Funciones cuadráticas y parábolas

Determine, sustituyendo en la ecuación, si el punto $(-1, 4)$ y el punto $(2, 1)$ pertenecen a la gráfica de la parábola $y = 2x^2 - 3x - 1$.

La función $d(t) = 5t^2$ describe la distancia en pulgadas que recorre una canica al caer por un riel inclinado en función del tiempo $t$ en segundos. ¿Qué distancia habrá recorrido a los $4$ segundos? ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer exactamente $125$ pulgadas?

Observe las tres parábolas representadas en la siguiente figura. Asocie cada una de las expresiones analíticas con su gráfica correspondiente (A, B o C).

1) $y = -x^2 + 2$

2) $y = x^2 - 4x + 4$

3) $y = x^2 - 4$

Dada la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$, determine las coordenadas exactas de su vértice y la ecuación de su eje de simetría.

Indique hacia dónde se abren las ramas de la parábola $y = -3x^2 + 6x - 1$ justificando su respuesta, y averigüe si el vértice de esta función corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto. Calcule sus coordenadas.

Calcule los puntos de corte con los ejes de coordenadas (tanto con el eje de abscisas como con el eje de ordenadas) de la parábola $y = -x^2 + 2x + 8$.

Considera la familia de parábolas dadas por la ecuación $y = x^2 - kx + 9$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales la parábola es tangente al eje de abscisas (es decir, tiene un único punto de corte con el eje X).

Halla la expresión analítica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que corta al eje de abscisas en los puntos $x = -1$ y $x = 5$, y que el valor máximo que alcanza la función es $18$.

Exprese la función $y = (x + 3)^2 - 2$ como el resultado de aplicar una traslación a la parábola elemental $y = x^2$. Indique claramente la dirección y el número de unidades desplazadas tanto en el eje horizontal como en el vertical.

Observa la gráfica de la parábola. Determina las coordenadas de su vértice y utiliza un punto adicional de la gráfica para deducir su expresión algebraica en la forma $y = a(x-h)^2 + k$. Finalmente, desarróllala a la forma $y = ax^2 + bx + c$.

Sabiendo que la gráfica de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 11)$, plantee un sistema de ecuaciones y calcule los valores de los parámetros $a$ y $c$.

Determina la expresión algebraica desarrollada de una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(2, -1)$ y que pasa por el punto $P(4, 3)$.

Calcula los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(0, -5)$, $(1, -6)$ y $(-1, -2)$.

Un arco de un puente de piedra tiene forma de parábola. La base del arco (al nivel del agua) mide $12$ pies de ancho y la altura máxima en el centro es de $6$ pies. Si situamos el origen de coordenadas en el centro de la base del arco, halla la ecuación de la parábola que describe su perfil.

Un jugador de básquetbol lanza a canasta desde una altura de $2$ pies. El balón sigue una trayectoria parabólica, alcanzando su altura máxima de $4$ pies a una distancia horizontal de $2$ pies desde el punto de lanzamiento. Sabiendo que el aro de la canasta se encuentra a $3$ pies de altura y a una distancia horizontal de $4.5$ pies, deduce la ecuación de la trayectoria y demuestra analíticamente si el balón entrará o no por el aro.

Durante un entrenamiento, una jugadora de voleibol lanza el balón hacia arriba. La altura $h$ (en pies) que alcanza el balón en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 10t + 2$. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balón y en qué instante exacto se produce?

Una empresa que fabrica fundas personalizadas para celulares ha determinado que si vende cada funda a $\$x$, sus ingresos diarios en dólares vienen dados por la función cuadrática $I(x) = -2x^2 + 48x$. ¿A qué precio deben vender las fundas para maximizar sus ingresos diarios? ¿A cuánto ascienden dichos ingresos máximos?

Disponemos de $40$ pies de cuerda para delimitar una zona rectangular de juegos en un campamento. Si llamamos $x$ a la longitud de la base del rectángulo, escribe la función que determina el área del recinto en función de $x$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para que el área encerrada sea la máxima posible?

Un agricultor quiere construir un corral rectangular para sus gallinas aprovechando un largo muro de piedra ya existente, de modo que solo necesita cercar tres de los cuatro lados del rectángulo. Dispone de $100$ pies de cerca metálica. Determina las dimensiones del corral para que su área sea la mayor posible y calcula dicha área máxima.

Una fábrica de scooters eléctricos tiene unos gastos fijos mensuales de $\$2000$ y producir cada scooter le cuesta $\$15$ adicionales. Los ingresos mensuales obtenidos por la venta de $x$ scooters vienen dados por la función $I(x) = -0.1x^2 + 65x$. Escribe la función que representa el beneficio mensual $B(x)$. ¿Cuántos scooters deben fabricar y vender para obtener el beneficio máximo?

Halle analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $y = x^2 - 4x + 3$ y la recta $y = -x + 3$.

Dadas las parábolas $y = x^2 - 2x - 3$ e $y = -x^2 + 4x + 5$, halla analíticamente los puntos exactos donde se cortan. Calcula después la distancia en línea recta entre los vértices de ambas parábolas.

Dibuja un esbozo de la gráfica de la función $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Para ello, halla primero el vértice y los puntos de corte con los ejes de la parábola interior sin el valor absoluto, y explica analíticamente cómo afecta el valor absoluto a la representación final.

Dada la siguiente función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x \le 3 \\ mx + n & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que la función sea continua en el punto de ruptura $x = 3$ y, además, la semirrecta pase por el punto $(5, -1)$.