Aproximaciones y errores
La aplicación de ejercicio de tu celular dice que caminaste $2.4$ millas. La ruta en realidad mide $2.43$ millas. ¿Es buena esa aproximación? En la ciencia, en la ingeniería e incluso en el laboratorio de la escuela casi nunca obtienes el valor exacto. Obtienes una aproximación, y necesitas una forma de decir qué tan lejos está del valor real y si eso importa. De eso trata esta página.
Truncar y redondear
Hay dos formas de acortar un decimal largo: truncar (cortar) y redondear. Prueba el interactivo: cambia el número de cifras y observa qué pasa con la última cifra.
Cuando aproximas un número $N$, los dos vecinos en un lugar dado lo encierran. Truncar un número positivo da una aproximación por defecto (menor o igual que $N$). Redondear hacia arriba da una aproximación por exceso (mayor o igual que $N$).
Aproxime el número decimal $4.8275$ a las centésimas utilizando el método de truncamiento y el método de redondeo.
Aproxime el número decimal $4.8275$ a las centésimas utilizando el método de truncamiento y el método de redondeo.
Aproxime el número irracional $\sqrt{7}$ a las milésimas, indicando claramente cuál es la aproximación por defecto y cuál es la aproximación por exceso.
Aproxime el número irracional $\sqrt{7}$ a las milésimas, indicando claramente cuál es la aproximación por defecto y cuál es la aproximación por exceso.
Error absoluto y error relativo
Una vez que tienes una aproximación, quieres saber qué tan lejos está del valor real. Hay dos maneras: la diferencia simple y la diferencia comparada con el tamaño del número.
El valor absoluto hace que el error sea siempre positivo, porque solo nos importa qué tan lejos estás, no en qué dirección.
Las dos barras tienen el mismo error absoluto, pero la parte rosada es una fracción mucho mayor del lápiz. El error relativo es el que te dice si una aproximación es buena.
Un uso común del error relativo es la tolerancia: un límite del error permitido.
Un termómetro digital marca una temperatura de $38.2^\circ \text{C}$. Si mediante un instrumento de alta precisión se sabe que la temperatura real es de…
Un termómetro digital marca una temperatura de $38.2^\circ \text{C}$. Si mediante un instrumento de alta precisión se sabe que la temperatura real es de $38.45^\circ \text{C}$, determine el error absoluto y el error relativo de la medida del termómetro digital.
Durante una competencia de atletismo, el juez principal mide la longitud de la pista y anota $399.5$ m. Si la longitud oficial y exacta de la pista debe ser de $400$ m,…
Durante una competencia de atletismo, el juez principal mide la longitud de la pista y anota $399.5$ m. Si la longitud oficial y exacta de la pista debe ser de $400$ m, calcule el error absoluto y el error relativo porcentual de la medición del juez. ¿Considera que es una medición aceptable si el reglamento permite un error relativo máximo del $0.2\%$?
Al realizar el presupuesto para una obra, se estima que el costo de los materiales será de $\$15\,400…
Al realizar el presupuesto para una obra, se estima que el costo de los materiales será de $\$15\,400$. Al finalizar la obra, las facturas suman un total real de $\$15\,825$. Calcule el error absoluto y relativo de la estimación inicial. Si la empresa constructora asume las pérdidas si el error relativo supera el $3\%$, ¿quién pagará la diferencia?
Errores con fracciones
Muchos valores exactos son fracciones, como $\tfrac{2}{3}$. Si los conviertes en decimales demasiado pronto, obtienes decimales que ya son aproximados. Es más limpio calcular el error con fracciones y mantenerlo exacto.
Calcule el error absoluto que se comete al utilizar la aproximación $0.33$ para el valor exacto de la fracción $\frac{1}{3}$. Exprese el resultado en forma de fracción.
Calcule el error absoluto que se comete al utilizar la aproximación $0.33$ para el valor exacto de la fracción $\frac{1}{3}$. Exprese el resultado en forma de fracción.
A partir del ejercicio anterior, calcule el error relativo cometido al aproximar $\frac{1}{3}$ por $0.33$. Exprese el resultado en forma de porcentaje.
A partir del ejercicio anterior, calcule el error relativo cometido al aproximar $\frac{1}{3}$ por $0.33$. Exprese el resultado en forma de porcentaje.
Dos carpinteros cortan listones de madera que deben medir exactamente $\frac{5}{7}$ de pie. El primer carpintero corta el listón a $0.71$ pies y el segundo lo corta a…
Dos carpinteros cortan listones de madera que deben medir exactamente $\frac{5}{7}$ de pie. El primer carpintero corta el listón a $0.71$ pies y el segundo lo corta a $0.72$ pies. Sin usar decimales, operando con fracciones, determine cuál de los dos ha cometido un menor error absoluto.
Comparar la precisión y números muy grandes
La medición con el menor error relativo es la más precisa. Para comparar, escribe ambos errores de la misma forma: los dos como decimales o los dos como porcentajes.
Los números enormes se suelen escribir en notación científica, y la aproximación también. Para hallar $E_a$, escribe ambos números con la misma potencia de $10$ y resta las partes decimales.
Se han realizado dos mediciones distintas. En la primera, se ha cometido un error relativo del $0.015$. En la segunda, el error relativo ha sido del $1.2\%$. Determine…
Se han realizado dos mediciones distintas. En la primera, se ha cometido un error relativo del $0.015$. En la segunda, el error relativo ha sido del $1.2\%$. Determine cuál de las dos mediciones es más precisa y justifique su respuesta.
En un laboratorio de química, un estudiante utiliza el valor $6.02 \cdot 10^{23}$ para el número de Avogadro en sus cálculos. Si el valor más preciso aceptado…
En un laboratorio de química, un estudiante utiliza el valor $6.02 \cdot 10^{23}$ para el número de Avogadro en sus cálculos. Si el valor más preciso aceptado actualmente es $6.02214 \cdot 10^{23}$, determine el error absoluto en notación científica y el error relativo porcentual que comete el estudiante.
La distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente $149\,597\,870$ millas. Un libro de texto de escuela secundaria afirma que la distancia es de…
La distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente $149\,597\,870$ millas. Un libro de texto de escuela secundaria afirma que la distancia es de $1.5 \cdot 10^8$ millas. Calcule el error relativo porcentual que introduce el libro de texto al usar esta aproximación en notación científica.
Cotas de error al redondear
Muchas veces no conoces $V_r$ en absoluto. Solo sabes que un número fue redondeado. No puedes hallar $E_a$ exactamente, pero sí una cota de error: un número que el error no puede superar.
Indique la cota de error absoluto que se asume al afirmar que el peso de un objeto, redondeado a las milésimas, es de $12.458$ lb.
Indique la cota de error absoluto que se asume al afirmar que el peso de un objeto, redondeado a las milésimas, es de $12.458$ lb.
El tamaño de un archivo informático es de $4567.89$ Megabytes (MB). Al copiarlo a un disco duro, el sistema operativo trunca el valor a las décimas, mientras que un…
El tamaño de un archivo informático es de $4567.89$ Megabytes (MB). Al copiarlo a un disco duro, el sistema operativo trunca el valor a las décimas, mientras que un programa de compresión lo redondea a las décimas. Calcule la diferencia entre el error absoluto cometido por el sistema operativo y el cometido por el programa de compresión.
Para calcular la densidad de un bloque de metal, se mide su masa obteniendo $m = 12.4$ lb y su volumen obteniendo $V = 0.004$ pies$^3$. Si ambas medidas se han…
Para calcular la densidad de un bloque de metal, se mide su masa obteniendo $m = 12.4$ lb y su volumen obteniendo $V = 0.004$ pies$^3$. Si ambas medidas se han redondeado a la última cifra decimal mostrada, determine la cota de error absoluto de la masa y del volumen.
Intervalos y cotas de error
Una cota de error es lo mismo que un intervalo alrededor del valor aproximado. Si $V_a$ es la aproximación y $E_a$ es la cota de error, entonces
$$|x - V_a| \le E_a \iff V_a - E_a \le x \le V_a + E_a \iff x \in [V_a - E_a,\ V_a + E_a].$$Lo solemos escribir como $V_a \pm E_a$. Por ejemplo, una lectura de báscula de $250 \pm 5$ oz significa que el peso real está en $[245, 255]$.
Para ir en sentido contrario, de un intervalo $[a, b]$ a la aproximación, usa el punto medio y la mitad del ancho:
$$V_a = \frac{a+b}{2} \qquad E_a = \frac{b-a}{2}.$$El mayor error relativo posible ocurre cuando el valor real es el más pequeño, así que divide entre el extremo izquierdo: $E_r^{\max} = \dfrac{E_a}{a}$.
A veces dos aproximaciones distintas dan dos intervalos distintos para la misma incógnita $x$. Entonces $x$ debe estar en ambos, así que tomas la intersección.
Una báscula de cocina da una lectura de $250$ oz con una cota de error absoluto de $5$ oz. Escriba en forma de intervalo matemático el rango de valores en el que se…
Una báscula de cocina da una lectura de $250$ oz con una cota de error absoluto de $5$ oz. Escriba en forma de intervalo matemático el rango de valores en el que se encuentra el peso real del objeto.
El siguiente diagrama muestra el intervalo de confianza de una medición en un experimento de física, donde el punto central representa el valor aproximado $V_a$ y los…
El siguiente diagrama muestra el intervalo de confianza de una medición en un experimento de física, donde el punto central representa el valor aproximado $V_a$ y los extremos representan los límites dados por la cota de error absoluto $E_a$. Si los extremos del intervalo son $14.35$ y $14.65$, determine el valor aproximado $V_a$, la cota de error absoluto $E_a$ y el error relativo máximo posible.
Se sabe que al aproximar un número $x$ por $3.14$, el error absoluto cometido es menor que $0.005$. Por otro lado, al aproximar el mismo número $x$ por $3.146$, el error…
Se sabe que al aproximar un número $x$ por $3.14$, el error absoluto cometido es menor que $0.005$. Por otro lado, al aproximar el mismo número $x$ por $3.146$, el error absoluto es menor que $0.002$. Exprese ambas condiciones como intervalos, calcule su intersección y determine el rango de valores posibles para el número exacto $x$.
Cómo hallar el valor real a partir de un error relativo
A veces conoces la aproximación y el error relativo, y debes hallar el valor real. Escribe la definición como una ecuación y resuélvela. Por el valor absoluto, hay dos casos: el valor real está por encima de la aproximación o por debajo de ella.
Ahora un hecho general. Si un número se redondea, el peor error relativo ocurre cuando el número real es lo más pequeño posible, porque entonces divides entre el valor más pequeño.
Un analista financiero estima el precio de una acción en bolsa. Sabemos que el error relativo de su estimación ha sido exactamente del $4\%$. Si el valor estimado que…
Un analista financiero estima el precio de una acción en bolsa. Sabemos que el error relativo de su estimación ha sido exactamente del $4\%$. Si el valor estimado que publicó fue de $\$26.00$, plantee y resuelva las ecuaciones necesarias para encontrar los dos posibles valores reales exactos que podría tener la acción.
Demuestre matemáticamente que si un número positivo $x$ se redondea a las unidades obteniendo una aproximación $A$, el error relativo $E_r$ siempre cumple la desigualdad…
Demuestre matemáticamente que si un número positivo $x$ se redondea a las unidades obteniendo una aproximación $A$, el error relativo $E_r$ siempre cumple la desigualdad $E_r \le \frac{0.5}{A - 0.5}$. Aplique esta fórmula para encontrar la cota máxima de error relativo al redondear a $A = 5$.
Errores en sumas, productos y cocientes
Cuando calculas con medidas aproximadas (un área, una velocidad), los errores pasan a la respuesta. Para ver cuánto, halla los resultados más pequeño y más grande usando las entradas más pequeñas y más grandes posibles.
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Sumas: las cotas de error se suman. (Lo mismo vale para las restas, en el peor caso.)
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Productos de números positivos: resultado menor = (menor)(menor), resultado mayor = (mayor)(mayor).
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Cocientes de números positivos: resultado mayor = numerador mayor $\div$ denominador menor, resultado menor = numerador menor $\div$ denominador mayor.
Un arquitecto mide las dimensiones de una habitación rectangular obteniendo $4.5$ pies de largo y $3.2$ pies de ancho. Sabe que su cinta métrica tiene una cota de error…
Un arquitecto mide las dimensiones de una habitación rectangular obteniendo $4.5$ pies de largo y $3.2$ pies de ancho. Sabe que su cinta métrica tiene una cota de error absoluto de $0.1$ pies en cada medida. Calcule el área medida y determine entre qué valores máximo y mínimo se encuentra el área real de la habitación.
La velocidad de propagación de una señal en una red de fibra óptica se calcula mediante la fórmula $v = \frac{d}{t}$. Se mide una distancia $d = 1200 \pm 5$ m y un…
La velocidad de propagación de una señal en una red de fibra óptica se calcula mediante la fórmula $v = \frac{d}{t}$. Se mide una distancia $d = 1200 \pm 5$ m y un tiempo $t = 0.006 \pm 0.0001$ s. Calcule los valores máximo y mínimo posibles para la velocidad $v$, y deduzca a partir de ellos la cota de error absoluto general de la medición de la velocidad.
Potencias, raíces y cómo crecen los errores
¿Qué pasa cuando una medida se eleva al cuadrado, al cubo o a una potencia grande? Supón que un lado $s$ se mide $1\%$ más grande, así que usas $1.01\,s$. Entonces
$$(1.01\,s)^3 = 1.030301\,s^3,$$así que el volumen sale aproximadamente $3.03\%$ más grande, cerca de $3\%$. En general, si escribimos un error relativo pequeño como $\varepsilon$,
$$(1 + \varepsilon)^n = 1 + n\varepsilon + (\text{términos diminutos}),$$porque $\varepsilon^2$ es mucho más pequeño que $\varepsilon$ cuando $\varepsilon$ es pequeño.
Para una función como $y = \sqrt{x}$ que siempre es creciente, sustituye los extremos del intervalo de $x$ en la función. Eso da los extremos de $y$.
El caso más dramático de crecimiento es un exponente grande, como los años en el interés compuesto, $A = P(1 + r)^t$.
En la fabricación de una pieza cilíndrica para un motor de alta precisión, se requiere que el radio sea $r = 2.50$ pulgadas y la altura $h = 8.00$ pulgadas. Si la…
En la fabricación de una pieza cilíndrica para un motor de alta precisión, se requiere que el radio sea $r = 2.50$ pulgadas y la altura $h = 8.00$ pulgadas. Si la maquinaria tiene una cota de error relativo del $1\%$ en cualquier medida lineal, demuestre algebraicamente si el error relativo máximo en el cálculo del volumen del cilindro ($V = \pi r^2 h$) será del $1\%$, $2\%$ o $3\%$. Asuma que los errores relativos son lo suficientemente pequeños para sumar sus aproximaciones lineales.
Un estudiante debe calcular el valor de $y = \sqrt{x}$. Sabe que el valor exacto de $x$ pertenece al intervalo $[15.8, 16.2]$. Si decide utilizar $x = 16$ para…
Un estudiante debe calcular el valor de $y = \sqrt{x}$. Sabe que el valor exacto de $x$ pertenece al intervalo $[15.8, 16.2]$. Si decide utilizar $x = 16$ para simplificar, obteniendo $y = 4$, determine la cota superior del error absoluto que está cometiendo en la variable $y$.
Al calcular el interés compuesto de un capital inicial de $\$10\,000$ al $5\%$ anual durante $10$ años, un contador decide truncar la tasa de crecimiento anual de $1.05…
Al calcular el interés compuesto de un capital inicial de $\$10\,000$ al $5\%$ anual durante $10$ años, un contador decide truncar la tasa de crecimiento anual de $1.05$ a $1.0$ en sus cálculos preliminares. Calcule el error absoluto y el error relativo que comete en el cálculo del capital final. ¿Qué conclusión puede extraer sobre la propagación de errores en operaciones con exponentes elevados?
Volvamos al comienzo: tu aplicación se equivocó por $0.03$ mi en una caminata de $2.43$ mi, así que $E_r = \tfrac{0.03}{2.43} \approx 1.2\%$. Es una estimación decente para una caminata. El mismo error de $0.03$ mi en un vuelo de $3{,}000$ millas a través del país sería $E_r = 0.001\%$, que es excelente. El mismo error absoluto puede ser bueno o malo según el tamaño de la cantidad, y eso es lo que te dice el error relativo.