Te conviene dominar: Razón (Matemáticas de 7.º grado)
Te conviene dominar: Semejanza (Matemáticas de 8.º grado (Pre-Álgebra))
¿Qué altura tiene el asta de la bandera frente a tu escuela? No puedes subir con una cinta métrica. Pero en un día soleado solo necesitas a un amigo, una cinta métrica y una idea: las rectas paralelas cortan otras rectas en partes proporcionales. En esta sección aprenderás esa idea, su recíproco y cómo la usan los topógrafos, los fotógrafos y los astrónomos para medir cosas que no pueden alcanzar.
Rectas paralelas y segmentos proporcionales
Una transversal es una recta que cruza otras rectas. Cuando unas rectas paralelas cortan dos transversales, las partes de una transversal están en las mismas razones que las partes de la otra.
En algunos problemas a esto se le llama teorema de Tales. En este curso lo llamamos teorema de las tres paralelas.
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Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.
Calcula el valor del segmento desconocido $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las rectas horizontales son paralelas entre sí.
Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ pulgadas y $15$ pulgadas.…
Dos rectas secantes son cortadas por dos rectas paralelas. En la primera recta secante, los segmentos determinados por las paralelas miden $12$ pulgadas y $15$ pulgadas. En la segunda recta secante, el segmento correspondiente al de $12$ pulgadas mide $8$ pulgadas. Calcula la longitud del segmento correspondiente al de $15$ pulgadas.
Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3.5$ pulgadas y $5$ pulgadas. En la recta $s$, el segmento…
Tres rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes $r$ y $s$. En la recta $r$, los segmentos miden $3.5$ pulgadas y $5$ pulgadas. En la recta $s$, el segmento correspondiente al de $3.5$ pulgadas mide $4.2$ pulgadas. ¿Cuánto mide el segmento correspondiente al de $5$ pulgadas en la recta $s$?
El teorema de la proporcionalidad de los triángulos
Un triángulo es el lugar más sencillo para ver las paralelas en acción. Un segmento paralelo a un lado "divide" los otros dos lados en partes proporcionales. Por eso también se le llama teorema del divisor de lados (side-splitter theorem).
Mueve el factor de escala de abajo para ver cómo un triángulo más pequeño sigue siendo semejante a uno más grande.
Practica★☆☆Sin empezar
Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.
Los triángulos de la figura están en posición de Tales. Calcula las longitudes de los lados $x$ e $y$.
En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ pulgadas,…
En un triángulo $\Delta ABC$, se traza un segmento $MN$ paralelo al lado $BC$, de modo que $M$ pertenece al lado $AB$ y $N$ al lado $AC$. Sabemos que $AM = 4$ pulgadas, $MB = 2$ pulgadas y $AN = 6$ pulgadas. Calcula la longitud del lado completo $AC$.
Halla el valor de $x$ aplicando el Teorema de Tales en el siguiente diagrama, donde las tres rectas verticales son paralelas. Expresa el resultado como un número entero…
Halla el valor de $x$ aplicando el Teorema de Tales en el siguiente diagrama, donde las tres rectas verticales son paralelas. Expresa el resultado como un número entero o una fracción simplificada.
El teorema va en un sentido: paralelas $\Rightarrow$ proporcionales. El recíproco va en el otro sentido y te permite demostrar que unas rectas son paralelas solo con medidas. No necesitas transportador.
Practica★☆☆Sin empezar
Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ pulgadas y $20$ pulgadas. En la segunda…
Comprueba si los segmentos determinados por tres rectas sobre dos secantes son proporcionales. En la primera secante miden $15$ pulgadas y $20$ pulgadas. En la segunda secante miden $24$ pulgadas y $32$ pulgadas. ¿Son paralelas las tres rectas? Justifica tu respuesta usando el recíproco del Teorema de Tales.
El teorema de las tres paralelas también da una construcción. Con regla y compás puedes dividir cualquier segmento en cualquier número de partes iguales, sin decimales y sin medir.
Practica★☆☆Sin empezar
Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ pulgadas en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.
Explica los pasos geométricos necesarios para dividir un segmento de $11$ pulgadas en $5$ partes exactamente iguales utilizando regla, compás y el Teorema de Tales.
El Sol está tan lejos que sus rayos llegan prácticamente paralelos. Así que, en el mismo momento, cada objeto vertical y su sombra forman un triángulo rectángulo con los mismos ángulos. Esos triángulos son semejantes por AA y sus lados son proporcionales.
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A cierta hora del día, un semáforo proyecta una sombra y, al mismo tiempo, un bolardo cercano proyecta la suya. Sabiendo que los rayos del sol inciden paralelamente,…
A cierta hora del día, un semáforo proyecta una sombra y, al mismo tiempo, un bolardo cercano proyecta la suya. Sabiendo que los rayos del sol inciden paralelamente, calcula la altura del semáforo $H$.
Sofía, que mide $1.65$ pies, se aleja de un farol encendido en línea recta. En un instante dado, su sombra mide $2.2$ pies. Si la distancia desde la base del farol hasta…
Sofía, que mide $1.65$ pies, se aleja de un farol encendido en línea recta. En un instante dado, su sombra mide $2.2$ pies. Si la distancia desde la base del farol hasta la punta de la sombra de Sofía es de $8$ pies, ¿cuál es la altura del farol?
Luz a través de un punto: cámaras estenopeicas, eclipses y reflectores
La luz viaja en línea recta. Si todos los rayos pasan por un punto (un agujero diminuto, tu ojo, un reflector), el objeto y su imagen forman dos triángulos semejantes que comparten ese punto como vértice.
La misma idea explica un eclipse solar total. La Luna cubre exactamente el Sol, así que el diámetro de la Luna es a su distancia de ti como el diámetro del Sol es a su distancia de ti.
Un reflector en el piso funciona igual. El actor y su sombra en el telón de fondo son dos triángulos rectángulos semejantes con el reflector en el vértice común. La altura de cada triángulo va con su distancia a la luz.
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En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ pies de altura se…
En una cámara oscura, la luz entra por un pequeño orificio y proyecta la imagen invertida de un objeto en la pared del fondo. Si un árbol de $4$ pies de altura se encuentra a $15$ pies del orificio, calcula la altura de la imagen proyectada $h$ si la profundidad de la cámara es de $0.3$ pies.
Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente…
Durante un eclipse solar, la Luna se interpone exactamente entre la Tierra y el Sol, bloqueando su luz. Sabiendo que el diámetro del Sol es aproximadamente $1.4 \times 10^6$ millas y se encuentra a $1.5 \times 10^8$ millas de la Tierra, y que la Luna está a $384000$ millas de la Tierra, calcula el diámetro aproximado de la Luna usando la semejanza de triángulos.
Un foco de teatro ilumina a un actor proyectando su sombra en el telón de fondo. El foco está a ras de suelo. El actor, de $1.80$ pies de altura, camina hacia el telón.…
Un foco de teatro ilumina a un actor proyectando su sombra en el telón de fondo. El foco está a ras de suelo. El actor, de $1.80$ pies de altura, camina hacia el telón. Cuando está a $4$ pies del foco, su sombra mide $h_1$. Si camina $2$ pies más hacia el telón, su sombra mide $h_2$. Sabiendo que la distancia total del foco al telón es de $10$ pies, calcula la diferencia de altura entre las dos sombras proyectadas ($h_1 - h_2$).
Los topógrafos miden cosas que no pueden alcanzar construyendo un triángulo pequeño y medible que sea semejante a uno grande. Aquí tienes tres montajes clásicos.
Espejo. Un rayo de luz rebota en un espejo plano con el mismo ángulo con el que llegó. Así, el triángulo rectángulo desde tus ojos hasta el espejo es semejante por AA al triángulo rectángulo desde el espejo hasta lo más alto de lo que ves.
Río. Para hallar el ancho de un río, construye un par de triángulos semejantes que tengan el ancho como uno de sus lados.
Montaña, dos observaciones. Cuando no puedes llegar a la base de un objeto alto, no conoces su distancia. Así que usa dos observaciones y deja esa distancia como una variable.
Practica★★☆Sin empezar
Para medir el ancho de un río de orillas paralelas, un topógrafo coloca tres estacas $A, B$ y $C$ en una de las orillas, y toma como referencia un árbol $T$ en la orilla…
Para medir el ancho de un río de orillas paralelas, un topógrafo coloca tres estacas $A, B$ y $C$ en una de las orillas, y toma como referencia un árbol $T$ en la orilla opuesta. Sabiendo que el segmento $AB$ es paralelo al segmento $CD$, que $AB = 8$ pies, $BC = 12$ pies y la distancia desde $A$ hasta el río perpendicularmente es de $2$ pies, calcula el ancho del río aplicando la semejanza de triángulos.
Un espejo plano se coloca en el suelo horizontal. Una persona cuyos ojos están a $1.60$ pies del suelo se sitúa a $1.20$ pies del centro del espejo y ve exactamente…
Un espejo plano se coloca en el suelo horizontal. Una persona cuyos ojos están a $1.60$ pies del suelo se sitúa a $1.20$ pies del centro del espejo y ve exactamente reflejada en él la antena de un edificio. Si la distancia desde el espejo hasta la base del edificio es de $18$ pies, y tanto la persona como el edificio son perpendiculares al suelo, ¿cuál es la altura total de la antena desde el suelo?
Para medir la altura de una montaña inaccesible sin usar trigonometría, un topógrafo utiliza dos varillas verticales de $2$ pies de altura. Clava la primera varilla en…
Para medir la altura de una montaña inaccesible sin usar trigonometría, un topógrafo utiliza dos varillas verticales de $2$ pies de altura. Clava la primera varilla en el suelo y, tumbándose, alinea visualmente la punta de la varilla con la cima de la montaña. La distancia desde su ojo hasta la varilla es de $1.5$ pies. Luego retrocede $150$ pies en línea recta, clava la segunda varilla, y alinea de nuevo su ojo con la punta de la varilla y la cima. Esta vez, la distancia de su ojo a la varilla es de $1.6$ pies. Calcula la altura de la montaña.
Cualquier recta inclinada que cruce soportes verticales regulares (una rampa, un techo, la trayectoria de una pelota) crea triángulos rectángulos semejantes. El truco es poner el vértice del triángulo rectángulo donde la recta inclinada toca el suelo y medir desde ahí todas las distancias horizontales.
Practica★★☆Sin empezar
Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1.2$ pies en una distancia horizontal de $15$ pies. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio…
Una rampa de acceso para sillas de ruedas salva un desnivel de $1.2$ pies en una distancia horizontal de $15$ pies. Si se quiere colocar un soporte vertical intermedio cuando la distancia horizontal recorrida desde el inicio de la rampa es de $6$ pies, ¿cuál debe ser la altura de dicho soporte?
En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2.4$ pies. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a…
En un partido de tenis, un jugador golpea la pelota a una altura de $2.4$ pies. La pelota viaja en línea recta, roza exactamente la cinta superior de la red (que está a $0.9$ pies de altura) y cae en la cancha contraria. Si la distancia horizontal desde el jugador hasta la red es de $12$ pies, ¿a qué distancia de la red botará la pelota?
En la estructura de un techo a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del techo mide $10$ pies en total (del centro al alero hay $5$ pies). La…
En la estructura de un techo a dos aguas, se coloca un puntal vertical de refuerzo. La base del techo mide $10$ pies en total (del centro al alero hay $5$ pies). La altura máxima en el centro es de $3$ pies. Si el puntal se coloca a $1.5$ pies del centro hacia el alero, ¿cuál debe ser su longitud?
A veces la incógnita aparece en dos lugares de la misma proporción, como un segmento $x$ y el total $x + 6$. Entonces obtienes una ecuación que resolver. Puede ser lineal o cuadrática.
El reloj de arena. Cuando dos transversales se cruzan entre dos rectas paralelas, los dos triángulos son semejantes. Los ángulos opuestos por el vértice en el punto de cruce son congruentes y los ángulos alternos internos son congruentes, así que AA funciona.
Montajes con vértice. Dos soportes paralelos cuelgan de una viga inclinada. Si sus longitudes son $p$ y $q$, las distancias desde el vértice (donde la viga y el piso se encuentran) están en la misma razón $p : q$. Si los soportes están a $6$ pies de distancia a lo largo de la viga, con $p = 2$ y $q = 5$, llama $d$ a la distancia del vértice al soporte más corto. Entonces $\dfrac{d}{d+6} = \dfrac{2}{5}$, así que $5d = 2d + 12$ y $d = 4$ pies.
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En un sistema de dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas, los segmentos de la primera secante miden $x$ y $x+3$. En la segunda secante, los segmentos…
En un sistema de dos rectas secantes cortadas por tres rectas paralelas, los segmentos de la primera secante miden $x$ y $x+3$. En la segunda secante, los segmentos correspondientes miden $x-2$ y $x$. Plantea la proporción, resuelve la ecuación resultante y halla el valor de los cuatro segmentos.
En la estructura de una grúa torre, el brazo principal forma un triángulo con los cables tensores. Desde un nodo $A$ en el brazo principal se traza un tirante vertical…
En la estructura de una grúa torre, el brazo principal forma un triángulo con los cables tensores. Desde un nodo $A$ en el brazo principal se traza un tirante vertical hasta el brazo inferior horizontal, midiendo $3$ pies. Desde un nodo $B$, situado $4$ pies más adelante en el brazo principal, se traza otro tirante vertical que mide $4.5$ pies. ¿A qué distancia del nodo $A$ se encuentra el punto de articulación (donde se unen los dos brazos de la grúa)?
Dos rectas paralelas distan entre sí $H$. Dos segmentos transversales se cruzan en un punto $P$ entre las paralelas, formando una figura en forma de reloj de arena. Los…
Dos rectas paralelas distan entre sí $H$. Dos segmentos transversales se cruzan en un punto $P$ entre las paralelas, formando una figura en forma de reloj de arena. Los segmentos de una de las transversales miden $x$ y $x+5$, mientras que la base del triángulo superior mide $12$ pulgadas y la base del triángulo inferior mide $27$ pulgadas. Calcula el valor de $x$ y la longitud total de esa transversal.
Un segmento medio (midsegment) de un triángulo conecta los puntos medios de dos lados. Es el caso especial del teorema de la proporcionalidad de los triángulos en el que la razón es $\dfrac{1}{2}$.
Trapecios. Un segmento paralelo a las bases de un trapecio no está dentro de un triángulo, así que constrúyelo. Traza una recta por un vértice paralela a un lado no paralelo. Divide el trapecio en un paralelogramo y un triángulo.
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En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ pulgadas y $CD = 15$ pulgadas, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el…
En un trapecio $ABCD$ de bases $AB = 25$ pulgadas y $CD = 15$ pulgadas, se traza un segmento $MN$ paralelo a las bases, con $M$ en $AD$ y $N$ en $BC$. Sabemos que el segmento $MN$ divide a los lados no paralelos en la proporción $\frac{AM}{MD} = \frac{2}{3}$. Calcula la longitud del segmento $MN$. (Pista: Traza una paralela a uno de los lados oblicuos desde un vértice).
Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si…
Demuestra, utilizando el recíproco del Teorema de Tales, que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo cualquiera es paralelo al tercer lado. Si el tercer lado mide $L$, ¿cuál es la longitud de este segmento en función de $L$? Argumenta tu respuesta basándote en la semejanza de triángulos.
Volvamos al asta de la bandera: es el ejemplo de la sombra. La sombra de Emma, la sombra del asta y los rayos paralelos del Sol dan dos triángulos semejantes, así que una cinta métrica en el suelo es todo lo que necesitas.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado