"Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente"
Estás en la rueda de la fortuna de la feria del condado. Subes, pasas por la parte más alta, bajas hasta el punto más bajo y vuelves a subir: tu altura se repite cada pocos minutos. Las mareas, las ondas de sonido, la electricidad de un enchufe de la pared y hasta tu respiración siguen el mismo tipo de patrón repetitivo. A estos fenómenos los llamamos periódicos. ¿Puede una fórmula corta darte tu altura en cualquier momento del paseo? Al final de esta página lo sabrás.
Ángulos en radianes y la circunferencia unitaria
Para graficar el seno y el coseno medimos los ángulos en radianes. Media vuelta son $\pi$ radianes, así que $\pi \text{ rad} = 180^\circ$ y una vuelta completa son $2\pi$.
La circunferencia unitaria (o círculo unitario) es la circunferencia de radio $1$ con centro en el origen. Elige un ángulo $x$ y recorre la circunferencia desde el punto $(1, 0)$ en sentido contrario a las manecillas del reloj. Llegas a un punto $(\cos x,\ \sin x)$:
$\cos x$ es la coordenada $x$ del punto.
$\sin x$ es la coordenada $y$ del punto.
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ es la coordenada $y$ dividida entre la coordenada $x$, es decir, la pendiente de la recta que va del origen al punto.
Memoriza esta tabla. Todo lo demás de la página se construye a partir de ella.
Ángulo $x$ (grados)
$0$ ($0^\circ$)
$\tfrac{\pi}{6}$ ($30^\circ$)
$\tfrac{\pi}{4}$ ($45^\circ$)
$\tfrac{\pi}{3}$ ($60^\circ$)
$\tfrac{\pi}{2}$ ($90^\circ$)
$\sin x$
$0$
$\tfrac12$
$\tfrac{\sqrt2}{2}$
$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$1$
$\cos x$
$1$
$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\tfrac{\sqrt2}{2}$
$\tfrac12$
$0$
Los cuatro puntos sobre los ejes son todavía más fáciles. Léelos directamente en la circunferencia:
Ángulo $x$
$0$
$\tfrac{\pi}{2}$
$\pi$
$\tfrac{3\pi}{2}$
Punto
$(1, 0)$
$(0, 1)$
$(-1, 0)$
$(0, -1)$
$\cos x$
$1$
$0$
$-1$
$0$
$\sin x$
$0$
$1$
$0$
$-1$
Para ángulos en otros cuadrantes, usa la imagen en espejo del punto. El ángulo $\dfrac{5\pi}{6}$ es $\pi - \dfrac{\pi}{6}$. Su punto está a la misma altura que el punto de $\dfrac{\pi}{6}$, así que $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac12$. El ángulo $\dfrac{7\pi}{6}$ está a la misma distancia por debajo del eje $x$, así que $\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac12$. Solo cambia el signo. Los signos dependen del cuadrante: $\sin$ es positivo por encima del eje $x$ y $\cos$ es positivo a la derecha del eje $y$.
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Evalúa la función $g(x) = 2\cos(x) - 1$ en los valores $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ y $x = \frac{3\pi}{2}$.
Evalúa la función $g(x) = 2\cos(x) - 1$ en los valores $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ y $x = \frac{3\pi}{2}$.
Si graficas la altura $\sin x$ del punto de la circunferencia unitaria contra el ángulo $x$, obtienes la onda del seno.
La onda sube hasta $1$, baja hasta $-1$ y luego se repite sin fin, en ambas direcciones. La gráfica del coseno es la misma onda, pero empieza en su punto más alto, $(0, 1)$.
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Encuentra todos los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) de la función $y = \sin(x)$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$.
Encuentra todos los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) de la función $y = \sin(x)$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$.
¿Y si la onda es más alta, o más rápida? Dos números lo controlan en $f(x) = A\sin(Bx)$.
Mueve los controles deslizantes. Un $A$ mayor estira la onda verticalmente. Un $B$ mayor la comprime horizontalmente.
Los mismos dos pasos sirven para cualquier función de esta forma. Para $f(x) = 6\sin(2x)$, lee $A = 6$ y $B = 2$: la amplitud es $6$ y el período es $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$.
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Determina la amplitud y el periodo de la función trigonométrica $f(x) = 4\sin(3x)$.
Determina la amplitud y el periodo de la función trigonométrica $f(x) = 4\sin(3x)$.
Una onda sonora pura emitida por un diapasón se modela mediante la función $P(t) = 0.02 \sin(880\pi t)$, donde $P$ representa la variación de presión en pascales y $t$…
Una onda sonora pura emitida por un diapasón se modela mediante la función $P(t) = 0.02 \sin(880\pi t)$, donde $P$ representa la variación de presión en pascales y $t$ el tiempo transcurrido en segundos. Determina la amplitud de la onda y su frecuencia (el número de ciclos completos que realiza por segundo).
Una función es par si $f(-x) = f(x)$. Su gráfica es simétrica respecto al eje $y$. Es impar si $f(-x) = -f(x)$. Su gráfica queda igual después de un giro de $180^\circ$ alrededor del origen.
Para decidir si una gráfica es de seno o de coseno, fíjate en el eje $y$. Si pasa por $(0, 0)$ y es impar, es una curva de seno. Si pasa por $(0, 1)$ y es par, es una curva de coseno. Mira de nuevo la gráfica del seno de la sección anterior: pasa por $(0, 0)$ y su mitad izquierda es su mitad derecha girada $180^\circ$ alrededor del origen. Esa es la señal de una función impar, así que es una curva de seno. Justifica una gráfica así: nombra la intersección con el eje $y$ y luego nombra la simetría.
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Observa la siguiente gráfica y determina si corresponde a la función seno o a la función coseno. Justifica tu respuesta indicando el punto de corte con el eje Y y el…
Observa la siguiente gráfica y determina si corresponde a la función seno o a la función coseno. Justifica tu respuesta indicando el punto de corte con el eje Y y el tipo de simetría que presenta.
Como $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, la tangente se rompe donde $\cos x = 0$. Cerca de esos ángulos sube o baja sin límite.
Las situaciones reales también tienen asíntotas. Imagina el haz de un faro que barre una costa recta. La distancia a lo largo de la costa hasta el punto iluminado es una función tangente del ángulo del haz. Cuando el haz apunta en paralelo a la costa, el punto estaría infinitamente lejos, así que el haz nunca toca la costa. Ese momento es una asíntota vertical.
En un problema real, el dominio es solo la parte del dominio matemático que tiene sentido físico. Empieza en el primer instante del problema y detente antes de la primera asíntota.
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Calcula el periodo exacto de la función $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.
Calcula el periodo exacto de la función $y = \tan\left(\frac{x}{3}\right)$.
El haz de luz de un faro giratorio ilumina un acantilado recto y largo. La distancia $d$ (en pies) desde el punto más cercano del acantilado hasta el punto iluminado en…
El haz de luz de un faro giratorio ilumina un acantilado recto y largo. La distancia $d$ (en pies) desde el punto más cercano del acantilado hasta el punto iluminado en el instante $t$ (en segundos) viene dada por la función $d(t) = 200 \tan\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. Determina el dominio de esta función en el contexto físico del problema (para el primer giro) e interpreta qué sucede con el haz de luz cuando $t$ se acerca a $2\text{ segundos}$.
Ahora desliza una onda hacia arriba o hacia abajo. Sumar $D$ a una función mueve toda su gráfica $D$ unidades hacia arriba, la misma traslación que usaste en Matemáticas de 8.º grado. Un $D$ negativo mueve la gráfica hacia abajo. Entonces la onda oscila alrededor de una nueva recta central llamada línea media, $y = D$.
Prueba con un $A$ negativo. La onda se voltea: empieza bajando en lugar de subir.
Fíjate en el atajo: cuando $B = \dfrac{\pi}{k}$, el período es $\dfrac{2\pi}{\pi/k} = 2k$. Así, $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t\right)$ tiene período $6$ y $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}t\right)$ tendría período $10$.
Volvamos a la rueda de la fortuna del principio: esta única fórmula te da tu altura en cada momento. Se repite cada $6$ minutos y nunca subes más de $75$ pies ni bajas de $5$ pies.
Una línea media negativa es perfectamente válida. Ocurre cuando mides una posición desde un punto de referencia fijo y el objeto está del lado negativo.
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Indica el dominio y el recorrido de la función trigonométrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.
Indica el dominio y el recorrido de la función trigonométrica $h(x) = 5\sin(x) + 2$.
Describe qué transformación geométrica sufre la gráfica de la función $f(x) = \cos(x)$ para convertirse en la gráfica de $g(x) = \cos(x) - 3$. ¿Cuál es el nuevo…
Describe qué transformación geométrica sufre la gráfica de la función $f(x) = \cos(x)$ para convertirse en la gráfica de $g(x) = \cos(x) - 3$. ¿Cuál es el nuevo recorrido de la función $g(x)$?
Un peso colgado del extremo de un resorte oscila verticalmente. Su posición respecto al techo viene dada por la ecuación $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, medida en pulgadas.…
Un peso colgado del extremo de un resorte oscila verticalmente. Su posición respecto al techo viene dada por la ecuación $y(t) = 8\cos(4t) - 20$, medida en pulgadas. Indica a qué distancia del techo se encuentra el peso en el instante inicial ($t=0$), cuál es su posición más baja (mayor distancia al techo) y cuál es el periodo de oscilación del resorte.
Deslizar una onda a la izquierda o a la derecha es una traslación horizontal, llamada desfase (phase shift). Junta todo y obtienes la forma general.
Cuando la entrada es un día del año o una hora, el desfase te dice cuándo "empieza" el ciclo. Un desfase de $80$ días significa que la onda cruza su línea media subiendo en el día $80$.
Dos datos ayudan con este tipo de modelo. Primero, el período es $365$ días, así que medio período son unos $182.5$ días. Medio período después de que la onda cruza su línea media subiendo, la cruza bajando. Por eso la luz del día vuelve a ser de unas $12$ horas medio año después del día $80$. Segundo, escribe todo lo de adentro entre paréntesis en tu calculadora, en modo de radianes.
El seno y el coseno son la misma forma en posiciones distintas. El siguiente ejemplo lo demuestra con traslaciones.
De la misma manera, $\cos\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin x$.
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El número de horas de luz solar en una determinada ciudad a lo largo del año se puede aproximar mediante la función…
El número de horas de luz solar en una determinada ciudad a lo largo del año se puede aproximar mediante la función $H(d) = 12 + 3\sin\left(\frac{2\pi}{365}(d-80)\right)$, donde $d$ representa el día del año ($d=1$ es el 1 de enero). ¿Cuántas horas de luz hay exactamente el día $d=80$? ¿Y el día $d=262$ (medio año después)? Interpreta el significado de ambos resultados.
Dibuja un bosquejo de la función $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Explica paso a paso cómo se obtiene esta gráfica aplicando traslaciones y dilataciones a…
Dibuja un bosquejo de la función $g(x) = 3\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Explica paso a paso cómo se obtiene esta gráfica aplicando traslaciones y dilataciones a la gráfica original de la función $f(x) = \sin(x)$.
Demuestra mediante el análisis de traslaciones horizontales que la función $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ es equivalente a la función $g(x) = \cos(x)$.…
Demuestra mediante el análisis de traslaciones horizontales que la función $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ es equivalente a la función $g(x) = \cos(x)$. Utiliza los conceptos de desfase, periodicidad y la forma de sus gráficas para justificar tu respuesta.
Muchas veces te dan una gráfica o la descripción de un patrón que se repite y debes escribir la fórmula. Sigue estos pasos.
Cuando el ejercicio pide la forma $h(t) = A\sin(Bt) + D$, la gráfica debe empezar en su línea media.
Las gráficas de datos anuales funcionan igual, pero el período es de $12$ meses.
Cuando un problema describe el movimiento con palabras, traduce cada frase. "Desplazamiento máximo" es la amplitud $A$. "Un ciclo completo de ida y vuelta cada $T$ segundos" significa que el período es $T$, así que $B = \dfrac{2\pi}{T}$.
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El nivel del agua en un puerto varía periódicamente debido a las mareas. La siguiente gráfica muestra la altura del agua en pies a lo largo de $24\text{ horas}$.…
El nivel del agua en un puerto varía periódicamente debido a las mareas. La siguiente gráfica muestra la altura del agua en pies a lo largo de $24\text{ horas}$. Determina la amplitud, el periodo y la altura media del agua. A partir de estos datos, propón una expresión trigonométrica del tipo $h(t) = A\sin(Bt) + D$ que se ajuste a la gráfica mostrada.
El péndulo de un reloj de pared oscila de un lado a otro. Su desplazamiento horizontal en pulgadas respecto al centro se modela con la función $x(t) = A \cos(Bt)$. Si se…
El péndulo de un reloj de pared oscila de un lado a otro. Su desplazamiento horizontal en pulgadas respecto al centro se modela con la función $x(t) = A \cos(Bt)$. Si se sabe que el péndulo alcanza un desplazamiento máximo de $12\text{ cm}$ y completa un ciclo entero de ida y vuelta cada $2\text{ segundos}$, determina los valores exactos de los parámetros $A$ y $B$. Además, calcula en qué instantes exactos durante los primeros $4\text{ segundos}$ el péndulo pasa justo por la posición central de equilibrio.
La temperatura media mensual de una ciudad se modela con una función trigonométrica. Observa la gráfica que representa la temperatura $T$ en grados Fahrenheit en función…
La temperatura media mensual de una ciudad se modela con una función trigonométrica. Observa la gráfica que representa la temperatura $T$ en grados Fahrenheit en función del mes $m$ (donde $m=0$ equivale a principios de enero, $m=1$ a principios de febrero, etc.). Determina los valores de los parámetros $A, B, C$ y $D$ para que la función $T(m) = A \cos(B(m - C)) + D$ represente fielmente esta curva.
Una vez que tienes una fórmula, puedes leer datos directamente de ella.
Volvamos a la rueda de la fortuna: un modelo como $h(t) = 40 - 35\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t\right)$ te permite responder "¿Cuántas vueltas da en $30$ minutos?" Divide: $30 \div 6 = 5$ vueltas.
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La altura en pies a la que se encuentra una de las cabinas de una rueda de la fortuna en función del tiempo en minutos viene dada por la expresión…
La altura en pies a la que se encuentra una de las cabinas de una rueda de la fortuna en función del tiempo en minutos viene dada por la expresión $h(t) = 20 - 15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$. Calcula la altura máxima y mínima que alcanza la rueda de la fortuna, y determina el tiempo exacto que tarda en dar una vuelta completa.
El voltaje de una corriente alterna en una instalación doméstica se puede expresar mediante la función $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, donde $V$ es el voltaje en voltios y…
El voltaje de una corriente alterna en una instalación doméstica se puede expresar mediante la función $V(t) = 325 \sin(100\pi t)$, donde $V$ es el voltaje en voltios y $t$ el tiempo en segundos. Calcula el voltaje máximo alcanzado y averigua cuántas veces por segundo el voltaje toma exactamente el valor de $0\text{ voltios}$.
El volumen de aire presente en los pulmones de una persona en reposo, medido en litros, se modela mediante la función $V(t) = 2.5 + 0.5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$,…
El volumen de aire presente en los pulmones de una persona en reposo, medido en litros, se modela mediante la función $V(t) = 2.5 + 0.5\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$, donde $t$ se mide en segundos. Calcula el volumen máximo y mínimo de aire en los pulmones. A partir del periodo de la función, determina cuántas respiraciones completas (ciclos completos de inhalación y exhalación) realiza esta persona en un minuto exacto.
A veces conoces la salida y quieres la entrada, como en "¿Cuándo está la marea por encima de $9$ pies?" Usa la gráfica y la circunferencia unitaria juntas.
Ecuaciones. Para resolver $\cos x = \dfrac12$ en $[0, 2\pi]$, busca dónde la coordenada $x$ de la circunferencia unitaria es igual a $\dfrac12$. Eso ocurre en dos ángulos, imágenes en espejo respecto al eje $x$: $x = \dfrac{\pi}{3}$ y $x = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}$.
Ecuaciones con seno y coseno a la vez. Si $\sin x$ y $\cos x$ aparecen juntos, divide entre $\cos x$ para convertir la ecuación en una sobre $\tan x$. Esto solo se permite si $\cos x \neq 0$, así que primero comprueba que $\cos x = 0$ no pueda ser una solución.
Desigualdades. Halla los extremos con la ecuación y luego usa la gráfica para ver de qué lado está por encima o por debajo.
Cuando la variable es el tiempo en meses, di qué significan los números en el calendario. Si $t = 0$ es el 1 de enero, entonces $t = 1$ es el 1 de febrero, $t = 2$ es el 1 de marzo, y así sucesivamente.
Ciclos que coinciden. Una onda $\sin\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)$ tiene período $T$ y cruza el cero subiendo en $t = 0, T, 2T, \dots$ Para hallar cuándo dos ondas así cruzan el cero subiendo al mismo tiempo, busca un múltiplo común de sus períodos. El primer tiempo después de $0$ es el mcm.
Practica★★★Sin empezar
Encuentra analíticamente todos los puntos de intersección (coordenadas $x$ e $y$) de las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo…
Encuentra analíticamente todos los puntos de intersección (coordenadas $x$ e $y$) de las gráficas de las funciones $f(x) = \sin(x)$ y $g(x) = \cos(x)$ en el intervalo cerrado $[0, 2\pi]$. Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de las funciones trigonométricas.
Según la teoría de los biorritmos, la capacidad física de una persona sigue un ciclo sinusoidal de $23\text{ días}$ y la capacidad emocional un ciclo de…
Según la teoría de los biorritmos, la capacidad física de una persona sigue un ciclo sinusoidal de $23\text{ días}$ y la capacidad emocional un ciclo de $28\text{ días}$. Si ambas capacidades se modelan con funciones seno de amplitud $1$ que parten de cero el día del nacimiento ($t=0$), escribe las funciones $F(t)$ y $E(t)$. ¿Cuántos días exactos deben pasar desde el nacimiento para que ambas capacidades vuelvan a cruzar el valor cero simultáneamente, pasando ambas a tener valores positivos?
La población de conejos en una reserva natural fluctúa anualmente según el modelo $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, donde $t$ representa el tiempo en…
La población de conejos en una reserva natural fluctúa anualmente según el modelo $P(t) = 800 + 300\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$, donde $t$ representa el tiempo en meses ($t=0$ es el 1 de enero). Plantea y resuelve la inecuación trigonométrica correspondiente para determinar exactamente durante qué meses del primer año la población se mantiene strictly por encima de los $950\text{ conejos}$.