Cuerdas, secantes y tangentes

Una antena de telefonía celular tiene un rango de cobertura perfectamente circular. Una autopista recta es tangente a este límite de cobertura en el punto $T$. Un automóvil se avería en la autopista en el punto $A$, a una distancia de $25\text{ mi}$ del centro de la antena. Si el radio de cobertura de la antena es de $15\text{ mi}$, calcula la distancia en línea recta desde el automóvil hasta el punto de tangencia $T$.

Desde un punto de control $P$ exterior a una rotonda circular, se trazan dos líneas tangentes a la rotonda en los puntos $A$ y $B$. Las distancias están dadas por las expresiones algebraicas $PA = 3x - 5$ pies y $PB = x + 7$ pies. Encuentra el valor de $x$ y la longitud exacta de las líneas de visión tangentes.

Un satélite de comunicaciones se encuentra en un punto $P$, a una distancia de $20\text{ mi}$ del centro $O$ de un cuerpo celeste esférico con un radio de $12\text{ mi}$. Se trazan dos líneas de visión tangentes desde $P$ hasta el cuerpo celeste en los puntos $A$ y $B$. Calcula el área total del cuadrilátero $PAOB$ formado por las dos tangentes y los dos radios correspondientes.

En la clase de dibujo técnico, un estudiante necesita trazar una línea tangente a una circunferencia de centro $O$ desde un punto exterior $P$. El estudiante comienza trazando el segmento $OP$ y encuentra su punto medio $M$. ¿Cuál debe ser el siguiente paso geométrico que el estudiante debe realizar para encontrar los puntos de tangencia exactos en la circunferencia?

Una pizzería de Nueva York sirve una pizza gigante de $20\text{ in}$ de diámetro. El chef realiza dos cortes rectos paralelos (cuerdas) para separar los bordes, y ambos cortes se realizan exactamente a $6\text{ in}$ del centro de la pizza. Calcula la longitud de cada uno de estos cortes.

Un globo meteorológico flota a una altitud de $3\text{ mi}$ directamente sobre un domo de radar perfectamente esférico que tiene un radio de $5\text{ mi}$. Si el globo emite una señal que es tangente a la superficie del domo, ¿cuál es la distancia en línea recta desde el globo hasta el punto de tangencia en el domo? Expresa tu respuesta en forma de raíz cuadrada simplificada.

Un carpintero está construyendo una mesa circular. Instala dos soportes de madera paralelos (cuerdas) que tienen exactamente la misma longitud. Si el primer soporte está ubicado a $14\text{ in}$ del centro de la mesa, ¿a qué distancia del centro se encuentra el segundo soporte? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de las cuerdas congruentes.

La rueda de una bicicleta está en contacto con el suelo plano. Si trazamos un radio desde el centro de la rueda hasta el punto exacto donde toca el pavimento, ¿qué ángulo se forma entre este radio y el suelo? Nombra el teorema geométrico que respalda esta afirmación.

En el diseño de una ventana circular, una barra de plomo (cuerda) de $30\text{ in}$ de longitud es perpendicular al diámetro principal de la ventana. Si el diámetro total de la ventana es de $34\text{ in}$, determina las longitudes de los dos segmentos en los que la cuerda divide al diámetro.

En un parque circular, dos senderos peatonales rectos se cruzan en un punto interior. El primer sendero se divide en dos segmentos de $12\text{ ft}$ y $5\text{ ft}$. El segundo sendero se divide en un segmento de $10\text{ ft}$ y un segmento de longitud desconocida $x$. Determina el valor de $x$.

Dos cables de fibra óptica se cruzan dentro de un conducto circular. El primer cable queda dividido en dos segmentos que miden $x$ pulgadas y $(x + 9)$ pulgadas. El segundo cable se divide en segmentos de $10\text{ in}$ y $3.6\text{ in}$. Plantea una ecuación cuadrática y resuelve para $x$, determinando así la longitud total del primer cable.

Desde un punto exterior $P$, se trazan una tangente $PT$ y una secante $PAB$ hacia una circunferencia. Se sabe que la longitud de la tangente es $PT = 12\text{ cm}$. Además, la cuerda interior $AB$ es $2\text{ cm}$ más larga que el segmento exterior $PA$. Plantea una ecuación para encontrar la longitud del segmento exterior $PA$ y la longitud total de la secante $PB$.

Dos tuberías de agua subterráneas se intersectan en una válvula de control situada fuera de un tanque de almacenamiento circular. La primera tubería atraviesa el tanque formando una secante con un segmento exterior de $6\text{ ft}$ y un segmento interior de $8\text{ ft}$. La segunda tubería tiene un segmento exterior de $7\text{ ft}$. ¿Cuál es la longitud del segmento interior de la segunda tubería?

Desde un faro en la costa, un observador traza dos líneas visuales hacia una bahía circular. La primera línea (secante) cruza la bahía; la distancia desde el faro hasta el primer borde es de $8\text{ mi}$, y la distancia a través del agua es de $20\text{ mi}$. La segunda línea visual tiene una distancia externa de $14\text{ mi}$ hasta tocar el agua. ¿Qué distancia recorre la segunda línea visual a través del agua de la bahía?

En una placa de metal circular, se realizan dos incisiones rectas y paralelas (cuerdas) que miden $10\text{ in}$ y $24\text{ in}$ de longitud. Las incisiones se encuentran en lados opuestos del centro de la placa, y la distancia perpendicular total entre ellas es de $17\text{ in}$. Utilizando un sistema de ecuaciones y el Teorema de Pitágoras, calcula el radio de la placa circular.

Durante un espectáculo de luces en un estadio circular, un láser se dispara desde un proyector ubicado en el exterior. El rayo láser toca tangencialmente el borde del estadio a una distancia de $20\text{ yd}$ del proyector. Otro rayo, disparado desde el mismo proyector, atraviesa el estadio (formando una secante); la parte externa de este segundo rayo mide $10\text{ yd}$. Calcula la longitud total de esta secante desde el proyector hasta el punto más lejano en el borde del estadio.

Un dron de vigilancia vuela fuera de una zona de exclusión aérea circular. El dron envía una señal láser que es tangente a la zona, midiendo una distancia de $24\text{ ft}$ hasta el punto de tangencia. Una segunda señal atraviesa el centro de la zona de exclusión, actuando como una secante que pasa por el diámetro. Si la distancia desde el dron hasta el borde más cercano de la zona (la parte externa de la secante) es de $12\text{ ft}$, ¿cuál es el diámetro de la zona de exclusión?

Desde una torre de observación en el punto $P$, se traza una línea visual tangente a una reserva natural circular; esta tangente mide $15\text{ mi}$. Desde el mismo punto $P$, se traza una secante $PAB$ donde la parte externa $PA$ mide $9\text{ mi}$. Además, una tercera línea visual desde $P$ pasa exactamente por el centro de la reserva, formando la secante $PCD$ (donde $CD$ es un diámetro). Si la distancia desde $P$ hasta el centro de la reserva es de $17\text{ mi}$, halla la longitud de la cuerda $AB$ y el radio de la reserva natural.

En un proyecto de paisajismo, un sendero pavimentado recto es tangente a una fuente circular en un parque. La longitud de este sendero tangente, desde una banca exterior hasta el borde de la fuente, es de $15\text{ yd}$. Otro sendero de grava comienza en la misma banca y atraviesa la fuente (secante). Si la parte del sendero de grava que está fuera de la fuente mide $9\text{ yd}$, ¿cuál es la longitud del sendero de grava que pasa sobre el agua de la fuente?

En el mecanismo de un reloj de torre, dos engranajes circulares tienen radios de $5\text{ in}$ y $3\text{ in}$. La distancia entre sus centros es de $17\text{ in}$. Calcula la longitud de la tangente interior común (la línea que cruza el espacio entre los centros y es tangente a ambos engranajes en lados opuestos).

Dos cuerdas se intersectan en el punto $P$ dentro de una circunferencia. La primera cuerda tiene una longitud total de $20\text{ cm}$ y el punto $P$ la divide en una proporción de $1:4$. La segunda cuerda pasa por el mismo punto $P$. Determina cuál es la longitud mínima posible para esta segunda cuerda y explica geométricamente bajo qué condición se alcanza este mínimo.