Potencias con exponentes enteros
Un video se hace viral: a las 3:00 p. m. tiene 800 vistas, y el número de vistas se duplica cada hora. A las 4:00 p. m. tiene $800 \cdot 2^1$ vistas; a las 5:00 p. m., $800 \cdot 2^2$. Pero ¿cuántas vistas tenía a las 2:00 p. m., una hora antes de las 3:00? Hasta ahora, un exponente indicaba cuántas veces multiplicar. Los exponentes que son $0$ o negativos nos dicen qué pasa "ahora" y en el pasado. No multiplican, dividen.
Exponentes cero y negativos
Empecemos con un patrón. Cada paso hacia abajo en la lista divide entre $2$, y el exponente baja $1$. Sigue el patrón más allá de $2^1$.
El patrón obliga a que $2^0 = 1$ (eso es $2 \div 2$) y luego $2^{-1} = \frac{1}{2}$, $2^{-2} = \frac{1}{4}$, y así sucesivamente. Lo mismo se deduce de la regla del cociente. Sabemos que $a^n \div a^n = 1$, y la regla "restar los exponentes" da $a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0$. Por lo tanto, $a^0$ tiene que ser $1$.
¿Por qué tiene sentido esta definición? Multiplicar por $a^{-n}$ significa dividir entre $a^n$, que es exactamente lo que hace el patrón de arriba, un paso a la vez. Todas las reglas de exponentes que ya conoces siguen funcionando.
| Base | Exponente par | Exponente impar |
|---|---|---|
| positiva, como $3$ | $3^{-2} = \frac{1}{9} > 0$ | $3^{-3} = \frac{1}{27} > 0$ |
| negativa, como $-3$ | $(-3)^{-2} = \frac{1}{9} > 0$ | $(-3)^{-3} = -\frac{1}{27} < 0$ |
Calcula el valor numérico de las siguientes potencias de exponente negativo, expresando el resultado como una fracción irreducible o un número entero: $3^{-2}$,…
Calcula el valor numérico de las siguientes potencias de exponente negativo, expresando el resultado como una fracción irreducible o un número entero: $3^{-2}$, $(-2)^{-3}$, $5^{-1}$ y $(-1)^{-4}$.
Analiza y discute razonadamente el signo resultante de la expresión matemática $(-a)^{-n}$ dependiendo de dos factores: si el número real $a$ es estrictamente positivo o…
Analiza y discute razonadamente el signo resultante de la expresión matemática $(-a)^{-n}$ dependiendo de dos factores: si el número real $a$ es estrictamente positivo o negativo, y si el número entero $n$ es par o impar. Elabora un esquema o tabla con los cuatro casos posibles resultantes de esta combinación y acompáñalo de un ejemplo numérico concreto para cada uno de los casos.
Bases fraccionarias: voltea la fracción
Cuando la base ya es una fracción, un exponente negativo intercambia el numerador y el denominador.
Expresa las siguientes potencias de base fraccionaria con un exponente positivo y, a continuación, calcula su valor exacto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ y…
Expresa las siguientes potencias de base fraccionaria con un exponente positivo y, a continuación, calcula su valor exacto: $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}$ y $\left(-\frac{1}{4}\right)^{-2}$.
Calcula y simplifica al máximo la siguiente expresión, expresando el resultado final como una fracción irreducible:…
Calcula y simplifica al máximo la siguiente expresión, expresando el resultado final como una fracción irreducible:
$\left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{-1} : \left( \frac{1}{2} \right)^{-3}$
Simplifica la siguiente expresión con fracciones y exponentes negativos, aplicando las propiedades paso a paso y dando el resultado final como una fracción irreducible…
Simplifica la siguiente expresión con fracciones y exponentes negativos, aplicando las propiedades paso a paso y dando el resultado final como una fracción irreducible sin exponentes negativos:
$\left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} \cdot \left( \frac{9}{4} \right)^{-1} \right]^{-3}$
Misma base: suma, resta y multiplica exponentes
Las reglas del producto, del cociente y de la potencia de una potencia funcionan con exponentes negativos igual que con los positivos. Solo hay que tener cuidado con los signos.
Aplica las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base para expresar el resultado como una sola potencia: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.
Aplica las propiedades de la multiplicación de potencias de la misma base para expresar el resultado como una sola potencia: $7^4 \cdot 7^{-6} \cdot 7^5$.
Simplifica la siguiente expresión resolviendo las operaciones en el numerador y el denominador, y expresa el resultado final como una única potencia:…
Simplifica la siguiente expresión resolviendo las operaciones en el numerador y el denominador, y expresa el resultado final como una única potencia: $\frac{5^{-3} \cdot 5^6}{5^2}$.
Reduce la siguiente expresión a una sola potencia aplicando la propiedad de la potencia de una potencia: $\left((-2)^3\right)^{-4}$.
Reduce la siguiente expresión a una sola potencia aplicando la propiedad de la potencia de una potencia: $\left((-2)^3\right)^{-4}$.
Bases distintas: mismo exponente o factores primos
A veces las bases son distintas. Primero fíjate en qué tienen en común las potencias.
Cuando hay varias bases compuestas, descompón cada una en primos y luego reúne el exponente de cada primo por separado.
Utiliza la propiedad del producto de potencias con el mismo exponente para expresar el siguiente cálculo como una única potencia: $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.
Utiliza la propiedad del producto de potencias con el mismo exponente para expresar el siguiente cálculo como una única potencia: $4^{-3} \cdot 2^{-3} \cdot 5^{-3}$.
En un examen de matemáticas, un alumno ha resuelto una operación escribiendo que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explica detalladamente cuál ha sido el error conceptual…
En un examen de matemáticas, un alumno ha resuelto una operación escribiendo que $2^{-3} \cdot 5^{-3} = 10^{-6}$. Explica detalladamente cuál ha sido el error conceptual del alumno, enuncia la propiedad correcta que debería haber utilizado y calcula el resultado verdadero en forma de fracción.
Simplifica la siguiente expresión, factorizando previamente las bases compuestas y aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero. Deja el resultado como…
Simplifica la siguiente expresión, factorizando previamente las bases compuestas y aplicando las propiedades de las potencias de exponente entero. Deja el resultado como un producto de potencias de números primos:
$\frac{12^3 \cdot 18^{-2}}{6^4 \cdot 2^{-5}}$
Expresiones con variables
Todas las reglas también funcionan con letras. Recuerda dar la respuesta final con solo exponentes positivos, a menos que se indique otra cosa. Para eliminar un exponente negativo, pasa el factor al otro lado de la barra de fracción y cambia el signo de su exponente.
A veces los propios exponentes contienen variables. El truco es escribir cada base en términos de primos, como antes, y luego comparar los exponentes.
También te pueden pedir demostrar una identidad. Una demostración parte de la definición y usa solo pasos válidos, hasta llegar al otro lado de la ecuación.
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales distintos de cero. Aplica las propiedades de las potencias y deja el…
Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales distintos de cero. Aplica las propiedades de las potencias y deja el resultado final expresado exclusivamente con exponentes positivos:
$\frac{(a^{-2} \cdot b^3)^{-3} \cdot (a \cdot b^{-1} \cdot c^2)^4}{(a^3 \cdot c^{-5})^{-2}}$
Demuestra matemáticamente que, para cualquier número real $a \neq 0$ y cualquier número entero $n$, se cumple la identidad $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Utiliza…
Demuestra matemáticamente que, para cualquier número real $a \neq 0$ y cualquier número entero $n$, se cumple la identidad $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Utiliza para tu demostración la definición estricta de potencia de exponente negativo y las propiedades de las operaciones con fracciones.
Simplifica la siguiente expresión algebraica, en la que $m$ y $n$ son números enteros arbitrarios. Tras realizar la simplificación, comprueba y justifica si el resultado…
Simplifica la siguiente expresión algebraica, en la que $m$ y $n$ son números enteros arbitrarios. Tras realizar la simplificación, comprueba y justifica si el resultado final depende de los valores que tomen $m$ y $n$:
$\frac{4^{n+1} \cdot 10^{m-n}}{2^{m+n+2} \cdot 5^{m-n}}$
Crecimiento y decaimiento
Siempre que una cantidad se multiplica por el mismo factor en cada paso, las potencias la describen. Si empiezas con $A_0$ y multiplicas por $b$ en cada paso, después de $t$ pasos tienes $A_0 \cdot b^t$. Un factor como $\frac{1}{3}$ se puede escribir $3^{-1}$, así que dividir repetidamente es un exponente negativo.
Una colonia de bacterias duplica su población cada hora. Si en el momento inicial de la observación hay $150$ bacterias, escribe una expresión matemática utilizando…
Una colonia de bacterias duplica su población cada hora. Si en el momento inicial de la observación hay $150$ bacterias, escribe una expresión matemática utilizando potencias que indique la cantidad de bacterias transcurridas $h$ horas. ¿Cuántas bacterias habrá en la colonia después de $6$ horas?
En un laboratorio químico se está filtrando una sustancia tóxica contenida en un líquido. Cada filtro que se instala en el circuito reduce la cantidad de toxinas a su…
En un laboratorio químico se está filtrando una sustancia tóxica contenida en un líquido. Cada filtro que se instala en el circuito reduce la cantidad de toxinas a su tercera parte. Si la cantidad inicial de toxinas es de $81$ onzas, expresa con una potencia de exponente negativo la cantidad de toxina que queda tras pasar por $4$ filtros sucesivos y calcula su valor exacto.
Un torneo de tenis se juega por eliminatorias directas (en cada partido, el que pierde queda eliminado y el que gana pasa a la siguiente ronda). Si en la primera ronda…
Un torneo de tenis se juega por eliminatorias directas (en cada partido, el que pierde queda eliminado y el que gana pasa a la siguiente ronda). Si en la primera ronda participan $2^7$ jugadores, ¿cuántos partidos en total se habrán jugado cuando finalice el torneo y haya un único ganador absoluto? Expresa tu razonamiento utilizando operaciones con potencias.
Ecuaciones exponenciales
En una ecuación como $5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$ la incógnita está en el exponente. El hecho clave es que si $b^m = b^n$ (con $b > 0$, $b \ne 1$), entonces $m = n$. Así que el plan es obtener la misma base en ambos lados.
Cuando las potencias se suman o se restan, no puedes simplemente sumar los exponentes. En su lugar, factoriza la menor potencia común.
Encuentra el valor del número entero $x$ que hace que se cumpla la siguiente ecuación exponencial, expresando todos los términos como potencias de la misma base:…
Encuentra el valor del número entero $x$ que hace que se cumpla la siguiente ecuación exponencial, expresando todos los términos como potencias de la misma base:
$5^{x+2} \cdot 25^{-1} = 125^3$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial. Para ello, aplica las propiedades de las potencias de exponente entero para separar las bases y extrae factor común:…
Resuelve la siguiente ecuación exponencial. Para ello, aplica las propiedades de las potencias de exponente entero para separar las bases y extrae factor común:
$3^{x+1} + 3^{x-1} - 3^x = 21$
Potencias en contexto: fractales, luz y dinero
Aquí tienes tres situaciones en las que una potencia con exponente entero hace el trabajo pesado.
Un fractal que se encoge
Empieza con un triángulo relleno de área $1$. En cada paso, cada triángulo relleno se divide en cuatro triángulos más pequeños y se quita el del medio. Cada paso conserva $3$ de las $4$ piezas, así que el área se multiplica por $\frac{3}{4}$.
El patrón es $1$, $\frac{3}{4}$, $\left(\frac{3}{4}\right)^2$, … así que después de $n$ pasos el área es $A_0 \cdot r^n$ con $r = \frac{3}{4}$. Multiplicar por un factor constante en cada paso siempre da una potencia.
Luz a través de vidrio polarizado
Si cada panel de vidrio deja pasar una fracción $r$ de la luz, entonces $n$ paneles dejan pasar $I_0 \cdot r^n$. La fracción que se pierde es lo que sobra: $1 - r^n$.
Interés compuesto y exponentes negativos
Una cuenta de ahorros con tasa anual $r$ crece por un factor de $(1 + r)$ cada año, así que $P$ dólares se convierten en $P(1+r)^t$ después de $t$ años. Un exponente negativo hace correr el reloj hacia atrás.
Una empresa invierte un capital de $\$5000$ en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\%…
Una empresa invierte un capital de $\$5000$ en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. La fórmula matemática correcta para calcular el capital final tras $t$ años es $C = 5000 \cdot (1,04)^t$. Si por un error de computadora el sistema calcula el capital usando un exponente negativo, $C_{erroneo} = 5000 \cdot (1,04)^{-t}$, ¿qué significado financiero tendría este cálculo erróneo? Además, deduce qué relación matemática exacta existe entre el capital correcto a los $5$ años y el capital erróneo calculado para esos mismos $5$ años.
Se construye un fractal geométrico llamado "Triángulo de Sierpinski" partiendo de un triángulo equilátero relleno de color azul cuya área inicial es $1$ unidad. En cada…
Se construye un fractal geométrico llamado "Triángulo de Sierpinski" partiendo de un triángulo equilátero relleno de color azul cuya área inicial es $1$ unidad. En cada iteración (paso), se divide cada triángulo azul en cuatro triángulos equiláteros más pequeños y se extrae el triángulo central (que queda vacío/negro). Observa la figura que ilustra los primeros pasos. Determina la expresión matemática, en forma de potencia, que representa el área azul restante tras $n$ iteraciones. A partir de esa expresión, ¿cuál será el área azul exacta tras $6$ iteraciones?
La intensidad de un haz de luz al atravesar un determinado tipo de cristal tintado se reduce a los $\frac{3}{4}$ de su valor incidente. Si superponemos $n$ de estos…
La intensidad de un haz de luz al atravesar un determinado tipo de cristal tintado se reduce a los $\frac{3}{4}$ de su valor incidente. Si superponemos $n$ de estos cristales idénticos, la intensidad de la luz resultante que logra traspasarlos es $I = I_0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$, siendo $I_0$ la intensidad inicial. Expresa la fracción de luz que se pierde (no la que consigue pasar) tras atravesar $3$ cristales, utilizando potencias de exponente entero para tus cálculos. A la vista del resultado, determina si el sistema bloquea más o menos de la mitad de la luz original.
De vuelta al comienzo: el video tenía $800$ vistas a las 3:00 p. m. y sus vistas se duplican cada hora. Una hora antes tenía $800 \cdot 2^{-1} = 400$ vistas, dos horas antes $800 \cdot 2^{-2} = 200$, y tres horas antes $800 \cdot 2^{-3} = 100$. A las 3:00 p. m. el exponente es $0$, y $800 \cdot 2^0 = 800$.