Funciones crecientes y decrecientes, máximos y mínimos

A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, determina los intervalos donde la función es strictly creciente y donde es estrictamente decreciente.

La temperatura de un horno industrial arranca a $20 \ ^\circ\text{C}$. Durante los primeros $15$ minutos sube uniformemente hasta alcanzar los $220 \ ^\circ\text{C}$. Se mantiene a esa temperatura constante durante $45$ minutos para hornear unas piezas, y luego se apaga, descendiendo la temperatura uniformemente hasta los $20 \ ^\circ\text{C}$ a lo largo de $30$ minutos. Indica los intervalos de tiempo de crecimiento, decrecimiento y constancia de la temperatura, así como el valor máximo absoluto alcanzado por la función.

La gráfica adjunta representa la velocidad $v$ (en mph) de un vehículo a lo largo de un trayecto en función del tiempo $t$ (en minutos). Indica los intervalos de tiempo en los que el vehículo acelera (velocidad creciente), frena (velocidad decreciente) o mantiene una velocidad constante. ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada en el trayecto y durante cuánto tiempo se mantiene?

Observa la gráfica de la función $g(x)$ y escribe las coordenadas exactas de los puntos marcados como A, B y C. Indica para cada uno de ellos si se trata de un máximo o un mínimo relativo. ¿Hay algún extremo que sea también absoluto en el dominio representado?

Dibuja en tu cuaderno una gráfica continua cuyo dominio sea todo $\mathbb{R}$, que sea estrictamente creciente en los intervalos $(-\infty, -2)$ y $(3, +\infty)$, y estrictamente decreciente en el intervalo $(-2, 3)$. Según tu dibujo, ¿qué tipo de extremos relativos (máximo o mínimo) habrá en las abscisas $x = -2$ y $x = 3$?

La siguiente gráfica muestra los beneficios mensuales $B(t)$ (en miles de dólares) de una empresa tecnológica durante su primer año de existencia ($t$ en meses, desde $t=0$ hasta $t=12$). Identifica los intervalos en los que los beneficios de la empresa crecen y decrecen. ¿En qué meses se alcanzan los beneficios máximos y mínimos relativos?

Representa en tu cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Su dominio es el intervalo $[-5, 6]$.

• Su recorrido es el intervalo $[-2, 5]$.

• Es estrictamente creciente en $[-5, -1] \cup [3, 6]$ y estrictamente decreciente en $[-1, 3]$.

• Pasa por los puntos $(-1, 5)$ y $(3, -2)$.

¿Qué representan matemáticamente los puntos $(-1, 5)$ y $(3, -2)$ en la gráfica de esta función?

Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de la función afín $f(x) = 4x - 7$ en el intervalo $[-2, 3]$. A partir del resultado obtenido, ¿qué puedes afirmar sobre el crecimiento de la función en dicho intervalo?

La siguiente tabla de valores muestra la altitud $h$ (en pies) de un dron en función del tiempo $t$ (en segundos) desde que inicia su vuelo.

Calcula la TVM en los intervalos $[0, 2]$ y $[4, 6]$. Basándote en estos resultados, ¿la función altitud es creciente o decreciente en esos tramos?

Considera la función $f(x) = x^2 - 9$. Calcula la Tasa de Variación Media en el intervalo $[-4, -1]$ y en el intervalo $[1, 4]$. Relaciona el signo de cada resultado con el comportamiento (creciente o decreciente) de la función en esos dos tramos.

Un excursionista registra la altitud $h$ a la que se encuentra en diferentes momentos $t$ de su ruta por la montaña:

Calcula la Tasa de Variación Media en los intervalos $[0, 2]$, $[2, 4]$ y $[4, 5]$. A partir de los signos de estos resultados, deduce en qué momento aproximado el excursionista alcanzó la cima de la primera montaña que subió y cuándo terminó de descender al valle antes de volver a subir.

La siguiente gráfica corresponde a una función polinómica de grado 4, $f(x)$, que presenta una forma de "W". A partir de la observación de la gráfica, estima las coordenadas de sus extremos relativos (máximos y mínimos). A continuación, sabiendo que la función es perfectamente simétrica respecto al eje Y (es una función par), razona y demuestra si la Tasa de Variación Media en el intervalo simétrico $[-3, 3]$ será positiva, negativa o nula.

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{12}{x}$, calcula la Tasa de Variación Media en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 6]$. Comprueba que, aunque los valores numéricos de la TVM son diferentes en cada intervalo, ambos resultados justifican el comportamiento decreciente de la función en el intervalo $(0, +\infty)$.

Dada la función racional con un parámetro desconocido $f(x) = \frac{k}{x+2}$, halla el valor exacto de $k$ sabiendo que la Tasa de Variación Media de la función en el intervalo $[0, 2]$ es igual a $-1$. Una vez hallado el valor de $k$, justifica algebraicamente si la función es creciente o decreciente en todo el intervalo $(-2, +\infty)$.

Dos barcos de rescate parten del mismo punto en alta mar al mismo tiempo. El barco A viaja en línea recta hacia el Norte a una velocidad constante de $20$ mph, y el barco B viaja hacia el Este a una velocidad constante de $15$ mph. La distancia al cuadrado entre ambos barcos en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la función $D(t) = (20t)^2 + (15t)^2$. Demuestra algebraicamente que la distancia real entre ellos es una función estrictamente creciente para cualquier tiempo $t > 0$ calculando la Tasa de Variación Media genérica en un intervalo $[t_1, t_2]$ (con $0 < t_1 < t_2$).

Dada la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$, indica, sin necesidad de representarla gráficamente ni calcular sus coordenadas, si el vértice de la parábola corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. Justifica tu respuesta fijándote en el signo de los coeficientes de la función.

La altura $h$ (en pies) que alcanza un cohete de feria en función del tiempo $t$ (en segundos) desde su lanzamiento viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 40t + 2$. Calcula en qué instante de tiempo el cohete alcanza su altura máxima y cuál es el valor exacto de dicha altura.

El número de individuos $N$ de una población de insectos en un experimento de laboratorio varía en función de los días $t$ transcurridos según el modelo cuadrático $N(t) = 3t^2 - 24t + 150$, válido para $t \ge 0$. Determina en qué día la población de insectos alcanza su valor mínimo y cuántos individuos conforman la población en ese momento exacto.

Se dispone de $60$ pies de valla metálica para cercar un huerto rectangular aprovechando la pared recta de un granero, por lo que solo es necesario vallar tres de sus lados. Si llamamos $x$ a la longitud de los dos lados perpendiculares a la pared del granero, encuentra la función cuadrática $A(x)$ que expresa el área del huerto en función de $x$. ¿Cuáles deben ser las dimensiones exactas del huerto para que su área sea la máxima posible?

El beneficio $B(x)$, en dólares, que obtiene una fábrica por la venta de $x$ unidades de un producto exclusivo viene dado por la función cuadrática con parámetros $B(x) = -ax^2 + bx - 500$. Se sabe mediante un estudio de mercado que el beneficio máximo se alcanza al vender exactamente $40$ unidades y que dicho beneficio máximo es de $\$1100$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$.

El consumo de energía $C(v)$ (en kWh por cada 100 millas) de un nuevo vehículo eléctrico en función de su velocidad constante $v$ (en mph) se puede modelar de forma aproximada mediante la expresión cuadrática $C(v) = 0.02v^2 - 1.6v + 45$, válida para velocidades en el rango de $20$ a $100$ mph. ¿A qué velocidad exacta debe circular el vehículo para que el consumo de energía sea el mínimo posible? ¿Cuál es ese consumo mínimo?

Considera la función $f(x)$ definida a trozos de la siguiente manera:

$f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 8x + 14 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Halla las coordenadas del vértice del tramo parabólico y determina si la función presenta algún mínimo relativo o absoluto en todo su dominio.

Considera la función definida mediante un valor absoluto $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Sabiendo que la parábola interior $y = x^2 - 6x + 5$ corta al eje de abscisas en $x=1$ y $x=5$, expresa $f(x)$ como una función definida a trozos sin usar el símbolo de valor absoluto. A continuación, halla las coordenadas de los tres extremos relativos de $f(x)$ e indica sus intervalos de monotonía.

La gráfica adjunta no representa una función $f(x)$ normal, sino que representa el valor de su Tasa de Variación Instantánea (o ritmo de crecimiento) en cada punto $x$. Es decir, si la gráfica mostrada está por encima del eje X, la función original $f(x)$ crece; si está por debajo, decrece. A partir de esta gráfica, deduzca en qué intervalos la función original $f(x)$ es creciente y decreciente. ¿En qué valor exacto de $x$ alcanzará $f(x)$ un extremo relativo? Justifique si se trata de un máximo o de un mínimo.