Ángulos inscritos y ángulos centrales
Imagina una sala circular en un museo con un cuadro famoso en la pared. Sofia está en la puerta de la izquierda, Marcus está en un punto de la pared del lado opuesto, y los dos miran el cuadro. ¿Quién tiene el ángulo de visión más grande? ¿Y cuál sería el ángulo si el museo pusiera una banca justo en el centro de la sala? Al final de esta página lo sabrás.
Ángulos centrales, arcos y ángulos inscritos
Ángulos centrales y arcos
Un arco menor que $180^\circ$ es un arco menor y se nombra con dos letras, como $\overset{\frown}{AB}$. Un arco mayor que $180^\circ$ es un arco mayor y necesita tres letras, como $\overset{\frown}{ACB}$, para saber por dónde se recorre. Una semicircunferencia mide exactamente $180^\circ$. El círculo completo mide $360^\circ$, así que un arco menor y su arco mayor correspondiente siempre suman $360^\circ$.
Los arcos adyacentes se suman, igual que los ángulos: si $B$ está en el arco $AC$, entonces $m\overset{\frown}{AC} = m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{BC}$.
Ángulos inscritos
¿Por qué la mitad? Cuando un lado del ángulo pasa por el centro $O$, el triángulo $OAB$ es isósceles porque $OA$ y $OB$ son radios. El ángulo central es un ángulo exterior de ese triángulo, así que es igual a la suma de los dos ángulos de la base, que son iguales; es decir, el doble del ángulo inscrito. Los otros casos se obtienen sumando o restando arcos.
Una nueva rueda de la fortuna en el muelle de Santa Mónica tiene cabinas de pasajeros espaciadas uniformemente. Si el arco entre la cabina A y la cabina B mide…
Una nueva rueda de la fortuna en el muelle de Santa Mónica tiene cabinas de pasajeros espaciadas uniformemente. Si el arco entre la cabina A y la cabina B mide $72^\circ$ desde el centro de la rueda, determina la medida del ángulo inscrito que se forma si un observador en la cabina C (ubicada en el extremo opuesto de la rueda) mira hacia las cabinas A y B.
Un automóvil corre por una pista circular de pruebas que tiene un radio de $2.5$ millas. Un espectador se encuentra de pie en el borde de la pista. Desde la perspectiva…
Un automóvil corre por una pista circular de pruebas que tiene un radio de $2.5$ millas. Un espectador se encuentra de pie en el borde de la pista. Desde la perspectiva del espectador, el automóvil se desplaza a lo largo de la pista creando un ángulo inscrito de $42^\circ$. Calcula la distancia real en millas que recorrió el automóvil a lo largo del arco.
El mismo arco y la semicircunferencia
Mira de nuevo la figura anterior. Los ángulos $P$ y $Q$ miden $40^\circ$ cada uno. No es casualidad: cada uno es la mitad del mismo arco de $80^\circ$.
Eso responde la pregunta del museo. Sofia y Marcus ven el cuadro con la mitad de su arco, así que, mientras estén del mismo lado del cuadro, sus ángulos de visión son iguales. La persona sentada en la banca del centro ve un ángulo el doble de grande.
La razón es sencilla: un diámetro determina un arco de $180^\circ$, y la mitad de $180^\circ$ es $90^\circ$.
Dos cámaras de seguridad están montadas en las paredes de una habitación circular y apuntan hacia la misma puerta doble. Las lentes de ambas cámaras abarcan exactamente…
Dos cámaras de seguridad están montadas en las paredes de una habitación circular y apuntan hacia la misma puerta doble. Las lentes de ambas cámaras abarcan exactamente el mismo arco que representa el ancho de la puerta. Si la primera cámara registra un ángulo de visión de $32^\circ$ hacia los extremos de la puerta, ¿cuál es el ángulo de visión de la segunda cámara?
Un arquitecto está diseñando un escenario teatral en forma de semicírculo. En el borde curvo del escenario se colocará un foco de luz que debe iluminar exactamente los…
Un arquitecto está diseñando un escenario teatral en forma de semicírculo. En el borde curvo del escenario se colocará un foco de luz que debe iluminar exactamente los dos extremos del diámetro del escenario. Calcula el ángulo de apertura que debe tener el foco de luz para cubrir exactamente el diámetro.
Cuadriláteros inscritos
Un cuadrilátero cuyos cuatro vértices están sobre un círculo es inscrito (o cíclico). Mira la figura: el ángulo $A$ interseca el arco $BCD$, y el ángulo opuesto $C$ interseca el arco $DAB$. Esos dos arcos juntos forman el círculo completo.
¿Por qué? $m\angle A + m\angle C = \tfrac12 m\overset{\frown}{BCD} + \tfrac12 m\overset{\frown}{DAB} = \tfrac12 (360^\circ) = 180^\circ$. El recíproco también es cierto: si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son suplementarios, el cuadrilátero se puede inscribir en un círculo.
En un parque de la ciudad de Nueva York, cuatro senderos rectos forman un cuadrilátero inscrito en una plaza circular. Si el ángulo en la esquina noroeste del…
En un parque de la ciudad de Nueva York, cuatro senderos rectos forman un cuadrilátero inscrito en una plaza circular. Si el ángulo en la esquina noroeste del cuadrilátero mide $105^\circ$, calcula la medida del ángulo en la esquina sureste (la esquina opuesta).
El brazo del limpiaparabrisas de un autobús mide $28$ pulgadas de largo, pero la escobilla de goma que realmente limpia el cristal solo ocupa las $20$ pulgadas…
El brazo del limpiaparabrisas de un autobús mide $28$ pulgadas de largo, pero la escobilla de goma que realmente limpia el cristal solo ocupa las $20$ pulgadas exteriores del brazo (es decir, el extremo interior de la escobilla está a $8$ pulgadas del centro de rotación). Si el limpiaparabrisas gira a través de un ángulo de $135^\circ$, calcula el área exacta del parabrisas que es limpiada por la escobilla.
En un círculo con centro $O$, se traza un diámetro $AB$. Un punto $C$ se ubica en la circunferencia de manera que la longitud del arco $AC$ es el doble de la longitud…
En un círculo con centro $O$, se traza un diámetro $AB$. Un punto $C$ se ubica en la circunferencia de manera que la longitud del arco $AC$ es el doble de la longitud del arco $CB$. Se traza una cuerda $AD$ de modo que el ángulo inscrito $\angle CAD$ mide $15^\circ$. Calcula la medida del ángulo central $\angle DOB$.
Ángulos formados por cuerdas, secantes y tangentes
Una secante es una recta que corta un círculo en dos puntos. Una tangente toca el círculo en exactamente un punto y es perpendicular al radio trazado hasta ese punto. El vértice de un ángulo puede estar sobre el círculo, dentro de él o fuera de él, y cada ubicación tiene su propia regla.
| Dónde está el vértice | Medida del ángulo |
|---|---|
| Sobre el círculo (inscrito, o tangente y cuerda) | $\tfrac12 \,(\text{arco intersecado})$ |
| Dentro del círculo (dos cuerdas se cruzan) | $\tfrac12\,(\text{arco}_1 + \text{arco}_2)$ |
| Fuera del círculo (dos secantes, secante y tangente, o dos tangentes) | $\tfrac12\,(\text{arco lejano} - \text{arco cercano})$ |
Aquí el ángulo en $E$ interseca los arcos $AC = 80^\circ$ y $BD = 90^\circ$ (su ángulo opuesto por el vértice, que también mira a $BD$). Entonces $x = \tfrac12(80 + 90) = 85^\circ$.
¿Por qué se suma dentro y se resta fuera? Traza la cuerda $AD$. Entonces $\angle AEC$ es un ángulo exterior del triángulo $AED$, así que es igual a la suma de los dos ángulos inscritos $\angle DAB + \angle ADC = \tfrac12 \overset{\frown}{BD} + \tfrac12 \overset{\frown}{AC}$. Para un vértice exterior, el ángulo inscrito grande es un ángulo exterior de un triángulo que contiene al ángulo de afuera, así que el ángulo de afuera es la diferencia de dos ángulos inscritos.
En un museo de ciencias, un péndulo de $40$ pulgadas de longitud oscila de un lado a otro. En un movimiento, la punta del péndulo recorre un arco de $12$ pulgadas de…
En un museo de ciencias, un péndulo de $40$ pulgadas de longitud oscila de un lado a otro. En un movimiento, la punta del péndulo recorre un arco de $12$ pulgadas de longitud. Determina el ángulo central de la oscilación tanto en radianes como en grados. Redondea el ángulo en grados a un decimal.
Un faro de navegación en la costa de Maine gira constantemente. Su haz de luz ilumina la superficie del océano formando un sector circular con un alcance máximo (radio)…
Un faro de navegación en la costa de Maine gira constantemente. Su haz de luz ilumina la superficie del océano formando un sector circular con un alcance máximo (radio) de $6$ millas. Si el faro gira a una velocidad angular constante de $\frac{\pi}{4}$ radianes por minuto, ¿cuántos kilómetros cuadrados de océano son barridos por el haz de luz en exactamente $45$ segundos? (Usa la conversión $1 \text{ milla} = 1.609 \text{ km}$ después de calcular el área en millas cuadradas).
Longitud de arco y área de un sector
Una rebanada de pizza es una parte de un círculo. Una rebanada con un ángulo central de $45^\circ$ es $\tfrac{45}{360} = \tfrac18$ de la pizza completa. Su orilla es $\tfrac18$ de la circunferencia y la rebanada es $\tfrac18$ del área. Esa idea da las dos fórmulas.
Distancia sobre la Tierra
En un globo terráqueo, una línea de longitud es un círculo máximo con su centro en el centro de la Tierra. La latitud de una ciudad es el ángulo central desde el ecuador hasta esa ciudad. Así que, si dos ciudades tienen la misma longitud, el ángulo central entre ellas es la diferencia de sus latitudes. El radio de la Tierra es de unas $3{,}959$ millas.
Una pizzería en Chicago vende porciones individuales. Cada porción es un sector circular cortado de una pizza que tiene un radio de $8$ pulgadas. Si el ángulo central de…
Una pizzería en Chicago vende porciones individuales. Cada porción es un sector circular cortado de una pizza que tiene un radio de $8$ pulgadas. Si el ángulo central de la porción es de $45^\circ$, ¿cuál es la longitud del borde de la corteza (la longitud del arco) de esa porción? Expresa tu respuesta en términos de $\pi$.
Un aspersor automático en un jardín residencial riega el césped girando y cubriendo un sector circular. El aspersor alcanza una distancia de $15$ pies y gira un ángulo…
Un aspersor automático en un jardín residencial riega el césped girando y cubriendo un sector circular. El aspersor alcanza una distancia de $15$ pies y gira un ángulo de $\frac{2\pi}{3}$ radianes. Calcula el área total del césped que recibe agua, expresando el resultado en términos de $\pi$.
Un campo de cultivo en Iowa tiene forma circular con un radio de $0.8$ millas. Un dron de inspección vuela exactamente sobre el perímetro del campo. Durante su vuelo, la…
Un campo de cultivo en Iowa tiene forma circular con un radio de $0.8$ millas. Un dron de inspección vuela exactamente sobre el perímetro del campo. Durante su vuelo, la cámara del dron barre un área de terreno que corresponde a un sector circular de $0.64\pi$ millas cuadradas. Calcula la distancia física en millas que el dron recorrió a lo largo del arco, y determina el ángulo central correspondiente en grados.
Radianes
Los grados son una elección arbitraria: el $360$ viene de los astrónomos antiguos. Una unidad más natural se construye a partir del propio círculo.
La circunferencia mide $2\pi r$, así que caben exactamente $2\pi$ arcos de la longitud del radio alrededor de un círculo. Eso da la conversión clave.
| Grados | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $120^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ | $360^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radianes | $\tfrac{\pi}{6}$ | $\tfrac{\pi}{4}$ | $\tfrac{\pi}{3}$ | $\tfrac{\pi}{2}$ | $\tfrac{2\pi}{3}$ | $\pi$ | $\tfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
¿Por qué? Por definición, un radián determina un arco de longitud $r$, así que $\theta$ radianes determinan $\theta$ veces eso: $s = r\theta$. Para el área, la fracción del círculo es $\tfrac{\theta}{2\pi}$, así que $A = \tfrac{\theta}{2\pi}\cdot \pi r^2 = \tfrac12 r^2\theta$.
Un reloj de pared decorativo tiene un radio de $10$ pulgadas. Calcula la longitud del arco a lo largo del borde del reloj que se extiende desde la marca de las 12 en…
Un reloj de pared decorativo tiene un radio de $10$ pulgadas. Calcula la longitud del arco a lo largo del borde del reloj que se extiende desde la marca de las 12 en punto hasta la marca de las 4 en punto. Expresa el resultado en pulgadas, redondeado a un decimal.
Una piscina tiene forma de círculo con un diámetro dibujado en el fondo que divide la piscina en dos semicírculos. Un nadador se encuentra en el borde de la piscina y…
Una piscina tiene forma de círculo con un diámetro dibujado en el fondo que divide la piscina en dos semicírculos. Un nadador se encuentra en el borde de la piscina y mira hacia los dos extremos del diámetro, formando un triángulo inscrito. Si el ángulo entre el diámetro y la línea de visión hacia uno de los extremos es de $38^\circ$, calcula la medida del ángulo entre el diámetro y la línea de visión hacia el otro extremo.
Un arquitecto paisajista está diseñando un patio en forma de sector circular. El cliente tiene un presupuesto estricto para los materiales del borde, lo que limita el…
Un arquitecto paisajista está diseñando un patio en forma de sector circular. El cliente tiene un presupuesto estricto para los materiales del borde, lo que limita el perímetro total del sector (los dos radios más el arco curvo) a exactamente $60$ pies. Si el arquitecto quiere que el patio tenga un área de $200$ pies cuadrados, plantea y resuelve una ecuación para encontrar el radio necesario y el ángulo central en radianes.
Segmentos circulares y regiones compuestas
La mayoría de los problemas reales piden un área que es una combinación de piezas: el vidrio de una ventana, un jardín con un borde curvo, un logotipo. La estrategia es siempre la misma: haz un dibujo, halla el radio y los ángulos que necesitas, y luego suma o resta áreas sencillas.
Un segmento circular es la región entre una cuerda y su arco. Es un sector menos un triángulo.
Las tangentes también aparecen en los problemas compuestos. Recuerda que una tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia, lo que te da un triángulo rectángulo.
En una pizzería, puedes comprar una rebanada de una pizza grande de $16$ pulgadas de diámetro cortada en $8$ porciones iguales, o una rebanada de una pizza mediana de…
En una pizzería, puedes comprar una rebanada de una pizza grande de $16$ pulgadas de diámetro cortada en $8$ porciones iguales, o una rebanada de una pizza mediana de $12$ pulgadas de diámetro cortada en $6$ porciones iguales. Calcula el área de cada rebanada usando radianes para los ángulos centrales y determina cuál rebanada te da más cantidad de pizza.
En el diseño de una mesa de lujo, se cortará un segmento circular del borde de un tablero redondo grande de caoba que tiene un radio de $24$ pulgadas. El corte se hará a…
En el diseño de una mesa de lujo, se cortará un segmento circular del borde de un tablero redondo grande de caoba que tiene un radio de $24$ pulgadas. El corte se hará a lo largo de una cuerda que subtiende un ángulo central de $\frac{\pi}{3}$ radianes. Calcula el área exacta de la madera que se desperdiciará (el área del segmento circular).
Dos engranajes circulares están conectados por una cadena, pero para este problema nos enfocaremos solo en el engranaje mayor, que tiene un radio de $14$ pulgadas. La…
Dos engranajes circulares están conectados por una cadena, pero para este problema nos enfocaremos solo en el engranaje mayor, que tiene un radio de $14$ pulgadas. La cadena envuelve el engranaje mayor a lo largo de un arco mayor que subtiende un ángulo central de $240^\circ$. Si la cadena se reemplaza por una nueva que envuelve el mismo engranaje pero formando un ángulo inscrito de $135^\circ$ desde un punto en el borde no tocado por la cadena, ¿cuál es la diferencia en longitud entre el contacto de la antigua cadena y la nueva cadena sobre el engranaje?