Te conviene dominar: Traslaciones (Matemáticas Integradas I)
Maya deposita $\$500$ en una cuenta de ahorros que paga 6% de interés cada año. ¿Después de cuántos años tendrá $\$1{,}000$? Puedes escribir la ecuación $500(1.06)^t = 1000$, pero ¿cómo sacas $t$ del exponente? Necesitas una operación que deshaga las potencias. Esa operación es el logaritmo, y en esta página aprenderás a calcularlo, a graficarlo y a usarlo para resolver ecuaciones.
Qué significa un logaritmo
Un logaritmo responde una pregunta: "¿Qué exponente necesito?" Como $2^5 = 32$, el exponente que convierte el $2$ en $32$ es $5$. Lo escribimos así: $\log_2 32 = 5$.
Dos bases son tan comunes que tienen su propia tecla en la calculadora. El logaritmo común tiene base 10: $\log x$ significa $\log_{10} x$. El logaritmo natural tiene base $e \approx 2.718$: $\ln x$ significa $\log_e x$.
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Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora: a) $\log_2 32$ b) $\log_3 \frac{1}{9}$ c) $\log 10000$
Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición, sin utilizar la calculadora:
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo: a) $\log_x 25 = 2$ b) $\log_5 x = 3$ c) $\log_2 64 = x$
Halla el valor de la incógnita $x$ en cada una de las siguientes igualdades utilizando la definición de logaritmo:
En química, el nivel de acidez de una disolución se mide mediante el pH, que se define empleando un logaritmo decimal con la fórmula $pH = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es…
En química, el nivel de acidez de una disolución se mide mediante el pH, que se define empleando un logaritmo decimal con la fórmula $pH = -\log[H^+]$, donde $[H^+]$ es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Si una muestra de jugo de limón tiene una concentración de iones de hidrógeno de $10^{-3}$ mol/L, calcula su pH.
Mueve el deslizador y observa la gráfica. Nunca toca el eje $y$ ni pasa a su izquierda.
Para hallar el dominio de una función logarítmica más complicada, plantea que el argumento sea mayor que $0$ y resuelve la desigualdad (también llamada inecuación). El resultado de un logaritmo puede ser cualquier número real, pero el argumento debe ser positivo.
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Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas: a) $f(x) = \log(x - 5)$ b) $g(x) = \ln(2x + 8)$
Determina el dominio de definición de las siguientes funciones logarítmicas:
Observa que las dos gráficas son imágenes especulares respecto al eje $x$. De hecho, $\log_{1/2} x = -\log_2 x$.
El punto $(a, 1)$ es una forma rápida de leer la base en una gráfica: busca dónde la curva está a altura $1$; la coordenada $x$ de ese punto es la base. Por ejemplo, si una gráfica pasa por $(5, 1)$, la función es $\log_5 x$. Además, $\ln x$ es creciente porque $e \approx 2.718 > 1$.
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Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes: a) $f(x) = \log_3 x$ b)…
Indica, razonando tu respuesta y sin necesidad de dibujarlas, cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes:
Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus…
Observa las gráficas de las funciones logarítmicas representadas en la imagen superior. Asocia, justificando tu respuesta, la Función A y la Función B con sus respectivas expresiones analíticas:
La exponencial $y = a^x$ convierte un exponente en un número. El logaritmo $y = \log_a x$ hace lo contrario: convierte un número otra vez en un exponente. Son funciones inversas.
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La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$. a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$. b) Explica el significado…
La imagen muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = e^x$ y su función inversa $g(x)$.
a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$.
b) Explica el significado geométrico de la recta punteada naranja $y = x$ en relación con ambas curvas.
c) Determina el dominio y el recorrido de ambas funciones, justificando cómo se intercambian entre una función y su inversa.
Las gráficas logarítmicas se mueven igual que cualquier otra gráfica que ya hayas trasladado.
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Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$: a) Determina su dominio analíticamente. b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical. c) ¿Hacia qué dirección…
Dada la función $f(x) = \log_3(12 - 3x)$:
a) Determina su dominio analíticamente.
b) Indica cuál es la ecuación de su asíntota vertical.
c) ¿Hacia qué dirección (izquierda o derecha) se abre la gráfica de esta función respecto a su asíntota?
A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$: a) Indica el valor de $b$…
A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada arriba, que corresponde a un logaritmo desplazado de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$:
a) Indica el valor de $b$ observando la asíntota vertical.
b) Utiliza el punto $B(1, 2)$ para calcular la base $a$ del logaritmo.
c) Escribe la expresión analítica completa de la función.
Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$. Plantea un sistema de…
Se sabe que una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a(x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0, 0)$ y por el punto $(6, 1)$.
Plantea un sistema de ecuaciones para encontrar los valores de los parámetros $a$ y $b$. Una vez hallados, escribe la expresión analítica final de la función e indica cuál es su asíntota vertical.
Los exponentes se suman cuando multiplicas potencias: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Como los logaritmos son exponentes, convierten la multiplicación en suma.
Las dos curvas de arriba coinciden exactamente: $\log(2x) = \log x + \log 2$, y $\log 2 \approx 0.301$.
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Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.
Sabiendo que, aproximadamente, $\log 2 = 0,301$, calcula el valor de $\log 8$ utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos.
Sabiendo que $\log 2 = 0,301$ y $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la…
Sabiendo que $\log 2 = 0,301$ y $\log 3 = 0,477$, calcula el valor de $\log 12$ y de $\log 5$ utilizando las propiedades de los logaritmos, sin usar directamente la tecla log de la calculadora para esos números. (Pista: recuerda que $5 = \frac{10}{2}$).
Expandir significa usar las propiedades para escribir un logaritmo como suma y resta de logaritmos sencillos. Condensar es lo contrario: combinar varios logaritmos en uno solo.
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Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de…
Desarrolla la siguiente expresión aplicando las propiedades de los logaritmos (logaritmo de un producto, cociente y potencia), de forma que queden logaritmos de variables simples:
Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$
Encuentra los valores de $x$ e $y$ que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log x - \log y = 1 \end{cases}$
Cuando la incógnita está en un exponente, toma el logaritmo de ambos lados. La regla de la potencia baja el exponente para que puedas despejarlo.
Aquí está la gráfica de la cuenta de Maya ($y = 1.06^t$) y la recta $y = 2$, que significa que el saldo se duplicó. Se cruzan en aproximadamente $t = 11.9$.
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Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es…
Un capital se invierte en un fondo bancario que ofrece un interés compuesto anual. La fórmula que rige el capital acumulado $C$ a lo largo de los años $t$ es $C = C_0 \cdot 1,04^t$, donde $C_0$ es el capital inicial. Si se invierten $\$2000$, determina cuántos años completos deben transcurrir para que el capital supere los $\$3000$. Usa logaritmos para despejar la incógnita.
La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función…
La prueba del Carbono-14 se utiliza para datar restos orgánicos antiguos. La proporción de C-14 disminuye exponencialmente con el tiempo según la función $P(t) = 100 \cdot 0,5^{\frac{t}{5730}}$, donde $P$ es el porcentaje de C-14 restante respecto al original y $t$ es el tiempo transcurrido en años.
Si se descubre un fósil que conserva únicamente el $15\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuál es la antigüedad estimada del fósil? Expresa el resultado en años y redondea a la unidad.
Algunas cantidades, como la intensidad del sonido o la energía de un terremoto, van desde valores diminutos hasta enormes. Un logaritmo comprime ese rango tan grande en números pequeños y fáciles de manejar.
Mira la gráfica: $x$ va de $1$ hasta $100$, pero $\log x$ solo va de $0$ a $2$. Un logaritmo crece muy lentamente.
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La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los…
La intensidad del sonido se mide en decibelios (dB) mediante una función logarítmica. La fórmula es $d = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)$, donde $d$ son los decibelios, $I$ es la intensidad del sonido e $I_0$ es la intensidad umbral de audición (una constante). Despeja la intensidad $I$ en función de los decibelios $d$ e $I_0$.
La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda…
La escala de Richter para medir la magnitud de los terremotos es logarítmica y se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud de la onda sísmica y $A_0$ es una amplitud de referencia.
Un terremoto en la ciudad Alfa tuvo una magnitud de $6$ en la escala de Richter, y otro en la ciudad Beta tuvo una magnitud de $8$. ¿Cuántas veces mayor fue la amplitud de la onda sísmica del terremoto de Beta en comparación con el de Alfa? Demuestra tu razonamiento matemáticamente.
En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenación depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo…
En informática, el tiempo de ejecución $T$ de un determinado algoritmo de ordenación depende de la cantidad de datos $n$ a procesar, y sigue una función del tipo $T(n) = k \cdot n \cdot \log_2 n$, donde $k$ es una constante propia de la computadora.
Si al procesar $n = 8$ datos la computadora tarda $T = 24$ milisegundos:
a) Calcula el valor de la constante $k$.
b) ¿Cuánto tiempo tardará la misma computadora en procesar $n = 32$ datos?