Emma mide 5 pies de estatura y su sombra en la cancha de fútbol mide 4 pies. En ese mismo momento, el asta de la bandera de la escuela proyecta una sombra de 24 pies. Nadie va a subir al asta con una cinta métrica, así que, ¿cuánto mide? La respuesta sale de los triángulos rectángulos semejantes, y la misma idea nos da dos fórmulas muy útiles para cualquier triángulo rectángulo con la altura trazada sobre la hipotenusa.
Triángulos rectángulos semejantes y factor de escala
Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son iguales. Con triángulos rectángulos es fácil comprobarlo: ambos ya tienen un ángulo de $90^\circ$, así que si comparten un ángulo agudo, son semejantes por AA.
Cuando dos triángulos son semejantes, cada par de lados correspondientes tiene la misma razón. Esa razón es el factor de escala $k$.
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Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ pulgadas y $4$ pulgadas. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$…
Dos triángulos rectángulos son semejantes. El primero tiene unos catetos que miden $3$ pulgadas y $4$ pulgadas. Si el cateto menor del segundo triángulo mide $9$ pulgadas, ¿cuánto mide la hipotenusa de este segundo triángulo?
Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón…
Dos cartabones de dibujo (que tienen forma de triángulo rectángulo escaleno) son semejantes. Si la hipotenusa del cartabón más grande es el triple que la del cartabón más pequeño, ¿cuántas veces mayor es el área del cartabón grande respecto al pequeño?
Puedes medir cosas que no puedes alcanzar si encuentras dos triángulos rectángulos semejantes. Los rayos del sol son (casi exactamente) paralelos, así que una persona y un asta forman el mismo ángulo con el sol. Cada uno está vertical sobre el suelo, así que cada uno forma un ángulo recto. Eso es AA, y los triángulos son semejantes.
Un poste de alumbrado funciona igual, pero ten cuidado: el triángulo grande incluye la distancia hasta el poste y la sombra.
Un espejo plano en el suelo también crea triángulos semejantes. La luz se refleja con el mismo ángulo con el que llega, así que el ángulo en el espejo es igual a ambos lados. Agrega los ángulos rectos en el suelo y tienes AA.
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Un poste vertical de $2$ pies de altura proyecta una sombra de $1,5$ pies en el suelo. A esa misma hora y en las mismas condiciones, ¿cuánto medirá la sombra que…
Un poste vertical de $2$ pies de altura proyecta una sombra de $1,5$ pies en el suelo. A esa misma hora y en las mismas condiciones, ¿cuánto medirá la sombra que proyecta una torre de telecomunicaciones de $40$ pies de altura?
Un poste de luz de $4,5$ pies de altura ilumina a una persona de $1,8$ pies de estatura que está situada a $3$ pies de la base del poste de luz. Utiliza la semejanza de…
Un poste de luz de $4,5$ pies de altura ilumina a una persona de $1,8$ pies de estatura que está situada a $3$ pies de la base del poste de luz. Utiliza la semejanza de triángulos rectángulos para averiguar qué longitud tiene la sombra que proyecta la persona en el suelo.
Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ pies de la base del edificio. Al retroceder $1,2$ pies desde el espejo, ve…
Para medir la altura de un edificio, un estudiante coloca un espejo plano en el suelo a $15$ pies de la base del edificio. Al retroceder $1,2$ pies desde el espejo, ve la parte más alta del edificio reflejada en él. Si los ojos del estudiante están a $1,6$ pies del suelo, ¿cuál es la altura del edificio?
La misma idea funciona en muchos lugares: encuentra los triángulos rectángulos que comparten un ángulo, empareja los catetos correspondientes y escribe una proporción.
Situación
Los triángulos semejantes
Proporción
Rampa
Un triángulo pequeño debajo de la rampa y el triángulo completo de la rampa
$\dfrac{\text{altura hasta ahí}}{\text{recorrido hasta ahí}} = \dfrac{\text{elevación total}}{\text{recorrido total}}$
Cámara estenopeica
Los triángulos del objeto y de la imagen que se unen en el orificio
$\dfrac{\text{altura del objeto}}{\text{distancia al objeto}} = \dfrac{\text{altura de la imagen}}{\text{profundidad de la cámara}}$
Mesa de billar
Dos triángulos a cada lado del rebote en la banda
$\dfrac{\text{distancia lateral 1}}{\text{distancia lateral 2}} = \dfrac{\text{distancia a lo largo 1}}{\text{distancia a lo largo 2}}$
Cono (vaso)
Corte transversal por el eje
$\dfrac{\text{radio del agua}}{\text{radio del borde}} = \dfrac{\text{altura del agua}}{\text{altura total}}$
Una cámara estenopeica (pinhole camera) es una caja oscura con un orificio diminuto al frente. La luz de la parte de arriba de un objeto pasa en línea recta por el orificio y llega a la parte de abajo de la pared del fondo, así que la imagen sale al revés. El objeto y la imagen forman dos triángulos rectángulos que se unen en el orificio, y son semejantes porque sus ángulos opuestos por el vértice en el orificio son iguales.
Las rampas funcionan igual: el triángulo pequeño debajo de la rampa y el triángulo completo de la rampa comparten el ángulo de abajo.
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Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ pies apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1,5$ pies. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$…
Una rampa de accesibilidad tiene una longitud total de $12$ pies apoyada sobre el suelo y salva un desnivel máximo de $1,5$ pies. Si una silla de ruedas ha avanzado $4$ pies sobre la rampa desde su inicio en la parte inferior, ¿a qué altura se encuentra respecto al nivel del suelo?
En una cámara oscura artesanal de $20$ pulgadas de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ pies del orificio estenopeico. Si la…
En una cámara oscura artesanal de $20$ pulgadas de profundidad, se forma la imagen invertida de un árbol que se encuentra a $15$ pies del orificio estenopeico. Si la imagen formada en el fondo de la cámara tiene una altura de $8$ pulgadas, ¿cuál es la altura real del árbol en pies?
En un cono, córtalo por la mitad a lo largo de su eje. La superficie del agua es paralela al borde, así que el triángulo pequeño (eje, radio del agua) y el triángulo grande (eje, radio del borde) comparten el ángulo de la punta de abajo.
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En una mesa de billar rectangular, una bola es golpeada sin efecto contra la banda opuesta, formando dos triángulos rectángulos semejantes en su trayectoria. La bola…
En una mesa de billar rectangular, una bola es golpeada sin efecto contra la banda opuesta, formando dos triángulos rectángulos semejantes en su trayectoria. La bola parte a $40$ pulgadas de la banda lateral y rebota a $60$ pulgadas de la misma banda. Si la distancia longitudinal total que ha avanzado la bola a lo largo de la mesa es de $150$ pulgadas, determina las distancias longitudinales recorridas antes y después del rebote.
Un vaso cónico de cristal tiene $15$ pulgadas de profundidad total y $6$ pulgadas de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una…
Un vaso cónico de cristal tiene $15$ pulgadas de profundidad total y $6$ pulgadas de radio en su abertura superior. Se llena de agua hasta que el líquido alcanza una altura de $10$ pulgadas medida desde el fondo (vértice inferior). Calcula el radio de la superficie circular del agua utilizando la semejanza de triángulos rectángulos que se forman con el eje central del vaso.
Traza la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa. Divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos más pequeños, y los tres triángulos son semejantes.
Esta es la notación. En el triángulo rectángulo $ABC$ el ángulo recto está en $C$. La hipotenusa es $c = AB$ y los catetos son $a = BC$ y $b = AC$. El punto $D$ es donde la altura $CD$ toca la hipotenusa, y $h = CD$. Las dos partes de la hipotenusa son $m = AD$ y $n = DB$. Cada parte es la proyección del cateto vecino sobre la hipotenusa, así que $m$ corresponde a $b$ y $n$ corresponde a $a$.
La hipotenusa es la suma de los dos segmentos: $c = m + n$.
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En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ pulgadas y $12$ pulgadas respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del…
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los dos catetos sobre la hipotenusa miden $5$ pulgadas y $12$ pulgadas respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?
Compara los dos triángulos pequeños, $\triangle ACD \sim \triangle CBD$. Los lados correspondientes son proporcionales, así que el cateto corto sobre el cateto largo de cada uno es la misma razón: $\dfrac{m}{h} = \dfrac{h}{n}$. Al multiplicar en cruz obtenemos el teorema de la altura.
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En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ pulgadas y $9$ pulgadas. Calcula la longitud de dicha…
En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $4$ pulgadas y $9$ pulgadas. Calcula la longitud de dicha altura utilizando el teorema correspondiente.
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ pulgadas. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ pulgadas, ¿cuánto…
La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $6$ pulgadas. Si uno de los segmentos en los que divide a la hipotenusa mide $3$ pulgadas, ¿cuánto mide el otro segmento de la hipotenusa?
Ahora compara un triángulo pequeño con el triángulo completo. De $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ obtenemos $\dfrac{m}{b} = \dfrac{b}{c}$ (la parte corta sobre el cateto es igual al cateto sobre la hipotenusa), así que $b^2 = m \cdot c$. El otro cateto funciona igual.
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La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ pulgadas y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ pulgadas. Calcula la longitud de dicho cateto…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25$ pulgadas y la proyección de uno de sus catetos sobre ella mide $9$ pulgadas. Calcula la longitud de dicho cateto aplicando el teorema del cateto.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ pulgadas y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3,2$ pulgadas. Determina la longitud total de la hipotenusa.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide $8$ pulgadas y su proyección ortogonal sobre la hipotenusa mide $3,2$ pulgadas. Determina la longitud total de la hipotenusa.
Siempre que un triángulo rectángulo tenga una altura trazada sobre su hipotenusa (una armadura de techo, una vela triangular, un arco), estos teoremas dan longitudes que no puedes medir directamente.
Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto. Así que si unes los dos extremos del diámetro con cualquier punto del arco, obtienes un triángulo rectángulo, y la línea vertical desde ese punto hasta el diámetro es su altura.
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En el diseño de una cercha para un techo a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2,4$ pies y separa…
En el diseño de una cercha para un techo a dos aguas en forma de triángulo rectángulo, la viga vertical (que hace de altura sobre la hipotenusa) mide $2,4$ pies y separa la viga inferior (hipotenusa) en dos tramos, uno de los cuales mide $1,8$ pies. Calcula el perímetro total de la estructura exterior de la cercha.
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$…
La vela principal de un velero tiene forma de triángulo rectángulo. La costura que marca la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa mide $6$ pies. Si la proyección del lado menor de la vela sobre la hipotenusa es de $4,5$ pies, calcula la superficie total de la vela en pies cuadrados.
Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ pies. A $4$ pies de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un…
Un arco de puente de piedra tiene forma de semicircunferencia perfecta con un diámetro de $20$ pies. A $4$ pies de uno de los extremos del puente, se necesita colocar un pilar vertical que llegue desde el suelo hasta el arco. Utilizando el teorema de la altura, determina qué longitud exacta debe tener este pilar.
A veces el problema no da $m$ y $n$ directamente. Da una razón, una expresión con $x$ o el área. Nombra las incógnitas y luego usa estos datos:
$h^2 = m \cdot n$,
$c = m + n$,
área $= \tfrac12 \, c \, h$,
teorema del cateto: $a^2 = n \cdot c$ y $b^2 = m \cdot c$.
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En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ pies. Si la razón entre los…
En un terreno con forma de triángulo rectángulo, se ha trazado una zanja de riego que coincide con la altura sobre la hipotenusa y mide $12$ pies. Si la razón entre los dos segmentos en los que esta zanja divide a la hipotenusa es $\frac{9}{16}$, calcula las dimensiones de los tres lados que delimitan el terreno.
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ pulgadas, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ pulgadas, y la altura…
En un triángulo rectángulo, la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa mide $x$ pulgadas, la proyección del cateto mayor mide $(x+5)$ pulgadas, y la altura relativa a la hipotenusa mide $(x+2)$ pulgadas. Plantea la ecuación correspondiente, halla el valor de $x$ y calcula el área total del triángulo.
Cuando te dan el área, usa área $= \tfrac12 c h$ para hallar primero la hipotenusa. Eso te da $m + n$ y $m \cdot n$, y puedes resolver para $m$ y $n$ con una sustitución.
Aquí hay un atajo muy útil. Divide las dos fórmulas de los catetos:
La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de los segmentos que determinan.
Practica★★★Sin empezar
El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ pulgadas$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ pulgadas. Planteando un sistema de…
El área de un panel solar con forma de triángulo rectángulo es de $150$ pulgadas$^2$ y la altura relativa a su hipotenusa mide $12$ pulgadas. Planteando un sistema de ecuaciones con las proyecciones de los catetos, determina la longitud exacta de los dos catetos del panel solar.
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ pulgadas, utiliza la relación de…
En un triángulo rectángulo, la razón entre los cuadrados de los catetos es $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si la hipotenusa mide $50$ pulgadas, utiliza la relación de proporcionalidad deducida a partir de los teoremas del cateto para hallar primero la medida de las proyecciones de ambos catetos sobre la hipotenusa, y posteriormente la longitud exacta de los catetos.
Problemas de desafío con triángulos rectángulos semejantes
Tres problemas clásicos cierran la página. Los tres salen de dibujar los triángulos rectángulos y emparejar lados.
Dos postes y dos cables
Dos postes verticales de alturas $a$ y $b$ están separados una distancia $d$. Un cable tenso va de la base de cada poste a la parte de arriba del otro. Los cables se cruzan a una altura $h$.
Un cuadrado en un triángulo rectángulo
La distancia al horizonte
Una línea de visión que apenas toca la Tierra es tangente a ella, y una tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Así que el centro de la Tierra $O$, el punto del horizonte $T$ y el observador $B$ forman un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $T$. Los catetos son $R$ (el radio de la Tierra) y $d$ (la distancia al horizonte), y la hipotenusa es $R + h$.
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Dos postes verticales de alturas $a = 3$ pies y $b = 6$ pies están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste…
Dos postes verticales de alturas $a = 3$ pies y $b = 6$ pies están separados por una distancia desconocida. Se tienden dos cables tensos desde la base de cada poste hasta el extremo superior del otro poste. Utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman, demuestra que la altura $h$ a la que se cruzan los cables es independiente de la distancia que separa los postes y calcula su valor.
En un triángulo rectángulo de catetos $8$ pulgadas y $6$ pulgadas, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y…
En un triángulo rectángulo de catetos $8$ pulgadas y $6$ pulgadas, se inscribe un cuadrado de forma que uno de sus vértices coincide con el ángulo recto del triángulo, y los dos lados del cuadrado que forman ese vértice descansan sobre los catetos. Calcula la medida del lado del cuadrado $x$ utilizando la semejanza de los triángulos rectángulos que se forman.
Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ millas, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ millas sobre la…
Si consideramos que la Tierra es una esfera de radio $R = 6371$ millas, y una persona se encuentra en un globo aerostático a una altura $h = 2$ millas sobre la superficie, la línea visual tangente a la superficie forma un triángulo rectángulo en el punto del horizonte. Utiliza el teorema del cateto (o el de Pitágoras en triángulos semejantes) para hallar la distancia rectilínea $d$ desde el globo aerostático hasta el horizonte visible, aproximando a dos decimales.
De vuelta al asta de la bandera: el triángulo de Emma tiene catetos de 5 pies y 4 pies, y el triángulo del asta tiene catetos $H$ y 24 pies. Son semejantes, así que $\tfrac{H}{24} = \tfrac{5}{4}$ y el asta mide 30 pies.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado