Cómo representar funciones

Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

El periodo de oscilación $T$ (en segundos) de un péndulo simple depende de su longitud $L$ (en pies) según la función radical $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$. Calcula el dominio de la función en este contexto y determina el periodo de un péndulo de $2,45$ pies de longitud.

Un taxista cobra una bajada de bandera de $\$3$ y $\$1,5$ por cada milla recorrida. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del trayecto con las millas recorridas.

Observa la gráfica de la recta y determina su pendiente, su ordenada en el origen y su expresión algebraica.

Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica de la nueva parábola e indica el vector de traslación aplicado.

El beneficio de una empresa de tecnología, en miles de dólares, viene dado por la función $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, donde $x$ es el número de dispositivos vendidos en cientos. ¿Cuántos dispositivos deben vender para maximizar su beneficio y cuál es dicho beneficio máximo?

Un granjero dispone de $120$ pies de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe la función que proporciona el área del terreno en función de la anchura $x$ perpendicular al río. ¿Qué dimensiones maximizan el área y cuál es el área máxima?

Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

El alquiler de un autobús para una excursión escolar cuesta $\$600$. Escribe la función $C(x)$ que determina el costo por estudiante en función del número de estudiantes $x$ que asistan. Si a última hora se dan de baja $5$ estudiantes, escribe la nueva función de costo por estudiante y halla cuánto pagará cada uno si originalmente iban a ir $30$ estudiantes.

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las asíntotas verticales y horizontales se intercambian entre $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.

Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay $100$ bacterias, escribe la función exponencial $N(t)$ que proporciona el número de bacterias en función del tiempo $t$ en horas.

Se invierten $\$5000$ en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modela el capital acumulado al cabo de $t$ años y calcula el capital disponible tras $5$ años.

La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y $t$ el tiempo en años. Si un hueso conserva solo el $12,5\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuántos años han transcurrido?

Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.

El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Calcula el nivel de intensidad sonora de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.

Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$.

La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.

El costo mensual de la factura del agua en un municipio se calcula mediante una función definida a trozos: una cuota fija de $\$10$ que incluye los primeros $15 \text{ m}^3$, un costo de $\$0,5$ por $\text{m}^3$ adicional para el consumo entre $15 \text{ m}^3$ y $30 \text{ m}^3$, y un costo de $\$1,2$ por cada $\text{m}^3$ que exceda los $30 \text{ m}^3$. Escribe la expresión analítica de la función costo $C(x)$ en función de los pies cúbicos totales consumidos $x$.

Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era negativa antes de aplicar el valor absoluto.

La altura $h(t)$ en pies de una cabina de una rueda de la fortuna de la feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la rueda de la fortuna? ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?

La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura máxima en el punto $(2, 7)$ y cae al suelo, halla la expresión algebraica de la parábola y determina a qué distancia horizontal del punto de lanzamiento impactará.

La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de corte $A$ y $B$.

Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota horizontal en $y = 3$ y pasa por el punto $(2, 8)$.