercarse cada vez más a una recta sin tocarla. Esa recta es una asíntota.
Cuando el denominador es un polinomio de grado $2$ o más, factorízalo para hallar todos sus ceros. Cada cero que no se cancela con el numerador da una asíntota vertical.
Determina analíticamente la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.
Determina analíticamente la ecuación de las asíntotas verticales y horizontales de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.
Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determina el valor del parámetro $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal en la recta $y = 4$.…
Dada la función racional $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determina el valor del parámetro $a$ para que la función tenga una asíntota horizontal en la recta $y = 4$. Con ese valor de $a$ ya calculado, halla también las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función.
Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$: a) Demuestra analíticamente si es una función par, impar o si no presenta simetría. b) Calcula los puntos de corte…
Dada la función racional $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$:
- a) Demuestra analíticamente si es una función par, impar o si no presenta simetría.
- b) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
- c) Encuentra las ecuaciones de todas sus asíntotas (verticales y horizontales).
Funciones definidas por partes y continuidad
Una función es continua en un punto donde se unen las partes si puedes dibujarla por ahí sin levantar el lápiz. En las fórmulas por partes, eso significa que ambas reglas dan la misma salida en la frontera.
Si una función tiene dos fronteras y dos parámetros desconocidos, trata cada frontera por separado. Cada frontera da su propia ecuación.
Tipos de discontinuidad
Cuando una gráfica no es continua en un punto, se rompe de una de tres maneras.
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Salto: los dos lados se acercan a alturas distintas.
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Hueco (removible): ambos lados se acercan a la misma altura, pero el punto falta o está en otro lugar.
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Infinita: la gráfica se dispara hacia arriba o hacia abajo a lo largo de una asíntota vertical.
Cuando lees un valor en la gráfica de una función por partes, ve al $x$ en el eje horizontal y sube o baja hasta la gráfica. Usa el punto relleno. Un círculo abierto no es parte de la gráfica.
Funciones escalonadas
Precios como "$\$4$ por la primera libra o fracción de libra" forman funciones escalonadas. "O fracción" significa que redondeas hacia arriba a la siguiente unidad entera. Ten cuidado con los extremos.
En la gráfica de abajo, un círculo abierto marca un extremo que no está incluido (los extremos izquierdos de cada escalón) y un punto relleno marca un extremo que sí está incluido (los extremos derechos).
Dada la siguiente gráfica de una función definida a trozos, halla los valores de $f(-2)$, $f(1)$ y $f(4)$. A continuación, indica en qué puntos la función es discontinua…
Dada la siguiente gráfica de una función definida a trozos, halla los valores de $f(-2)$, $f(1)$ y $f(4)$. A continuación, indica en qué puntos la función es discontinua y de qué tipo es cada discontinuidad.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:
$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$
Un estacionamiento público tiene la siguiente tarifa: cobra $\$2$ por la primera hora (o fracción de hora), y $\$1,50$ por cada hora adicional (o fracción). El costo…
Un estacionamiento público tiene la siguiente tarifa: cobra $\$2$ por la primera hora (o fracción de hora), y $\$1,50$ por cada hora adicional (o fracción). El costo máximo por día es de $\$12$. Escribe la expresión analítica de la función definida a trozos que relaciona el precio a pagar con el tiempo de estacionamiento $t$ (en horas) para las primeras $5$ horas, indicando claramente los intervalos de definición para cada tramo.
Todo junto
Para analizar una función, sigue esta lista de verificación. Algunos puntos se calculan a partir de la fórmula. Otros se leen en la gráfica.
| Pregunta | Cómo responderla |
|---|---|
| Dominio | Excluye los ceros de los denominadores; exige radicandos $\ge 0$ |
| Rango | Léelo en la gráfica ($y$ más baja y más alta) |
| Intersecciones | $f(0)$ para el eje $y$, $f(x) = 0$ para el eje $x$ |
| Simetría | Compara $f(-x)$ con $f(x)$ y con $-f(x)$ |
| Asíntotas | Ceros del denominador; los grados para la horizontal |
| Creciente / decreciente | Lee la gráfica de izquierda a derecha (en términos de $x$) |
| Extremos relativos | Cimas y valles, escritos como puntos $(x, y)$ |
Analiza la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina: a) Su dominio y recorrido. b) Las ecuaciones de sus asíntotas. c) Los intervalos de crecimiento y…
Analiza la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina:
- a) Su dominio y recorrido.
- b) Las ecuaciones de sus asíntotas.
- c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
- d) Las coordenadas de sus extremos relativos (máximos y mínimos).
Resumen
De vuelta a la bomba de gasolina: $C(g) = 3.50g$ tiene sentido para $g \ge 0$, hasta la capacidad del tanque. Su razón de cambio promedio en cualquier intervalo es $\$3.50$ por galón, que es su pendiente, el precio unitario.