Tu maestra saca nombres de un sombrero para escoger a dos estudiantes para una demostración, y no vuelve a poner el primer nombre. Cuando sale el nombre de Ashley, cada uno de los otros nombres tiene una probabilidad un poco mayor de salir después. Una doctora interpreta el resultado de una prueba de la misma manera: lo que ya sabe (que la prueba salió positiva) cambia la probabilidad de lo que quiere averiguar (si estás enfermo). En ambos casos un evento cambia la probabilidad del otro. Son eventos dependientes, y necesitas la probabilidad condicional para trabajar con ellos.
Probabilidad condicional
¿Por qué funciona? Cuando sabes que $A$ ocurrió, $A$ se convierte en todo tu espacio muestral. Solo cuenta la parte de $B$ que está dentro de $A$, y la mides respecto de $A$, no respecto de todo.
Una tabla de doble entrada lo hace fácil de ver. A treinta estudiantes se les preguntó si practican un deporte y si tocan un instrumento.
Deporte
Sin deporte
Total
Instrumento
7
5
12
Sin instrumento
13
5
18
Total
20
10
30
La misma idea funciona con dados. Esta es la cuadrícula de los 36 resultados (primer dado hacia abajo, segundo dado hacia la derecha). Las casillas resaltadas son los resultados con suma 8.
Practica★☆☆Sin empezar
En una clase de $30$ estudiantes, $18$ estudian francés, $12$ estudian alemán y $5$ estudian ambos idiomas. Si se elige un estudiante al azar y resulta que estudia…
En una clase de $30$ estudiantes, $18$ estudian francés, $12$ estudian alemán y $5$ estudian ambos idiomas. Si se elige un estudiante al azar y resulta que estudia francés, ¿cuál es la probabilidad de que también estudie alemán?
Se lanzan dos dados normales de seis caras. Sabiendo que la suma de las puntuaciones obtenidas es $8$, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido un…
Se lanzan dos dados normales de seis caras. Sabiendo que la suma de las puntuaciones obtenidas es $8$, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido un $3$?
La regla de la multiplicación y las extracciones sin reemplazo
¿Por qué? Para que ocurran $A$ y después $B$, primero debe ocurrir $A$. Luego, en la nueva situación que dejó $A$, debe ocurrir $B$ con su probabilidad actualizada.
Piensa en las favoritas como bolas rojas y en las demás canciones como bolas azules. Extrae dos y observa cómo cambian las cantidades.
La probabilidad condicional no siempre sale de contar. A veces viene dada como porcentaje.
Practica★☆☆Sin empezar
En una urna hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que la primera bola sea roja y la…
En una urna hay $5$ bolas rojas y $3$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazo. Calcule la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda sea azul.
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen dos cartas al azar una tras otra y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes?
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen dos cartas al azar una tras otra y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean reyes?
En una fábrica, la máquina A produce el $60\%$ de las piezas y la máquina B produce el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de las piezas producidas por A son…
En una fábrica, la máquina A produce el $60\%$ de las piezas y la máquina B produce el $40\%$ restante. Se sabe que el $2\%$ de las piezas producidas por A son defectuosas, mientras que en la máquina B el porcentaje de defectuosas es del $5\%$. Si se elige una pieza al azar del almacén, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada por la máquina B y sea defectuosa?
Un diagrama de árbol mantiene organizado un experimento de varias etapas. Cada etapa es un conjunto de ramas. La probabilidad de una rama es condicional respecto de las ramas anteriores. Aquí se extraen dos canicas sin reemplazo de una bolsa con 3 rojas (R) y 2 azules (A).
A veces la segunda etapa no es solo "un objeto menos". Es una situación completamente distinta que depende de la primera etapa.
Practica★☆☆Sin empezar
Observe el siguiente diagrama de árbol que representa un experimento compuesto en dos etapas. Calcule la probabilidad de obtener el resultado final $C$ pasando por la…
Observe el siguiente diagrama de árbol que representa un experimento compuesto en dos etapas. Calcule la probabilidad de obtener el resultado final $C$ pasando por la rama $A$.
Se tienen dos cajas. La CAJA I contiene $4$ bolas verdes y $2$ amarillas. La CAJA II contiene $3$ bolas verdes y $5$ amarillas. Se saca una bola al azar de la CAJA I y…
Se tienen dos cajas. La CAJA I contiene $4$ bolas verdes y $2$ amarillas. La CAJA II contiene $3$ bolas verdes y $5$ amarillas. Se saca una bola al azar de la CAJA I y se introduce en la CAJA II. A continuación, se mezcla bien y se saca una bola de la CAJA II. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean verdes?
Con tres o más extracciones, la regla de la multiplicación simplemente continúa:
$$P(A \text{ y } B \text{ y } C) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \text{ y } B)$$
Cada factor usa lo que queda después de las extracciones anteriores.
A veces la incógnita es cuántos objetos hay. Entonces la probabilidad se convierte en una ecuación.
Practica★★☆Sin empezar
De una caja que contiene $10$ focos, se sabe que $3$ de ellos están quemados. Se extraen $3$ focos sucesivamente y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que…
De una caja que contiene $10$ focos, se sabe que $3$ de ellos están quemados. Se extraen $3$ focos sucesivamente y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los focos extraídos esté quemado?
Una bolsa opaca contiene $10$ boletos idénticos al tacto: $2$ de ellos tienen premio y $8$ están en blanco. Tres amigos, Isabella, Bruno y Carlos, extraen…
Una bolsa opaca contiene $10$ boletos idénticos al tacto: $2$ de ellos tienen premio y $8$ están en blanco. Tres amigos, Isabella, Bruno y Carlos, extraen consecutivamente y sin reemplazo un boleto cada uno en ese mismo orden. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer premio que salga lo saque Carlos?
En una urna hay $x$ bolas rojas y $4$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazo. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean rojas es…
En una urna hay $x$ bolas rojas y $4$ bolas negras. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin reemplazo. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean rojas es exactamente $\frac{1}{6}$, plantee una ecuación y determine el número de bolas rojas $x$ que hay en la urna.
Dos eventos son independientes si saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro.
¿Por qué son equivalentes? La regla de la multiplicación dice que $P(A \text{ y } B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$. Si $P(B \mid A)$ es simplemente $P(B)$, la regla se convierte en $P(A) \cdot P(B)$.
Para probar la independencia, a veces primero necesitas $P(A \text{ y } B)$ a partir de otros datos. Eso requiere la regla de la suma.
Practica★☆☆Sin empezar
Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Sabemos que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Compruebe matemáticamente si los sucesos…
Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio. Sabemos que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Compruebe matemáticamente si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
En un pueblo, el $45\%$ de los habitantes lee el periódico X, el $35\%$ lee el periódico Y, y un $15\%$ lee ambos periódicos. Si elegimos un habitante al azar y sabemos…
En un pueblo, el $45\%$ de los habitantes lee el periódico X, el $35\%$ lee el periódico Y, y un $15\%$ lee ambos periódicos. Si elegimos un habitante al azar y sabemos que lee el periódico X, ¿cuál es la probabilidad de que también lea el periódico Y? A la vista de los resultados, razone si los sucesos "leer el periódico X" y "leer el periódico Y" son independientes.
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Utilizando las propiedades de la probabilidad,…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,7$. Utilizando las propiedades de la probabilidad, halle el valor de la intersección y calcule $P(A|B)$ y $P(B|A)$. ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? Razone su respuesta.
Cuando los eventos son independientes, la regla de la multiplicación se simplifica: $P(A \text{ y } B) = P(A) \cdot P(B)$. Extraer con reemplazo produce etapas independientes. También lo hacen las cosas distintas que no se afectan entre sí. Si sacas una carta y luego lanzas una moneda, a la moneda no le importa cuál fue la carta. La probabilidad de un as y cara es $\frac{4}{52} \cdot \frac12 = \frac{1}{26}$.
"Al menos uno": usa el complemento
"Al menos uno" suele ser más fácil por medio de su contrario, "ninguno".
$$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\text{ninguno})$$
Practica★☆☆Sin empezar
Una moneda está cargada de forma que la probabilidad de obtener cara es $0,7$. Se lanza la moneda dos veces consecutivas. Calcule la probabilidad de obtener exactamente…
Una moneda está cargada de forma que la probabilidad de obtener cara es $0,7$. Se lanza la moneda dos veces consecutivas. Calcule la probabilidad de obtener exactamente una cara y una cruz (en cualquier orden).
Dos arqueros disparan una flecha al mismo blanco. El arquero A acierta con una probabilidad de $0,7$ y el arquero B acierta con una probabilidad de $0,8$. Sus disparos…
Dos arqueros disparan una flecha al mismo blanco. El arquero A acierta con una probabilidad de $0,7$ y el arquero B acierta con una probabilidad de $0,8$. Sus disparos son totalmente independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado por al menos una flecha?
Un sistema de seguridad informático tiene dos cortafuegos independientes. La probabilidad de que el cortafuegos A falle ante un ataque es $0,15$ y la probabilidad de que…
Un sistema de seguridad informático tiene dos cortafuegos independientes. La probabilidad de que el cortafuegos A falle ante un ataque es $0,15$ y la probabilidad de que falle el cortafuegos B es $0,10$. El sistema se ve comprometido solo si ambos cortafuegos fallan. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema resista un ataque? Si se añade un tercer cortafuegos C idéntico al B e independiente de los anteriores, ¿cuánto aumenta la probabilidad de que el sistema resista el ataque?
A veces un evento puede ocurrir a través de varias "primeras etapas" distintas. Jayden llega a la escuela en bicicleta el 70% de los días y en autobús el otro 30%. Llega tarde el 10% de las veces que va en bicicleta y el 20% de las veces que va en autobús. ¿Con qué frecuencia llega tarde?
¿Por qué? Cada camino hacia $B$ pasa por exactamente uno de los $A_i$. Hallas la probabilidad de cada camino con la regla de la multiplicación y las sumas.
Practica★★☆Sin empezar
Un jugador de básquetbol tiene un porcentaje de acierto del $80\%$ en el primer tiro libre. Si acierta el primero, su confianza aumenta y la probabilidad de acertar el…
Un jugador de básquetbol tiene un porcentaje de acierto del $80\%$ en el primer tiro libre. Si acierta el primero, su confianza aumenta y la probabilidad de acertar el segundo tiro libre sube al $90\%$. Sin embargo, si falla el primero, se pone nervioso y la probabilidad de acertar el segundo baja al $60\%$. Calcule la probabilidad de que el jugador enceste exactamente un tiro libre en una serie de dos lanzamientos.
En una clínica se realiza una prueba rápida de alergia. Se sabe que el $8\%$ de los pacientes son alérgicos a una sustancia determinada. La prueba da un resultado…
En una clínica se realiza una prueba rápida de alergia. Se sabe que el $8\%$ de los pacientes son alérgicos a una sustancia determinada. La prueba da un resultado positivo en el $90\%$ de los pacientes que realmente son alérgicos. Sin embargo, también da un falso positivo en el $5\%$ de los pacientes que no son alérgicos. Se elige un paciente al azar y se le realiza la prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea positivo?
Se tienen tres cofres idénticos por fuera. El COFRE A contiene $2$ monedas de oro y $1$ de plata. El COFRE B contiene $1$ moneda de oro y $3$ de plata. El COFRE C…
Se tienen tres cofres idénticos por fuera. El COFRE A contiene $2$ monedas de oro y $1$ de plata. El COFRE B contiene $1$ moneda de oro y $3$ de plata. El COFRE C contiene $4$ monedas de oro. Se lanza un dado equilibrado: si sale $1$ o $2$, se elige el cofre A; si sale $3$, se elige el cofre B; si sale $4$, $5$ o $6$, se elige el cofre C. A continuación, se extrae una moneda al azar del cofre elegido. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de oro?
Ahora cambia la pregunta. Jayden entra tarde. ¿Cuál es la probabilidad de que haya venido en autobús? Conoces $P(\text{tarde} \mid \text{autobús})$, pero quieres $P(\text{autobús} \mid \text{tarde})$.
¿Por qué? Es solo la definición $\dfrac{P(A \text{ y } B)}{P(B)}$. El numerador es el camino que te interesa y el denominador son todos los caminos hacia $B$.
Una imagen con "frecuencias naturales" puede ayudar. Imagina 1,000 días de clases. Jayden llega tarde en 70 días de bicicleta y en 60 días de autobús, es decir, 130 días tarde en total.
Practica★★☆Sin empezar
En un estante hay $5$ novelas y $3$ libros de poesía. Se eligen dos libros al azar uno tras otro y sin reemplazo. Si el segundo libro elegido resultó ser de poesía,…
En un estante hay $5$ novelas y $3$ libros de poesía. Se eligen dos libros al azar uno tras otro y sin reemplazo. Si el segundo libro elegido resultó ser de poesía, ¿cuál es la probabilidad de que el primer libro elegido también lo fuera?
En una escuela secundaria, el $55\%$ del alumnado son chicas. Se sabe que el $20\%$ de las chicas y el $25\%$ de los chicos participan activamente en el club de teatro.…
En una escuela secundaria, el $55\%$ del alumnado son chicas. Se sabe que el $20\%$ de las chicas y el $25\%$ de los chicos participan activamente en el club de teatro. Si se elige al azar un estudiante que participa en el club de teatro, ¿cuál es la probabilidad de que sea una chica?
Se tienen dos dados cúbicos en un cubilete. El primero es un dado normal con las caras numeradas del $1$ al $6$. El segundo es un dado cargado que tiene tres caras con…
Se tienen dos dados cúbicos en un cubilete. El primero es un dado normal con las caras numeradas del $1$ al $6$. El segundo es un dado cargado que tiene tres caras con un $2$, dos caras con un $3$ y una cara con un $5$. Se elige un dado al azar (con probabilidad $\frac{1}{2}$ para cada uno) y se lanza. Si el resultado obtenido es un número par, ¿cuál es la probabilidad de que se haya lanzado el dado cargado?
De vuelta al principio: con 25 nombres en el sombrero, tu probabilidad de salir primero es $\frac{1}{25}$. Si no saliste primero, tu probabilidad de salir segundo sube a $\frac{1}{24}$, porque las extracciones son dependientes. ¿Y la doctora? Una prueba positiva actualiza la probabilidad con el teorema de Bayes, ponderada por lo común que sea la condición.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel fácil en este apartado