Comportamiento en los extremos y asíntotas horizontales
Marcus sirve una taza de café a 180 °F en una cocina que está a 72 °F. ¿Bajará alguna vez el café hasta 0 °F? Obviamente no, porque se estabiliza cerca de la temperatura ambiente. Muchas funciones se comportan así cuando la entrada se hace enorme: se acercan a un número o crecen sin control. En esta página aprenderás a predecir ese comportamiento a largo plazo sin tener que graficar eternamente.
¿Qué pasa lejos del origen?
El comportamiento en los extremos (end behavior) describe qué hace $f(x)$ cuando $x$ se hace muy grande en la dirección positiva ($x \to +\infty$) o muy grande en la dirección negativa ($x \to -\infty$). El símbolo $\infty$ no es un número. Significa "crecer sin ninguna cota".
Esta es la gráfica de $f(x) = 2 + \dfrac{2}{x}$. Síguela hacia la derecha y hacia la izquierda.
Ambos extremos de la curva se pegan a la línea discontinua $y = 2$. Una tabla de valores muestra lo mismo:
| $x$ | 10 | 100 | 1,000 | 10,000 |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 2.2 | 2.02 | 2.002 | 2.0002 |
Así que una función puede hacer una de tres cosas en un extremo: acercarse a un número, crecer sin cota hacia arriba o caer sin cota hacia abajo. (Algunas, como $\sin x$, siguen oscilando y no tienen límite.)
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor al que se aproxima la función cuando $x$ se hace infinitamente grande ($x \to +\infty$) y cuando se…
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor al que se aproxima la función cuando $x$ se hace infinitamente grande ($x \to +\infty$) y cuando se hace infinitamente pequeño ($x \to -\infty$).
La siguiente tabla muestra los valores que toma una función $g(x)$ para valores de $x$ cada vez mayores: $x = 10 \rightarrow g(x) = 2,9$…
La siguiente tabla muestra los valores que toma una función $g(x)$ para valores de $x$ cada vez mayores:
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$x = 10 \rightarrow g(x) = 2,9$
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$x = 100 \rightarrow g(x) = 2,99$
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$x = 1000 \rightarrow g(x) = 2,999$
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$x = 10000 \rightarrow g(x) = 2,9999$
A la vista de estos resultados, ¿a qué valor tiende la función $g(x)$ cuando $x \to +\infty$?
Polinomios: gana el término principal
Observa $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 1$ para valores de $x$ cada vez mayores, junto a su primer término $2x^3$.
| $x$ | $f(x)$ | $2x^3$ |
|---|---|---|
| 10 | 1,569 | 2,000 |
| 100 | 1,950,699 | 2,000,000 |
| 1,000 | 1,995,006,999 | 2,000,000,000 |
Las dos columnas se parecen cada vez más en términos relativos. Cuando $x$ es enorme, $x^3$ es mucho mayor que $x^2$ o que $x$, así que el término de mayor potencia se impone sobre los demás. Por eso, para el comportamiento en los extremos solo importa el término principal.
No necesitas memorizar la tabla. Solo pregúntate: ¿qué signo tiene $a_n x^n$ cuando $x$ es enorme y positivo? ¿Y cuando es enorme y negativo? Una potencia par siempre es positiva. Una potencia impar conserva el signo de $x$.
Calcula el comportamiento en el infinito de la siguiente función polinómica, es decir, halla el valor del límite: $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)$
Calcula el comportamiento en el infinito de la siguiente función polinómica, es decir, halla el valor del límite:
$\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)$
Determina la tendencia de la función $h(x) = -4x^5 + 3x^2 - 8$ cuando $x$ tiende a $-\infty$. Para ello, calcula $\lim_{x \to -\infty} h(x)$.
Determina la tendencia de la función $h(x) = -4x^5 + 3x^2 - 8$ cuando $x$ tiende a $-\infty$. Para ello, calcula $\lim_{x \to -\infty} h(x)$.
Estudia el comportamiento de la función polinómica $f(x) = (2x^2 - 3x + 1) - (x^3 - 5x)$ calculando sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Estudia el comportamiento de la función polinómica $f(x) = (2x^2 - 3x + 1) - (x^3 - 5x)$ calculando sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.
Funciones racionales: compara los grados
Una función racional es un polinomio dividido entre otro polinomio. Ahora compiten dos términos principales: el de arriba y el de abajo. Lo que importa es cuál es mayor, o si son del mismo tamaño.
¿Por qué? Divide cada término del numerador y del denominador entre la mayor potencia de $x$ que aparece en el denominador. Cada pieza restante, como $\frac{5}{x^2}$ o $\frac{1}{x}$, se reduce a 0 cuando $x$ crece. Solo sobreviven los coeficientes principales.
Calcula el siguiente límite de una función racional donde el grado del denominador es mayor que el del numerador: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 5}{x^2 + 4x + 1}$
Calcula el siguiente límite de una función racional donde el grado del denominador es mayor que el del numerador:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 5}{x^2 + 4x + 1}$
Calcula el límite cuando $x \to -\infty$ de la siguiente función racional, prestando atención a los signos y a los grados de los polinomios:…
Calcula el límite cuando $x \to -\infty$ de la siguiente función racional, prestando atención a los signos y a los grados de los polinomios:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3 - 2x^2 + x}{4 - 3x^3}$
El costo promedio de producción de $x$ unidades de un artículo electrónico viene dado por la función racional $C(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$ en dólares. Calcula el límite…
El costo promedio de producción de $x$ unidades de un artículo electrónico viene dado por la función racional $C(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$ en dólares. Calcula el límite de esta función cuando $x \to +\infty$ e interpreta el resultado en el contexto de la empresa.
Funciones exponenciales
Las funciones exponenciales $y = a \cdot b^x$ son las de movimiento más rápido que encontrarás, y su comportamiento en los extremos depende de la base $b$.
| $x$ | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
| $2^x$ | 1,024 | 1,048,576 | 1,073,741,824 |
| $0.5^x$ | alrededor de 0.001 | alrededor de 0.000001 | alrededor de 0.000000001 |
Una base mayor que 1 significa multiplicar repetidamente por algo mayor que 1, así que los valores explotan. Una base entre 0 y 1 significa multiplicar repetidamente por una fracción, así que los valores se encogen hacia 0 (pero siguen siendo positivos).
El número $e \approx 2.718$ es simplemente una base mayor que 1. Por eso $e^{-0.02t} = (e^{-0.02})^t$ es un factor de decaimiento y tiende a 0 cuando $t \to +\infty$. En general, $e^{-kt} \to 0$ cuando $k > 0$.
Volvamos al inicio: el café nunca llega a 0 °F. Se estabiliza en la temperatura ambiente, 72 °F, que es la asíntota horizontal de su modelo de enfriamiento.
Una colonia de bacterias crece según la función $P(t) = 150 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. ¿Qué ocurre con la población de bacterias cuando el tiempo avanza…
Una colonia de bacterias crece según la función $P(t) = 150 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. ¿Qué ocurre con la población de bacterias cuando el tiempo avanza indefinidamente ($t \to +\infty$)?
La cantidad de una sustancia radiactiva en miligramos sigue la función $M(t) = 500 \cdot 0,8^t$, donde $t$ son los años transcurridos. ¿A qué valor tiende la cantidad de…
La cantidad de una sustancia radiactiva en miligramos sigue la función $M(t) = 500 \cdot 0,8^t$, donde $t$ son los años transcurridos. ¿A qué valor tiende la cantidad de sustancia a muy largo plazo ($t \to +\infty$)?
La temperatura en grados Fahrenheit de una taza de café recién servida en una habitación disminuye con el tiempo $t$ (en minutos) según la función exponencial…
La temperatura en grados Fahrenheit de una taza de café recién servida en una habitación disminuye con el tiempo $t$ (en minutos) según la función exponencial $T(t) = 22 + 68 \cdot 0,85^t$. ¿A qué temperatura tiende el café cuando ha transcurrido mucho tiempo? Justifica tu respuesta calculando matemáticamente el límite correspondiente.
Asíntotas horizontales en contexto
En un problema con contexto, la asíntota horizontal responde a "¿qué pasa a largo plazo?". Piensa en un food truck con costos fijos de $\$800$ al mes y $\$4$ de ingredientes por artículo. El costo promedio por artículo al producir $x$ artículos es
$$C(x) = \frac{800 + 4x}{x} = 4 + \frac{800}{x}.$$Al dividir, $\frac{800}{x} \to 0$ cuando $x \to +\infty$, así que $\lim_{x \to +\infty} C(x) = 4$. Significado: mientras más artículos produce el camión, más se acerca el costo promedio a $\$4$ por artículo (el costo fijo se reparte entre más unidades). El costo nunca bajará de $\$4$.
Al interpretar una asíntota, di siempre: la cantidad, qué valor se aproxima, qué significa "$x$ grande" y (si es relevante) si se puede superar.
Cómo hallar parámetros desconocidos
Si un problema te da la asíntota, usa la regla del límite al revés.
Observa la gráfica de la función $C(x)$ que representa el costo promedio (en dólares) de fabricar $x$ objetos. Indica cuál es la ecuación de la asíntota horizontal y…
Observa la gráfica de la función $C(x)$ que representa el costo promedio (en dólares) de fabricar $x$ objetos. Indica cuál es la ecuación de la asíntota horizontal y explica qué significado tiene cuando el número de objetos producidos tiende a infinito.
Halla el valor del parámetro $k$ sabiendo que la función racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 7}{4x^2 + 5}$ tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$.
Halla el valor del parámetro $k$ sabiendo que la función racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 7}{4x^2 + 5}$ tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 8}{bx - 2}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, -10)$ y tiene una…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 8}{bx - 2}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, -10)$ y tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$.
Retos: valores absolutos, "qué tan cerca" y carreras de crecimiento
Valor absoluto y funciones definidas por partes
Recuerda que $|x| = x$ cuando $x > 0$ y $|x| = -x$ cuando $x < 0$. Así que para $x \to +\infty$ reemplaza $|x|$ por $x$, y para $x \to -\infty$ reemplaza $|x|$ por $-x$. Las funciones definidas por partes funcionan igual: usa la parte que se aplica para $x$ positivo muy grande, o la que se aplica para $x$ negativo muy grande.
Las funciones exponenciales también pueden dar dos asíntotas. Para $h(x) = 3 - \dfrac{6}{1 + 2^x}$: cuando $x \to +\infty$, $2^x \to \infty$, así que $\frac{6}{1 + 2^x} \to 0$ y $h \to 3$. Cuando $x \to -\infty$, $2^x \to 0$, así que $h \to 3 - 6 = -3$. Las asíntotas son $y = 3$ y $y = -3$.
Parámetros con un punto
A veces debes combinar la asíntota con un punto de la gráfica. Ejemplo: $f(x) = \dfrac{ax + 4}{bx - 1}$ tiene asíntota $y = 2$ y pasa por $(1, 6)$. La asíntota da $\frac{a}{b} = 2$, así que $a = 2b$. El punto da $\frac{a + 4}{b - 1} = 6$. Sustituye $a = 2b$: $2b + 4 = 6(b - 1)$, así que $10 = 4b$, de donde $b = 2.5$ y $a = 5$. Comprobación: $f(1) = \frac{9}{1.5} = 6$. ✓
¿Qué tan cerca es "cerca"?
"$f(x) \to L$" significa que puedes lograr que $|f(x) - L|$ sea tan pequeño como quieras tomando $x$ suficientemente grande. Así se halla qué tan grande.
Si la desigualdad resulta cuadrática (como $\frac{30t}{t^2 + 9} < 1$ en el problema del medicamento), reacomódala como $t^2 - 30t + 9 > 0$, halla las raíces con la fórmula cuadrática y elige la región que tenga sentido en el contexto (aquí, después de que la concentración alcanza su máximo).
¿Cuál crece más rápido?
Compara $x^3$ y $2^x$. En $x = 5$ el polinomio es mayor ($125$ contra $32$), pero observa la razón $\frac{x^3}{2^x}$:
| $x$ | 5 | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|
| $x^3$ | 125 | 1,000 | 8,000 | 27,000 |
| $2^x$ | 32 | 1,024 | 1,048,576 | 1,073,741,824 |
| $\dfrac{x^3}{2^x}$ | 3.9 | 0.98 | 0.0076 | 0.000025 |
Gana la exponencial y la razón se reduce hacia 0. Por lo tanto, $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2^x} = 0$.
Sea la función racional $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Calcula su límite $L$ cuando $x \to +\infty$. A continuación, plantea y resuelve una inecuación para averiguar a partir…
Sea la función racional $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Calcula su límite $L$ cuando $x \to +\infty$. A continuación, plantea y resuelve una inecuación para averiguar a partir de qué valor de $x > 0$ se cumple que la distancia entre $f(x)$ y su límite $L$ es estrictamente menor que $0,01$.
Estudia el comportamiento en el infinito de la función que incluye un valor absoluto $f(x) = \frac{4x + |x|}{x + 2}$. Para ello, calcula los límites cuando…
Estudia el comportamiento en el infinito de la función que incluye un valor absoluto $f(x) = \frac{4x + |x|}{x + 2}$. Para ello, calcula los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. ¿Tiene la función la misma asíntota horizontal por la derecha que por la izquierda?
Considera las funciones $f(x) = x^4$ y $g(x) = 1,5^x$. Para valores pequeños de $x$ la función polinómica es mayor que la exponencial (por ejemplo, para $x=2$,…
Considera las funciones $f(x) = x^4$ y $g(x) = 1,5^x$. Para valores pequeños de $x$ la función polinómica es mayor que la exponencial (por ejemplo, para $x=2$, $16 > 2,25$). Sin embargo, determina cuál de las dos crece más rápido en el infinito ayudándote de una tabla de valores para $x = 10, 20$ y $30$. A partir de tu conclusión, deduce el valor del límite $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{1,5^x}$.