Concavidad y puntos de inflexión
Imagina una montaña rusa. En el fondo de una bajada, la vía se curva hacia arriba como un tazón. En la cima de una colina, se curva hacia abajo como un arco. En algún lugar entre una bajada y la siguiente colina, la curvatura cambia. ¿Dónde está ese punto y qué nos dice sobre el recorrido? Al final de esta página podrás responder eso para cualquier gráfica.
Cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo
Una curva puede curvarse de dos maneras.
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Cóncava hacia arriba ($\cup$) (concave up): la gráfica se curva como un tazón o una sonrisa. Podría "guardar agua".
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Cóncava hacia abajo ($\cap$) (concave down): la gráfica se curva como un arco o un ceño fruncido. El agua se escurriría.
Algunos problemas llaman convexa a una gráfica cóncava hacia arriba y cóncava a una cóncava hacia abajo. Son las mismas dos ideas con otros nombres, así que fíjate en el símbolo $\cup$ o $\cap$ si no estás seguro de lo que quiere decir un problema.
Hay una segunda manera de verlo, y es la que más importa en las aplicaciones. Observa la pendiente al moverte de izquierda a derecha.
Las pendientes $1, 3, 5, 7$ aumentan continuamente. Eso es lo que significa ser cóncava hacia arriba: la gráfica se vuelve más empinada (o menos empinada hacia abajo) a medida que $x$ aumenta. En una gráfica cóncava hacia abajo las pendientes disminuyen continuamente.
Explora una parábola con el control deslizante. Observa qué pasa cuando $a$ es positivo, negativo y exactamente $0$.
Una pista de patinaje (tipo half-pipe) tiene una sección transversal cuya forma se puede modelar matemáticamente mediante la parábola $y = 0.5x^2$. ¿Qué tipo de…
Una pista de patinaje (tipo half-pipe) tiene una sección transversal cuya forma se puede modelar matemáticamente mediante la parábola $y = 0.5x^2$.
¿Qué tipo de curvatura presenta la pista, cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$)? ¿Existe algún punto de inflexión en esta estructura continua?
Durante un partido de básquetbol, un jugador lanza el balón hacia la canasta. La trayectoria del balón sigue la ecuación $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, donde $h$ es la altura…
Durante un partido de básquetbol, un jugador lanza el balón hacia la canasta. La trayectoria del balón sigue la ecuación $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, donde $h$ es la altura en pies y $t$ el tiempo en segundos.
¿La trayectoria descrita por el balón es cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$)? ¿Existe algún punto de inflexión en el vuelo del balón? Razone su respuesta basándose en la forma de la gráfica.
Parábolas: el coeficiente principal decide
En una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ no necesitas la gráfica para saber cómo se curva. El signo del coeficiente principal $a$ te lo dice todo.
¿Por qué funciona? La pendiente de una parábola cambia a un ritmo constante. Cuando $a>0$ la pendiente siempre aumenta, y cuando $a<0$ siempre disminuye. Nunca pasa de una situación a la otra.
Cuando el coeficiente tiene un parámetro
A veces el coeficiente contiene una letra. Entonces planteas una desigualdad (también llamada inecuación).
Clasifique las siguientes funciones cuadráticas como cóncavas ($\cap$) o convexas ($\cup$) sin necesidad de representarlas gráficamente. Recuerde fijarse en el…
Clasifique las siguientes funciones cuadráticas como cóncavas ($\cap$) o convexas ($\cup$) sin necesidad de representarlas gráficamente. Recuerde fijarse en el coeficiente principal.
- a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$
- b) $g(x) = -x^2 + 5x$
- c) $h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4$
- d) $i(x) = 8 - 2x^2$
Determine los valores del parámetro $k$ para los cuales la función cuadrática $f(x) = (2k - 8)x^2 + 3x - 5$ es una parábola cóncava ($\cap$). ¿Para qué valor exacto de…
Determine los valores del parámetro $k$ para los cuales la función cuadrática $f(x) = (2k - 8)x^2 + 3x - 5$ es una parábola cóncava ($\cap$).
¿Para qué valor exacto de $k$ la función dejaría de tener curvatura? ¿Qué tipo de función se obtendría en ese caso concreto?
Considere la familia de funciones cuadráticas paramétricas dadas por la expresión $f(x) = (a^2 - 9)x^2 + 5x - 2$, donde $a$ es un número real. a) ¿Para qué valores…
Considere la familia de funciones cuadráticas paramétricas dadas por la expresión $f(x) = (a^2 - 9)x^2 + 5x - 2$, donde $a$ es un número real.
- a) ¿Para qué valores exactos del parámetro $a$ la función es una parábola convexa ($\cup$)?
- b) ¿Para qué valores de $a$ es una parábola cóncava ($\cap$)?
- c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual la gráfica de la función carezca de curvatura? En ese caso, ¿qué tipo de función geométrica se obtiene?
Suma de dos funciones
¿Qué pasa con la curvatura cuando sumas dos funciones? Piensa en las pendientes. La pendiente de una suma es la suma de las pendientes. Si ambas pendientes aumentan continuamente, su suma también aumenta.
Ten cuidado: esto no funciona con una función cóncava hacia arriba más una cóncava hacia abajo. En ese caso el resultado depende de cuál "gana".
En las cuadráticas lo puedes ver directamente en la fórmula.
Compruebe si la suma de dos funciones convexas ($\cup$) da como resultado siempre otra función convexa. Para investigarlo algebraicamente, tome las parábolas…
Compruebe si la suma de dos funciones convexas ($\cup$) da como resultado siempre otra función convexa.
Para investigarlo algebraicamente, tome las parábolas $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2x^2 - 4x + 1$, ambas convexas. Halle la expresión de la función suma $h(x) = f(x) + g(x)$ y analice el tipo de curvatura que presenta $h(x)$.
Rectas y otras curvas básicas
No todas las funciones se curvan. Y las que sí lo hacen pueden curvarse del mismo modo para siempre.
| Función | Curvatura |
|---|---|
| Recta $y = mx + b$ | Ninguna. Es recta, así que no es cóncava hacia arriba ni hacia abajo y no tiene punto de inflexión. |
| Parábola $y = ax^2 + bx + c$ | Siempre cóncava hacia arriba ($a>0$) o siempre cóncava hacia abajo ($a<0$). |
| Crecimiento exponencial $y = ab^x$ con $a > 0$, $b > 1$ | Siempre cóncava hacia arriba. |
| Variación inversa $y = k/x$ con $k > 0$ | Cóncava hacia arriba para $x>0$, cóncava hacia abajo para $x<0$. |
Una recta tiene pendiente constante, así que la pendiente nunca aumenta ni disminuye. Por eso un costo total como $C(x) = 5x + 1{,}000$ no tiene curvatura alguna.
Para $y = \dfrac{k}{x}$ con $k>0$, la gráfica tiene dos ramas separadas. En la rama derecha $(0, \infty)$ se curva como un tazón. En la rama izquierda $(-\infty, 0)$ se curva como un arco. Ten cuidado con si hay un punto de inflexión en $x=0$ (mira la siguiente sección: la función debe estar definida ahí).
En el crecimiento exponencial, la pendiente sigue aumentando. Cada año una cuenta de ahorros gana más dólares que el año anterior, así que la gráfica nunca se aplana y nunca pasa a ser cóncava hacia abajo.
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3}{x}$, analice su gráfica mentalmente o dibujando un boceto rápido. ¿Qué tipo de curvatura tiene en el…
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3}{x}$, analice su gráfica mentalmente o dibujando un boceto rápido.
¿Qué tipo de curvatura tiene en el intervalo $(0, +\infty)$? ¿Y en el intervalo $(-\infty, 0)$? ¿Se puede decir que en $x=0$ hay un punto de inflexión?
Una empresa de impresión 3D tiene unos costos fijos mensuales de $\$1000$ y un costo de producción de $\$5$ por cada pieza fabricada. La función de costo total viene…
Una empresa de impresión 3D tiene unos costos fijos mensuales de $\$1000$ y un costo de producción de $\$5$ por cada pieza fabricada. La función de costo total viene dada por $C(x) = 5x + 1000$.
¿Tiene esta función concavidad, convexidad o puntos de inflexión? Justifique su respuesta basándose en la representación gráfica de la función.
Un capital inicial de $\$1000$ se invierte en un fondo a un interés compuesto anual del $5\%$. La función que describe el capital acumulado a lo largo del tiempo $t…
Un capital inicial de $\$1000$ se invierte en un fondo a un interés compuesto anual del $5\%$. La función que describe el capital acumulado a lo largo del tiempo $t$ (en años) es $C(t) = 1000 \cdot (1.05)^t$.
Sabiendo que las funciones exponenciales con base mayor que $1$ tienen una curvatura característica, determine si esta función es cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$). ¿Llegará algún momento en el futuro en el que el ritmo de crecimiento del capital empiece a disminuir, generando así un punto de inflexión? Justifique su respuesta.
Puntos de inflexión
Ahora podemos responder la pregunta de la montaña rusa.
Este es el ejemplo más sencillo, $y = x^3$.
A la izquierda del origen la curva se dobla como un arco. A la derecha se dobla como un tazón. En $(0, 0)$ ocurre el cambio, así que el origen es el punto de inflexión. La recta tangente en un punto de inflexión atraviesa la curva de un lado al otro.
Los puntos de inflexión y los puntos de giro son diferentes
Un punto de giro (máximo o mínimo local) es donde la gráfica cambia entre subir y bajar. Un punto de inflexión es donde la gráfica cambia entre las dos curvaturas. Son ideas distintas. En $y=x^3$ la gráfica sube en todas partes, y sin embargo tiene un punto de inflexión.
Picos y valles
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Un máximo local suave (la cima de una colina) solo puede ocurrir en una región cóncava hacia abajo.
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Un mínimo local suave (el fondo de un valle) solo puede ocurrir en una región cóncava hacia arriba.
Piensa en la cima y en el fondo del valle: la colina es un arco y el valle es un tazón. Por eso, entre un pico y el siguiente valle, la gráfica debe cambiar de curvatura. En medio hay un punto de inflexión.
Cúbicas
Una cúbica con dos puntos de giro tiene exactamente un punto de inflexión, y está a la mitad entre ellos. De hecho, la cúbica es simétrica respecto a ese punto.
Observe la siguiente gráfica de una función polinómica de grado 3. Indique en qué intervalo la función es cóncava ($\cap$) y en cuál es convexa ($\cup$). Identifique las…
Observe la siguiente gráfica de una función polinómica de grado 3.
Indique en qué intervalo la función es cóncava ($\cap$) y en cuál es convexa ($\cup$). Identifique las coordenadas exactas del punto $P$ sabiendo que es el punto de inflexión y se encuentra en el origen de coordenadas.
Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su respuesta detalladamente: "Un punto de inflexión es aquel punto de la gráfica en el que la…
Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su respuesta detalladamente:
"Un punto de inflexión es aquel punto de la gráfica en el que la función pasa de ser creciente a ser decreciente, o viceversa."
Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, se sabe por su gráfica que su punto de inflexión se encuentra situado exactamente en la coordenada $x$ que es el…
Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, se sabe por su gráfica que su punto de inflexión se encuentra situado exactamente en la coordenada $x$ que es el punto medio entre sus dos extremos relativos (un máximo local en $x=1$ y un mínimo local en $x=3$).
Calcule las coordenadas exactas del punto de inflexión y determine los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$) de la función.
Esquinas y uniones
Dos situaciones especiales aparecen con frecuencia: gráficas con esquinas agudas y gráficas formadas por varias piezas.
Esquinas
Un punto de inflexión necesita una gráfica suave, una en la que se pueda trazar una sola recta tangente. Una esquina aguda no tiene una única recta tangente. Toma $f(x) = |x^2 - 4|$.
La gráfica es cóncava hacia arriba en $(-\infty, -2)$, cóncava hacia abajo en $(-2, 2)$ y cóncava hacia arriba en $(2, \infty)$. La concavidad sí cambia en $x = \pm 2$. Pero la gráfica llega ahí a un punto agudo, sin una única recta tangente. Por eso no llamamos puntos de inflexión propiamente dichos a estas esquinas. Son esquinas donde cambia la curvatura.
Piezas unidas
Una función definida por partes también puede cambiar de concavidad en el lugar donde se unen sus piezas. Para decidir, haz tres comprobaciones.
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¿La gráfica está conectada ahí? Compara los valores de ambas piezas.
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¿Cuál es la concavidad de cada pieza? Usa el coeficiente principal.
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¿La gráfica se une suavemente (sin esquina), y ¿cambia la concavidad?
Si la respuesta es sí en las tres, tienes un punto de inflexión en la unión.
La función $f(x) = |x^2 - 4|$ representa el valor absoluto de una parábola y su gráfica tiene forma de "W" redondeada. Observe su gráfica y determine en qué intervalos…
La función $f(x) = |x^2 - 4|$ representa el valor absoluto de una parábola y su gráfica tiene forma de "W" redondeada.
Observe su gráfica y determine en qué intervalos la función es cóncava ($\cap$) y en cuáles es convexa ($\cup$). ¿Se pueden considerar los puntos $x=-2$ y $x=2$ (marcados en rojo) como puntos de inflexión propiamente dichos? Razone su respuesta.
La siguiente gráfica corresponde a una función definida por partes, compuesta por dos fragmentos de parábolas diferentes que se unen suavemente. Determine los intervalos…
La siguiente gráfica corresponde a una función definida por partes, compuesta por dos fragmentos de parábolas diferentes que se unen suavemente.
Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función global. ¿Qué representa el punto de unión naranja en $x=0$ en relación con la curvatura de la función?
Dada la siguiente función cuadrática definida por partes: $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 4x + 8 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$ a)…
Dada la siguiente función cuadrática definida por partes:
$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 4x + 8 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
- a) Compruebe algebraicamente si la función es continua en el punto de ruptura $x = 2$.
- b) Estudie analíticamente la curvatura de cada uno de los dos tramos.
- c) ¿Se puede afirmar rigurosamente que existe un punto de inflexión en $x = 2$? Razone su respuesta basándose en la definición de punto de inflexión.
Curvatura y razones de cambio
Esta es la idea que hace útil la concavidad en la vida real: la pendiente de una gráfica es una razón de cambio, así que la concavidad te dice si esa razón está aumentando o disminuyendo.
Algunos ejemplos:
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Gráfica de distancia contra tiempo: la pendiente es la rapidez. Cóncava hacia arriba significa que aceleras. Cóncava hacia abajo significa que frenas. Un punto de inflexión es el momento del cambio.
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Gráfica de totales (acumulados), como el total de contagios o de vistas: la pendiente es "nuevos por día". Cóncava hacia arriba significa que los casos nuevos por día están creciendo. Cóncava hacia abajo significa que están disminuyendo. El punto de inflexión es cuando los casos nuevos diarios están en su máximo.
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Gráfica de altitud contra tiempo de un dron: cóncava hacia arriba significa que el ascenso es cada vez más rápido, y cóncava hacia abajo, que es cada vez más lento.
Puedes detectar la concavidad en una tabla observando el cambio en pasos iguales.
Aquí hay una gráfica con ambas curvaturas: un carro acelera y luego frena.
La gráfica es cóncava hacia arriba hasta $t = 4$ (acelera) y luego cóncava hacia abajo (frena). El punto de inflexión $(4, 64)$ es el momento de mayor rapidez.
A partir de la gráfica de la razón
A veces te dan la gráfica de la propia razón de cambio. Si la gráfica de la razón es decreciente (como la recta $y = -2x + 4$), la razón siempre disminuye, así que la función original es cóncava hacia abajo en todas partes. Observa que la razón aún puede ser positiva: una razón decreciente solo indica que la función sube cada vez más despacio.
La siguiente gráfica representa la altitud de un dron de vigilancia a lo largo del tiempo durante una maniobra de ascenso. Identifique qué tipo de curvatura tiene la…
La siguiente gráfica representa la altitud de un dron de vigilancia a lo largo del tiempo durante una maniobra de ascenso.
Identifique qué tipo de curvatura tiene la gráfica antes y después del punto $I$. Explique qué significa físicamente este punto de inflexión en el contexto del vuelo del dron (cómo cambia su forma de ascender).
La siguiente gráfica muestra el número total acumulado de personas contagiadas por un virus en una población a lo largo de los días de un mes. a) Identifique visualmente…
La siguiente gráfica muestra el número total acumulado de personas contagiadas por un virus en una población a lo largo de los días de un mes.
- a) Identifique visualmente los intervalos donde la curva de contagios es convexa ($\cup$) y donde es cóncava ($\cap$).
- b) Localice el punto de inflexión (marcado en naranja). ¿Qué significado crucial tiene este punto en la evolución de la epidemia respecto a la cantidad de nuevos contagios diarios?
Suponga que la tasa de variación* (el ritmo de crecimiento o pendiente) de una función $f(x)$ a lo largo del tiempo viene dada por la recta $y = -2x + 4$. Sabiendo que…
Suponga que la tasa de variación (el ritmo de crecimiento o pendiente) de una función $f(x)$ a lo largo del tiempo viene dada por la recta $y = -2x + 4$.
Sabiendo que el ritmo de crecimiento de $f(x)$ es cada vez menor (ya que la recta naranja que representa la tasa es estrictamente decreciente), ¿qué puede deducir sobre la curvatura global de la función original $f(x)$? ¿Tendrá la función original algún punto de inflexión? Razone su respuesta.
Llenado de recipientes y recorridos
Si viertes agua en un recipiente a un ritmo constante, la altura del agua cambia según lo ancho que sea el recipiente a ese nivel.
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Parte ancha: el mismo volumen se reparte en un área grande, así que la altura sube despacio.
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Parte angosta: el mismo volumen se apila más alto, así que la altura sube rápido.
Por eso, cuando el recipiente se vuelve más ancho, el ascenso del agua se hace más lento: la pendiente disminuye y la gráfica es cóncava hacia abajo. Cuando el recipiente se vuelve más angosto, el ascenso se acelera: la pendiente aumenta y la gráfica es cóncava hacia arriba. Los lados verticales rectos dan una recta.
Un recorrido funciona igual: se puede dividir en tramos donde la rapidez aumenta, se mantiene constante o disminuye. Cada tramo da una concavidad distinta en la gráfica de distancia. Aparece un punto de inflexión cuando el tramo pasa de "acelerar" a "frenar" (o al revés).
Imagine que está llenando de agua, a un ritmo constante, una botella de vidrio que tiene una base esférica ancha y un cuello cilíndrico estrecho. Si representamos…
Imagine que está llenando de agua, a un ritmo constante, una botella de vidrio que tiene una base esférica ancha y un cuello cilíndrico estrecho.
Si representamos gráficamente la altura del agua en la botella en función del tiempo transcurrido, describa cómo es la curvatura de la gráfica en la zona esférica inferior (donde la botella se ensancha y luego se estrecha). ¿Hay algún punto de inflexión? ¿Dónde se situaría de forma aproximada?
Un tren de alta velocidad realiza un trayecto en línea recta. Durante los primeros $4$ minutos, acelera cada vez con mayor intensidad. Luego, del minuto $4$ al $8$,…
Un tren de alta velocidad realiza un trayecto en línea recta. Durante los primeros $4$ minutos, acelera cada vez con mayor intensidad. Luego, del minuto $4$ al $8$, sigue acelerando pero cada vez a menor ritmo hasta alcanzar su velocidad de crucero máxima. Finalmente, del minuto $8$ al $12$, frena progresivamente hasta detenerse en la siguiente estación.
Si representamos la distancia recorrida en función del tiempo, ¿cuáles son los intervalos de concavidad y convexidad de esta gráfica de posición? Identifique los puntos de inflexión y explique su significado físico en relación con la aceleración del tren.
Un tanque de agua tiene la forma de un cono invertido (la punta hacia abajo y la base circular abierta hacia arriba). Se empieza a verter agua en su interior a un ritmo…
Un tanque de agua tiene la forma de un cono invertido (la punta hacia abajo y la base circular abierta hacia arriba). Se empieza a verter agua en su interior a un ritmo constante de galones por minuto.
Si construimos una gráfica que relacione la altura del nivel del agua $h(t)$ en función del tiempo transcurrido $t$, ¿la curva resultante será cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$)? Justifique su respuesta analizando cómo varía la velocidad a la que sube el nivel del agua a medida que el cono se ensancha.
Todo junto
Ahora combina todo: simetría, picos y valles, y concavidad.
Simetría impar. Si una gráfica es simétrica respecto al origen, la concavidad a un lado del origen es la opuesta a la del otro lado. Una pieza cóncava hacia arriba a la derecha corresponde a una pieza cóncava hacia abajo a la izquierda, y viceversa.
Picos y valles. Recuerda que los picos suaves están en regiones cóncavas hacia abajo y los valles suaves en regiones cóncavas hacia arriba.
Aplanarse. Si una curva sube hasta un pico, luego baja y se aplana hacia una recta horizontal, la cola debe curvarse de nuevo hacia arriba (la pendiente pasa de muy negativa a acercarse a $0$). Así que hay un punto de inflexión entre el pico y la cola.
Aquí hay una función racional con la forma de "aplanarse". Busca los tres lugares donde cambia la curvatura.
Aquí los puntos de inflexión están en $x=0$ y, a cada lado, uno entre el pico y la cola. Por simetría son imágenes especulares a través del origen.
El perfil de una etapa ciclista de montaña se puede modelar en un tramo concreto mediante la función $h(x) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 2x + 500$, donde $x$ es la distancia…
El perfil de una etapa ciclista de montaña se puede modelar en un tramo concreto mediante la función $h(x) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 2x + 500$, donde $x$ es la distancia horizontal en millas y $h(x)$ es la altitud en pies. Se sabe que exactamente en la milla $x=5$ la pendiente de subida deja de aumentar y empieza a disminuir progresivamente hasta llegar a la cima.
¿Qué nombre recibe el punto $x=5$ en términos de análisis de funciones? ¿Qué tipo de curvatura tiene el perfil de la montaña antes y después de esa milla?
La gráfica adjunta corresponde a la función racional $f(x) = \frac{100x}{x^2+4}$. A partir de la observación detallada de la curva y de los puntos naranjas marcados,…
La gráfica adjunta corresponde a la función racional $f(x) = \frac{100x}{x^2+4}$.
A partir de la observación detallada de la curva y de los puntos naranjas marcados, identifique cuántos puntos de inflexión posee la función y determine de forma aproximada los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$) en todo su dominio $\mathbb{R}$.
Describa y dibuje en su cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ definida en el dominio $[-5, 5]$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:…
Describa y dibuje en su cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ definida en el dominio $[-5, 5]$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:
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Es simétrica impar (simetría respecto al origen).
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Tiene un máximo relativo en $x = 2$ y un mínimo relativo en $x = -2$.
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Tiene exactamente tres puntos de inflexión situados en $x = -3$, $x = 0$ y $x = 3$.
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Es convexa ($\cup$) en los intervalos $[-5, -3) \cup (0, 3)$.
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Es cóncava ($\cap$) en los intervalos $(-3, 0) \cup (3, 5]$.
Resumen
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Cóncava hacia arriba ($\cup$): se curva como un tazón y la pendiente aumenta. Cóncava hacia abajo ($\cap$): se curva como un arco y la pendiente disminuye.
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Para $ax^2 + bx + c$: $a>0$ es cóncava hacia arriba, $a<0$ es cóncava hacia abajo y $a=0$ es una recta sin curvatura. Una parábola no tiene punto de inflexión.
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La suma de dos funciones cóncavas hacia arriba es cóncava hacia arriba. En las cuadráticas, suma los coeficientes principales para comprobarlo.
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Un punto de inflexión es un punto suave donde la concavidad cambia. No es lo mismo que un punto de giro (máximo o mínimo local).
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Los picos suaves están en regiones cóncavas hacia abajo y los valles suaves en regiones cóncavas hacia arriba. El punto de inflexión de una cúbica está a la mitad entre sus puntos de giro.
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Las esquinas agudas no son puntos de inflexión propiamente dichos. En las funciones por partes, comprueba la continuidad, la concavidad a cada lado y la suavidad.
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La concavidad te dice si una razón de cambio aumenta o disminuye: acelerar o frenar, casos nuevos diarios que crecen o decrecen, un recipiente que se ensancha o se angosta.
Volvamos a la montaña rusa: el lugar donde la vía pasa de una bajada a una colina es un punto de inflexión. Ahí la pendiente de la vía deja de hacerse más empinada y empieza a suavizarse.