Funciones pares e impares (simetría)

Observe las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indique qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando su respuesta en función de su forma visual.

Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcule el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indique si la función presenta simetría par, impar o ninguna.

Considere la función con valor absoluto $f(x) = |x| - 3$. Calcule la expresión para $f(-x)$ y determine si la función presenta algún tipo de simetría.

Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcule la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?

Analice la función lineal $f(x) = 4x$. Calcule $f(-x)$ y determine algebraicamente si es una función par, impar o si no tiene simetría.

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 4x$, calcule los valores numéricos de $f(2)$ y $f(-2)$. ¿Qué sugieren estos resultados sobre la simetría de la función? Demuestre su hipótesis algebraicamente para cualquier valor de $x$.

Considere la función afín $f(x) = 2x + 1$. Compruebe algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).

Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación? Demústrelo o refútelo mediante un análisis algebraico.

Analice rigurosamente la simetría de la función racional $f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 - 4}$. Muestre todos los pasos algebraicos.

Se sabe que una función $h(x)$ tiene simetría par. Si la gráfica de esta función pasa por el punto $(4, 7)$, ¿qué otro punto pertenece obligatoriamente a su gráfica?

Una función $p(x)$ presenta simetría impar. Si sabemos que $p(2) = -5$, ¿cuál debe ser el valor de $p(-2)$? Escriba las coordenadas del punto correspondiente.

El logotipo de una empresa se ha diseñado utilizando una función matemática que es simétrica respecto al origen de coordenadas. Si el trazado del logotipo pasa por el punto $(-3, 6)$, ¿por qué otro punto pasará con total seguridad?

La trayectoria de un péndulo en función del tiempo $t$ se modeliza mediante una función $p(t)$. Sabiendo que $p(t)$ es una función impar y que a los $1.5$ segundos su posición es $p(1.5) = 4$ pulgadas, ¿cuál será su posición en $t = -1.5$ segundos? Explique el significado físico de este resultado.

El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0.05x^2 + 10$. Verifique algebraicamente si esta función presenta simetría par, impar o ninguna, e interprete el resultado geométricamente.

La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo matemático $T(t)$ que rige este experimento es una función par en todo su dominio real, ¿cuál será la temperatura en el instante $t = -3$? Justifique su respuesta.

Compruebe de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.

Determine si la función $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ es par, impar o ninguna de las dos. Muestre todos los pasos de su razonamiento.

La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudie analíticamente la simetría de $P(v)$. Si consideramos velocidades de viento negativas como viento soplando en dirección contraria, ¿qué significado físico tiene la simetría obtenida respecto a la potencia generada?

Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demústrelo utilizando la definición de función impar.

Para predecir una tendencia financiera, se crea un modelo multiplicando dos funciones más simples: $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Sabiendo que $f(x) = x^2$ (función par) y $g(x) = x$ (función impar), determine algebraicamente qué tipo de simetría tendrá la función resultante $h(x)$.

Suponga que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantee el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas simetrías y resuelva para encontrar cuál es la única función que cumple esta condición.

Encuentre el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifique su respuesta algebraicamente.

Determine el valor del parámetro $m$ para que la función polinómica $f(x) = 2x^3 + m x^2 - x$ presente simetría impar.

Calcule el valor del parámetro $b$ para que la función racional $f(x) = \frac{5x^2 + bx - 2}{x}$ sea una función impar.