Expresiones racionales
Marcus puede lavar los carros de su familia él solo en $x$ horas. Su hermana Aaliyah necesita $x + 2$ horas. ¿Qué parte del trabajo terminan en una hora si trabajan juntos? La respuesta es $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+2}$, una suma con una variable en el denominador. Las expresiones como esta se llaman expresiones racionales. Trabajas con ellas igual que con las fracciones numéricas, solo que con polinomios en el numerador y en el denominador.
¿Qué es una expresión racional?
Para evaluar una expresión racional, sustituye la variable por el número y calcula por separado el numerador y el denominador.
Valores excluidos
Una fracción no está definida cuando su denominador es $0$. Por eso, en $\dfrac{2x-1}{x^2-4}$ debe cumplirse $x^2 - 4 \neq 0$. Factoriza: $(x+2)(x-2) = 0$ cuando $x = -2$ o $x = 2$. Esos son los valores excluidos.
Observa la gráfica de $\dfrac{x-3}{x+1}$ cerca de $x = -1$: la expresión no está definida allí, así que la gráfica tiene una interrupción.
Calcule el valor numérico de la fracción algebraica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ para $x = -2$.
Calcule el valor numérico de la fracción algebraica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ para $x = -2$.
Simplificar con un factor común
Para simplificar una expresión racional, factoriza el numerador y el denominador y cancela los factores que aparecen en ambos. Es la misma idea que $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \dfrac{2}{3}$. La expresión está en su forma más simple cuando no queda ningún factor común.
La primera herramienta es el máximo común divisor (MCD): sácalo como factor de todos los términos, arriba y abajo.
Simplifique la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común en el numerador y en el denominador: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$
Simplifique la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común en el numerador y en el denominador: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$
El costo total en dólares de fabricar $x$ bicicletas viene dado por el polinomio $C(x) = 3x^2 + 150x$. Los ingresos totales en dólares por vender esas $x$ bicicletas se…
El costo total en dólares de fabricar $x$ bicicletas viene dado por el polinomio $C(x) = 3x^2 + 150x$. Los ingresos totales en dólares por vender esas $x$ bicicletas se expresan mediante el polinomio $I(x) = 5x^2 + 200x$. Escriba la fracción algebraica irreducible que representa la razón entre los ingresos y los costos.
Simplificar factorizando polinomios
Cuando no hay un factor común que sacar, usa todas tus herramientas de factorización.
| Patrón | Forma factorizada |
|---|---|
| Diferencia de cuadrados | $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ |
| Trinomio cuadrado perfecto | $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ |
| Trinomio $x^2 + bx + c$ | $(x + p)(x + q)$ con $pq = c$ y $p + q = b$ |
| Cuatro términos | factorizar por agrupación |
Simplifique la siguiente fracción algebraica aplicando las identidades notables: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$
Simplifique la siguiente fracción algebraica aplicando las identidades notables: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$
Simplifique la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$
Simplifique la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$
Expresiones racionales equivalentes
Dos fracciones $\dfrac{A}{B}$ y $\dfrac{C}{D}$ son equivalentes cuando $A \cdot D = B \cdot C$. Esta es la prueba de la multiplicación cruzada. También funciona con polinomios.
La misma idea sirve para hallar un polinomio que falta. Si $\dfrac{x^2-4}{P(x)} = \dfrac{x-2}{x^2+3x}$, entonces $P(x)$ debe ser el denominador multiplicado por lo que convirtió $x - 2$ en $x^2 - 4$.
Compruebe, realizando los productos cruzados, si las fracciones algebraicas $\frac{x-3}{x+1}$ y $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ son equivalentes.
Compruebe, realizando los productos cruzados, si las fracciones algebraicas $\frac{x-3}{x+1}$ y $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ son equivalentes.
Halle el polinomio $P(x)$ que hace que la siguiente igualdad entre fracciones algebraicas sea cierta: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$
Halle el polinomio $P(x)$ que hace que la siguiente igualdad entre fracciones algebraicas sea cierta: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$
Multiplicar y dividir
Multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Para dividir, multiplica por el recíproco de la segunda fracción. Factoriza primero para poder cancelar sobre la marcha.
Multiplique las siguientes fracciones algebraicas y dé el resultado lo más simplificado posible: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$
Multiplique las siguientes fracciones algebraicas y dé el resultado lo más simplificado posible: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$
Efectúe la división de fracciones algebraicas y simplifique: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$
Efectúe la división de fracciones algebraicas y simplifique: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$
Sumar y restar con el mismo denominador
Cuando los denominadores coinciden, conserva el denominador y suma o resta los numeradores. Después simplifica.
Realice la siguiente suma de fracciones algebraicas y simplifique el resultado: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$
Realice la siguiente suma de fracciones algebraicas y simplifique el resultado: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$
Efectúe la siguiente operación y simplifique el resultado: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$
Efectúe la siguiente operación y simplifique el resultado: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$
Sumar y restar con denominadores diferentes
Necesitas un mínimo común denominador (MCD). Factoriza cada denominador y toma cada factor el mayor número de veces que aparece en cualquiera de ellos.
Los pasos son: factoriza los denominadores, halla el mínimo común denominador, reescribe cada fracción con él, combina los numeradores y simplifica.
Realice las siguientes operaciones reduciendo a común denominador y simplifique el resultado: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$
Realice las siguientes operaciones reduciendo a común denominador y simplifique el resultado: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$
Efectúe la siguiente resta de fracciones algebraicas y simplifique al máximo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$
Efectúe la siguiente resta de fracciones algebraicas y simplifique al máximo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$
Operaciones combinadas y fracciones complejas
Sigue el orden de las operaciones: primero los paréntesis, luego la multiplicación y la división de izquierda a derecha.
Una fracción compleja tiene fracciones en el numerador, en el denominador o en ambos. Hay dos maneras de simplificarla: resolver primero las fracciones pequeñas, o multiplicar el numerador y el denominador por el mínimo común denominador de todas las fracciones pequeñas.
Realice la siguiente operación combinada con fracciones algebraicas y simplifique el resultado: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$
Realice la siguiente operación combinada con fracciones algebraicas y simplifique el resultado: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$
Simplifique la siguiente expresión algebraica en forma de fracción compleja: $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$
Simplifique la siguiente expresión algebraica en forma de fracción compleja: $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$
Efectúe y simplifique todo lo posible la siguiente expresión: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$
Efectúe y simplifique todo lo posible la siguiente expresión: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$
Casos especiales: hallar un parámetro y sumas de cubos
Cómo lograr que una fracción se pueda simplificar
Si $\dfrac{N(x)}{x - 3}$ se puede simplificar, entonces $x - 3$ es un factor de $N(x)$. Un producto que tiene el factor $(x-3)$ vale $0$ cuando $x = 3$. Por eso, sustituye $x = 3$ en el numerador e iguálalo a $0$.
Sumas y diferencias de cubos
Dos patrones de factorización más ayudan en muchos problemas:
Determine el valor del parámetro $k$ para que la fracción algebraica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ se pueda simplificar (es decir, que el numerador sea divisible entre el…
Determine el valor del parámetro $k$ para que la fracción algebraica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ se pueda simplificar (es decir, que el numerador sea divisible entre el denominador). Una vez hallado $k$, escriba la expresión simplificada.
Demuestre, operando y simplificando las fracciones algebraicas, que la siguiente expresión es igual a $2ab$: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$
Demuestre, operando y simplificando las fracciones algebraicas, que la siguiente expresión es igual a $2ab$: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$
Modelar razones y trabajo
Dos fórmulas convierten los problemas verbales en expresiones racionales:
-
Trabajo: si un trabajo toma $t$ horas, terminas $\dfrac{1}{t}$ de él por hora. Las razones se suman cuando se trabaja en conjunto.
-
Distancia: $\text{tiempo} = \dfrac{\text{distancia}}{\text{velocidad}}$.
Volvamos con Marcus y Aaliyah. En una hora Marcus lava $\dfrac{1}{x}$ del trabajo y Aaliyah lava $\dfrac{1}{x+2}$. El mínimo común denominador es $x(x+2)$:
$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{x+2}{x(x+2)} + \dfrac{x}{x(x+2)} = \dfrac{2x+2}{x(x+2)}$$Por ejemplo, si $x = 2$ (Marcus tarda 2 horas y Aaliyah 4), la fórmula da $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ del trabajo por hora. Comprobación: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$.
Una llave de agua caliente tarda $x$ horas en llenar una tina, mientras que la llave de agua fría tarda $x+3$ horas. Escriba una fracción algebraica simplificada que…
Una llave de agua caliente tarda $x$ horas en llenar una tina, mientras que la llave de agua fría tarda $x+3$ horas. Escriba una fracción algebraica simplificada que represente la parte de la tina que se llena en una hora si se abren ambas llaves a la vez.
Un tren recorre una distancia de $120$ millas a una velocidad constante de $v$ mph. En el trayecto de regreso, debido a la lluvia, su velocidad disminuye en $10$ mph.…
Un tren recorre una distancia de $120$ millas a una velocidad constante de $v$ mph. En el trayecto de regreso, debido a la lluvia, su velocidad disminuye en $10$ mph. Escriba la fracción algebraica que representa el tiempo total del viaje de ida y vuelta en función de $v$, reduciendo a una sola fracción.
Un atleta corre en una pista circular. Durante la primera mitad del recorrido corre a una velocidad de $v$ pies/s, y durante la segunda mitad corre a una velocidad de…
Un atleta corre en una pista circular. Durante la primera mitad del recorrido corre a una velocidad de $v$ pies/s, y durante la segunda mitad corre a una velocidad de $v-2$ pies/s. Sabiendo que la velocidad media de todo el recorrido se calcula como la distancia total dividida entre el tiempo total, demuestre mediante fracciones algebraicas que la velocidad media es $\frac{2v(v-2)}{2v-2}$ pies/s.
Modelar con área, volumen y costo
Escribe cada cantidad como un polinomio, forma una fracción con el par adecuado y simplifica.
Para una caja abierta, corta cuadrados en las esquinas de una lámina y dobla los lados hacia arriba.
Los problemas de costo funcionan igual: precio por unidad = costo total ÷ cantidad total.
La base de un panel solar rectangular mide $x+5$ pies y su altura mide $x-5$ pies. El lado de un panel solar cuadrado mide $x$ pies. Escriba la fracción algebraica que…
La base de un panel solar rectangular mide $x+5$ pies y su altura mide $x-5$ pies. El lado de un panel solar cuadrado mide $x$ pies. Escriba la fracción algebraica que representa el cociente entre el área del panel rectangular y el área del panel cuadrado. Calcule el valor numérico de esta fracción si $x = 10$ pies.
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón de dimensiones $x+6$ y $x+4$ pulgadas, recortando cuadrados de $2$ pulgadas de lado en…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón de dimensiones $x+6$ y $x+4$ pulgadas, recortando cuadrados de $2$ pulgadas de lado en las cuatro esquinas y doblando las solapas. Escriba la fracción algebraica irreducible que representa la razón entre el volumen de la caja y el área de su base.
En un laboratorio de química se mezclan $x$ galones de una solución A, cuyo costo es de $\$\frac{20}{x}$ por galón, con $x+4…
En un laboratorio de química se mezclan $x$ galones de una solución A, cuyo costo es de $\$\frac{20}{x}$ por galón, con $x+4$ galones de una solución B, cuyo costo es de $\$\frac{30}{x+4}$ por galón. Escriba la fracción algebraica que representa el precio por galón de la solución resultante, simplificando la expresión al máximo.