Triángulos rectángulos semejantes y medición indirecta
¿Qué altura tiene el asta de la bandera de tu escuela? No puedes subir con una cinta métrica, pero puedes averiguarlo con una regla de una yarda y una tarde soleada. El secreto es que los triángulos rectángulos esconden triángulos semejantes, y los triángulos semejantes convierten medidas fáciles en medidas difíciles. En esta sección aprenderás las herramientas y luego las usarás con astas de bandera, ríos, mesas de billar y más.
Los teoremas de la media geométrica
Dibuja un triángulo rectángulo y traza la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa. La altura divide la hipotenusa en dos partes, llamadas segmentos (o proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa). También divide el triángulo grande en dos triángulos rectángulos más pequeños.
Los dos triángulos pequeños son rectángulos y cada uno comparte un ángulo agudo con el triángulo grande. Por la semejanza AA, los tres triángulos son semejantes. Al emparejar sus lados se obtienen tres proporciones:
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El triángulo pequeño de la izquierda y el triángulo grande: $\dfrac{m}{a} = \dfrac{a}{c}$
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El triángulo pequeño de la derecha y el triángulo grande: $\dfrac{n}{b} = \dfrac{b}{c}$
-
Los dos triángulos pequeños: $\dfrac{h}{m} = \dfrac{n}{h}$
Al multiplicar en cruz cada una se obtienen las fórmulas siguientes.
En algunos problemas a estos teoremas se les llama teorema de la altura y teorema del cateto. Son las mismas fórmulas.
En un techo a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de…
En un techo a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de $2\text{ m}$ y $8\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la altura máxima del techo.
Una rampa de skate tiene un perfil de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La base horizontal (hipotenusa) mide $10\text{ m}$ y la proyección del tramo de…
Una rampa de skate tiene un perfil de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La base horizontal (hipotenusa) mide $10\text{ m}$ y la proyección del tramo de subida sobre la base es de $3,6\text{ m}$. Utiliza el teorema del cateto para calcular la longitud del tramo de subida.
El mástil central de una carpa forma un ángulo recto con las dos cuerdas principales que lo sujetan desde la parte superior hasta el suelo. El mástil mide $4\text{ m}$…
El mástil central de una carpa forma un ángulo recto con las dos cuerdas principales que lo sujetan desde la parte superior hasta el suelo. El mástil mide $4\text{ m}$ de altura y una de las cuerdas se ancla a $3,2\text{ m}$ de la base del mástil. ¿A qué distancia de la base se ancla la otra cuerda?
Cómo hallar todos los lados
Si conoces dos cualesquiera de las longitudes $m, n, h, a, b, c$ (y bastan para determinar el triángulo), puedes hallar todas las demás. Elige la fórmula que contenga lo que sabes y lo que quieres hallar.
| Conoces | Quieres | Usa |
|---|---|---|
| $m$ y $n$ | $h$ | $h^2 = m \cdot n$ |
| $h$ y $m$ | $n$ | $n = \dfrac{h^2}{m}$ |
| $c$ y $m$ | cateto $a$ | $a^2 = m \cdot c$ |
| $a$ y $c$ | $m$ | $m = \dfrac{a^2}{c}$ |
| $m$ y $n$ | $c$ | $c = m + n$ |
Hay un dato más que resulta muy útil. El área del triángulo es $\tfrac{1}{2}ab$ (con los catetos como base y altura) y también $\tfrac{1}{2}ch$ (con la hipotenusa como base). Por tanto, $c \cdot h = a \cdot b$. El teorema de Pitágoras, $a^2 + b^2 = c^2$, siempre sirve para comprobar.
En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la…
En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la altura relativa a la hipotenusa. Utiliza el teorema del cateto para calcular cuánto miden las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de…
La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de $4,8\text{ m}$ y la proyección del lado menor sobre la base es de $3,6\text{ m}$. Calcula la longitud de los dos catetos y de la hipotenusa.
En un museo, un cuadro rectangular está enmarcado por un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa, de manera que la altura sobre la hipotenusa coincide con uno…
En un museo, un cuadro rectangular está enmarcado por un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa, de manera que la altura sobre la hipotenusa coincide con uno de los lados del cuadro. Si las proyecciones de los catetos sobre la base miden $16\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$, y el cuadro ocupa exactamente el rectángulo formado por la altura y la proyección menor, ¿cuál es el área del cuadro?
Cuando los teoremas llevan a una ecuación cuadrática
A veces el problema da una relación entre longitudes ("un segmento mide 5 más que el otro") en lugar de las longitudes mismas. Entonces:
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Sea $x$ una de las longitudes desconocidas y escribe las demás en términos de $x$.
-
Aplica el teorema adecuado para obtener una ecuación. Casi siempre será cuadrática.
-
Resuélvela (por factorización o con la fórmula cuadrática).
-
Descarta cualquier solución negativa o imposible y luego comprueba.
La gráfica es $y = x^2 + 5x - 36$. Sus intersecciones con el eje $x$, $-9$ y $4$, son las soluciones de la ecuación del primer ejemplo de abajo.
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro…
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro cateto. Si la altura relativa a la hipotenusa mide $4,8\text{ dam}$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la longitud total de la hipotenusa.
El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los…
El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los catetos) mide $1,2\text{ m}$ más que su proyección sobre la hipotenusa. Determina las dos posibles longitudes que puede tener el borde de fuga utilizando el teorema del cateto.
Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos…
Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos tirantes (hipotenusa) es de $125\text{ m}$. Si uno de los tirantes mide $25\text{ m}$ más que el otro, determina la altura del pilar principal (altura sobre la hipotenusa).
Razones, recíprocos y alturas dentro de alturas
Tres ideas más hacen manejables los problemas más difíciles.
Segmentos dados como razón. Si los segmentos están en la razón $1:4$, llámalos $t$ y $4t$. El teorema de la altura se convierte en una ecuación en $t$.
La identidad de los recíprocos. La ecuación del área $c \cdot h = a \cdot b$ junto con el teorema de Pitágoras da una relación muy ordenada entre la altura y los catetos.
Una altura dentro de una altura. Cuando trazas la altura, aparecen nuevos triángulos rectángulos. Una nueva altura trazada en uno de ellos se resuelve con los mismos teoremas.
Un diseñador industrial crea una pieza plana en forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. Para reforzar la pieza, coloca una…
Un diseñador industrial crea una pieza plana en forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. Para reforzar la pieza, coloca una varilla recta perpendicular a la hipotenusa que pasa por el vértice del ángulo recto (es decir, la altura). A su vez, desde el pie de esta altura traza otra varilla perpendicular al cateto mayor. ¿Cuánto mide esta última varilla?
Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los…
Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos ($\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$). Posteriormente, verifica esta relación calculando la altura de ambas formas en un triángulo de catetos $10\text{ cm}$ y $24\text{ cm}$.
En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a…
En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos que están en proporción $9:16$. Si la altura mide $6\text{ m}$, calcula el perímetro total del triángulo que forma el techo.
¿Son semejantes dos triángulos rectángulos?
Dos triángulos rectángulos ya comparten un par de ángulos iguales (los ángulos rectos). Así que solo necesitas un dato más para demostrar la semejanza:
-
los dos pares de catetos son proporcionales, o
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las hipotenusas y un par de catetos son proporcionales.
Para comprobarlo, primero empareja los lados por tamaño: cateto menor con cateto menor, cateto mayor con cateto mayor, hipotenusa con hipotenusa. Luego compara las razones.
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de…
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de $50\text{ cm}$ y un cateto de $30\text{ cm}$. Comprueba matemáticamente si ambas cuñas son semejantes.
Factor de escala, área y volumen
Si dos figuras son semejantes con factor de escala $k$, entonces:
-
cada longitud se multiplica por $k$,
-
cada área se multiplica por $k^2$,
-
cada volumen se multiplica por $k^3$.
¿Por qué? Un área es longitud por longitud, así que ambas longitudes se multiplican por $k$: $k \cdot k = k^2$. Un volumen tiene tres longitudes, así que resulta $k^3$.
Un corte con un plano paralelo a la base de una pirámide produce una copia más pequeña de la base. La pirámide pequeña de arriba es semejante a la pirámide completa, y su factor de escala es (distancia desde el vértice) $\div$ (altura total).
Dos señales de tránsito con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si…
Dos señales de tránsito con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el cateto menor de la señal grande mide $60\text{ cm}$, ¿cuál es el área de la señal grande?
Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal…
Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal obtenida es de $15\text{ cm}^2$, ¿cuál es el volumen de la pirámide original si su altura total es de $18\text{ cm}$?
Sombras, espejos y reflectores
Sombras. El sol está tan lejos que sus rayos son paralelos. En el mismo momento, todo objeto vertical forma el mismo ángulo con la luz solar. Así que un objeto, su sombra y el rayo desde su punta forman triángulos rectángulos con ángulos agudos iguales. Son semejantes por AA, y:
$$\frac{\text{altura}}{\text{sombra}} = \frac{\text{altura}}{\text{sombra}}$$Espejos. Coloca un espejo plano en el suelo. La luz rebota de modo que el ángulo de entrada es igual al ángulo de salida. Cuando ves la copa de un árbol en el espejo, el triángulo (tus ojos, tú, el espejo) y el triángulo (la copa, el árbol, el espejo) tienen un ángulo recto y ángulos iguales en el espejo. Son semejantes.
Reflectores. Una luz en el suelo, una cerca y un muro forman triángulos anidados. Comparten el ángulo en la luz y ambos tienen un ángulo recto en el suelo. Como los triángulos están anidados, compara las alturas con las distancias medidas desde la luz.
Un poste de voleibol proyecta una sombra de $3,5\text{ m}$ sobre el suelo horizontal. A la misma hora y en el mismo lugar, una botella de agua de $0,25\text{ m}$ de…
Un poste de voleibol proyecta una sombra de $3,5\text{ m}$ sobre el suelo horizontal. A la misma hora y en el mismo lugar, una botella de agua de $0,25\text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $0,35\text{ m}$. Calcula la altura del poste utilizando semejanza de triángulos.
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el…
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el espejo hasta que ve el punto más alto del aerogenerador reflejado exactamente en el centro del espejo. Si los ojos de la ingeniera están a $1,6\text{ m}$ del suelo, calcula la altura del aerogenerador.
Una cerca opaca de $2\text{ m}$ de altura está situada frente a la pared vertical de un edificio. Un foco de luz situado en el suelo a $1,5\text{ m}$ de la cerca…
Una cerca opaca de $2\text{ m}$ de altura está situada frente a la pared vertical de un edificio. Un foco de luz situado en el suelo a $1,5\text{ m}$ de la cerca proyecta la sombra de esta sobre el edificio, alcanzando una altura de $6\text{ m}$. Si alejamos el foco $1\text{ m}$ más de la cerca (situándolo a $2,5\text{ m}$), ¿cuánto descenderá la altura de la sombra proyectada en el edificio?
Ríos, cables cruzados y papel doblado
Estos tres problemas son la misma idea disfrazada: encuentra dos triángulos rectángulos semejantes, empareja los lados y resuelve una proporción.
Medir un río. Puedes medir el ancho de un río desde una orilla. Mira un árbol en la orilla opuesta, camina por tu orilla en ángulo recto con tu línea de visión, coloca una estaca, camina más, gira $90^\circ$ alejándote del río y deténte cuando la estaca quede alineada con el árbol. Obtienes un triángulo grande (con el río como cateto) y un triángulo pequeño que puedes medir por completo.
Cables cruzados. Dos postes verticales están a una distancia $d$ uno del otro, con alturas $a$ y $b$. Un cable va desde la base de cada poste hasta la punta del otro. ¿A qué altura sobre el suelo se cruzan los cables? Sorprendentemente, la respuesta no depende de $d$.
Papel doblado. Cuando doblas un rectángulo de modo que dos esquinas opuestas se encuentren, el doblez es la mediatriz (mediatriz) de la diagonal entre esas esquinas. El doblez y la diagonal forman triángulos rectángulos semejantes al triángulo rectángulo que corta la diagonal.
Un topógrafo quiere calcular el ancho de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la orilla…
Un topógrafo quiere calcular el ancho de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la orilla (perpendicularmente a la visual inicial) y coloca un jalón. Luego camina otros $6\text{ m}$ en la misma dirección, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta que ve el jalón alineado con el árbol. ¿Cuál es el ancho del río?
En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se…
En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se tira un cable tenso hasta la cima del otro poste. Los cables se cruzan a una altura $h$. Demuestra mediante semejanza de triángulos que la altura $h$ a la que se cruzan no depende de la distancia $d$ y calcula su valor.
Una hoja de papel rectangular de $8\text{ cm}$ de ancho y $15\text{ cm}$ de largo se dobla de modo que dos vértices opuestos coinciden. El pliegue formado es una línea…
Una hoja de papel rectangular de $8\text{ cm}$ de ancho y $15\text{ cm}$ de largo se dobla de modo que dos vértices opuestos coinciden. El pliegue formado es una línea recta. Calcula la longitud de dicho pliegue basándote en la semejanza de triángulos rectángulos que se forman.
De vuelta al asta de la bandera: una regla de $3\text{ ft}$ con una sombra de $4\text{ ft}$, junto a una sombra de $28\text{ ft}$, da $\dfrac{3}{4} = \dfrac{h}{28}$, así que el asta mide $21\text{ ft}$ de altura, medida sin despegar los pies del suelo.