Tu familia acaba de comprar una televisión de "55 pulgadas". Nadie midió 55 pulgadas a lo largo de la base, porque el 55 es la longitud de la diagonal de la pantalla. Si la pantalla mide 48 pulgadas de ancho y 27 de alto, ¿es honesta la etiqueta? En esa pantalla hay un triángulo rectángulo escondido, y el teorema de Pitágoras lo encontrará.
Ya conoces el teorema de Matemáticas de 7.º y 8.º grado. En Geometría lo usas con mucha más flexibilidad: para la apotema de un hexágono, la diagonal de una caja, o una ecuación cuando hay varias longitudes desconocidas a la vez.
El teorema de Pitágoras
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y siempre es el lado más largo. Los otros dos lados son los catetos.
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Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la…
Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la fachada. Calcula la longitud total de la escalera.
Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una…
Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una altura de $12\text{ m}$. Determina a qué distancia de la base del mástil está anclado el cable en el suelo.
Una antena vertical está sujeta por dos cables anclados en el suelo a lados opuestos de la base. Un cable mide $15\text{ m}$ y está anclado a $9\text{ m}$ de la base. El…
Una antena vertical está sujeta por dos cables anclados en el suelo a lados opuestos de la base. Un cable mide $15\text{ m}$ y está anclado a $9\text{ m}$ de la base. El otro cable está anclado a $16\text{ m}$ de la base. Calcule la altura de la antena y la longitud del segundo cable.
Una diagonal corta un rectángulo en dos triángulos rectángulos. Los lados del rectángulo son los catetos y la diagonal es la hipotenusa.
Volvamos a la TV: las "55 pulgadas" son la diagonal de la pantalla, y el teorema de Pitágoras lo confirma.
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Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud de su diagonal para saber el tamaño…
Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud de su diagonal para saber el tamaño real de la pantalla.
Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?
Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?
Las diagonales de un rombo son bisectrices perpendiculares una de la otra (se cortan en su punto medio formando ángulos rectos). Por eso cada lado del rombo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la mitad de cada diagonal.
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Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de…
Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de la cometa (el lado del rombo).
El perímetro de una piscina con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcule la longitud de la otra diagonal y el área de la…
El perímetro de una piscina con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcule la longitud de la otra diagonal y el área de la superficie de la piscina.
Cuando una figura no tiene ángulo recto, créalo. Traza una altura y el teorema de Pitágoras tendrá un triángulo con el que trabajar.
En un triángulo isósceles, la altura sobre la base también biseca la base. Por eso los catetos del triángulo rectángulo son $h$ y la mitad de la base.
Un trapecio rectángulo funciona igual. Traza una perpendicular desde el extremo de la base menor. El lado inclinado es la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos son la altura y la diferencia de las bases.
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Una señal de tránsito tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de…
Una señal de tránsito tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de la señal.
El corte transversal de un canal de riego tiene forma de trapecio isósceles. El ancho en la parte superior es de $8\text{ m}$, el ancho en el fondo es de $2\text{ m}$ y…
El corte transversal de un canal de riego tiene forma de trapecio isósceles. El ancho en la parte superior es de $8\text{ m}$, el ancho en el fondo es de $2\text{ m}$ y la profundidad del canal es de $4\text{ m}$. Calcula la longitud de los lados inclinados $x$ del canal.
Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide…
Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide $25\text{ m}$. Calcula el perímetro total de la parcela.
La apotema de un polígono regular es el segmento que va del centro, perpendicular a un lado. El radio va del centro a un vértice. Junto con la mitad de un lado, forman un triángulo rectángulo.
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Un mosaico decorativo está formado por baldosas con forma de hexágono regular de $10\text{ cm}$ de lado. Calcula la apotema de una de estas baldosas.
Un mosaico decorativo está formado por baldosas con forma de hexágono regular de $10\text{ cm}$ de lado. Calcula la apotema de una de estas baldosas.
Un radio perpendicular a una cuerda la biseca. Así, el radio, la mitad de la cuerda y la distancia del centro a la cuerda forman un triángulo rectángulo, con el radio como hipotenusa.
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Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si…
Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si el nivel del agua está por debajo del centro de la tubería, ¿cuál es la profundidad máxima del agua $h$?
En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro…
En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro de $40\text{ cm}$. Si ambos cortes se realizan a lados opuestos del centro del círculo, calcule la distancia perpendicular que separa a los dos cortes.
Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide…
Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide $18\text{ cm}$. Calcule el radio de la circunferencia en la que está inscrito el triángulo.
Traza la altura desde el ángulo recto hasta la hipotenusa. Divide el triángulo en dos triángulos rectángulos más pequeños. Ambos son semejantes al triángulo original (AA) y entre sí. Esa semejanza da un atajo parecido al teorema de Pitágoras.
La media geométrica de dos números positivos $x$ y $y$ es $\sqrt{xy}$.
Muchos problemas llaman a este el teorema de la altura y al siguiente el teorema del cateto.
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En el diseño de la cubierta de una nave industrial, la estructura principal forma un triángulo rectángulo. La altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos…
En el diseño de la cubierta de una nave industrial, la estructura principal forma un triángulo rectángulo. La altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos de $4\text{ m}$ y $9\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura.
El tejado de una casa tiene forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del tejado respecto a la base horizontal es de $6\text{ m}$ y la…
El tejado de una casa tiene forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del tejado respecto a la base horizontal es de $6\text{ m}$ y la proyección de una de las vertientes (cateto) sobre la base es de $8\text{ m}$. Calcule la longitud de la otra proyección y la medida de los dos lados inclinados del tejado.
Cada cateto también tiene una relación de triángulos semejantes con la hipotenusa. Mira la figura de la sección anterior. El triángulo pequeño con cateto $a$ y segmento $p$ comparte un ángulo con el triángulo grande, así que son semejantes.
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En un parque, un jardín de flores tiene forma de triángulo rectángulo. La hipotenusa mide $25\text{ m}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide…
En un parque, un jardín de flores tiene forma de triángulo rectángulo. La hipotenusa mide $25\text{ m}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide $9\text{ m}$. Utiliza el teorema del cateto para calcular la longitud de ese cateto.
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $12\text{ cm}$ y uno de los catetos mide $15\text{ cm}$. Utilizando los teoremas del cateto y de la…
En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $12\text{ cm}$ y uno de los catetos mide $15\text{ cm}$. Utilizando los teoremas del cateto y de la altura, o el teorema de Pitágoras iterativamente, calcule la longitud de la hipotenusa $a$ y del otro cateto $c$.
En tres dimensiones, aplica el teorema dos veces seguidas. Primero usa un triángulo rectángulo plano en una cara para obtener una diagonal. Luego combina esa diagonal con una arista perpendicular.
El segmento morado discontinuo es la diagonal de la base. El segmento azul es la diagonal del espacio.
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Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo,…
Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo, $60\text{ cm}$ de ancho y $50\text{ cm}$ de alto. Calcule la longitud máxima que puede tener la barra para que quepa completamente cerrada dentro de la caja.
La Gran Pirámide de Guiza tiene una base cuadrada. Supongamos que el lado de su base mide $230\text{ m}$ y que la longitud de una de sus aristas laterales (desde un…
La Gran Pirámide de Guiza tiene una base cuadrada. Supongamos que el lado de su base mide $230\text{ m}$ y que la longitud de una de sus aristas laterales (desde un vértice de la base hasta la cúspide) es de $219\text{ m}$. Calcule la altura $h$ de la pirámide.
Una habitación tiene forma de ortoedro de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una esquina del…
Una habitación tiene forma de ortoedro de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una esquina del techo y quiere llegar a la esquina opuesta del suelo caminando por las paredes, el techo o el suelo. Si la araña toma el camino más corto posible, calcule dicha distancia. (Pista: imagine el desarrollo plano de la habitación).
A veces ningún lado se conoce por completo. Solo sabes cómo se relacionan los lados. Nombra las incógnitas, aplica el teorema y resuelve la ecuación. Esto suele significar resolver una ecuación cuadrática, o un sistema cuando aparecen dos incógnitas.
Para enteros pares consecutivos, usa $x$, $x+2$, $x+4$.
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En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos.…
En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos. Plantee la ecuación correspondiente usando el teorema de Pitágoras y determine las longitudes de los tres lados.
Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden…
Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden $13\text{ m}$ y $15\text{ m}$. Planteando un sistema de ecuaciones con el teorema de Pitágoras, calcule la altura del trapecio.
Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre…
Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $15\text{ m}$ hasta la base de la torre de $20\text{ m}$, recorriendo exactamente $25\text{ m}$. Calcule la distancia entre las bases de las torres. A continuación, si otro pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $20\text{ m}$ hasta la base de la torre de $15\text{ m}$, ¿qué distancia recorrerá?