Ejercicios: Aproximaciones y errores

Aproxime el número decimal $4.8275$ a las centésimas utilizando el método de truncamiento y el método de redondeo.

Calcule el error absoluto que se comete al utilizar la aproximación $0.33$ para el valor exacto de la fracción $\frac{1}{3}$. Exprese el resultado en forma de fracción.

A partir del ejercicio anterior, calcule el error relativo cometido al aproximar $\frac{1}{3}$ por $0.33$. Exprese el resultado en forma de porcentaje.

Indique la cota de error absoluto que se asume al afirmar que el peso de un objeto, redondeado a las milésimas, es de $12.458$ lb.

Un termómetro digital marca una temperatura de $38.2^\circ \text{C}$. Si mediante un instrumento de alta precisión se sabe que la temperatura real es de $38.45^\circ \text{C}$, determine el error absoluto y el error relativo de la medida del termómetro digital.

Aproxime el número irracional $\sqrt{7}$ a las milésimas, indicando claramente cuál es la aproximación por defecto y cuál es la aproximación por exceso.

Se han realizado dos mediciones distintas. En la primera, se ha cometido un error relativo del $0.015$. En la segunda, el error relativo ha sido del $1.2\%$. Determine cuál de las dos mediciones es más precisa y justifique su respuesta.

Una báscula de cocina da una lectura de $250$ oz con una cota de error absoluto de $5$ oz. Escriba en forma de intervalo matemático el rango de valores en el que se encuentra el peso real del objeto.

Durante una competencia de atletismo, el juez principal mide la longitud de la pista y anota $399.5$ m. Si la longitud oficial y exacta de la pista debe ser de $400$ m, calcule el error absoluto y el error relativo porcentual de la medición del juez. ¿Considera que es una medición aceptable si el reglamento permite un error relativo máximo del $0.2\%$?

En un laboratorio de química, un estudiante utiliza el valor $6.02 \cdot 10^{23}$ para el número de Avogadro en sus cálculos. Si el valor más preciso aceptado actualmente es $6.02214 \cdot 10^{23}$, determine el error absoluto en notación científica y el error relativo porcentual que comete el estudiante.

Un arquitecto mide las dimensiones de una habitación rectangular obteniendo $4.5$ pies de largo y $3.2$ pies de ancho. Sabe que su cinta métrica tiene una cota de error absoluto de $0.1$ pies en cada medida. Calcule el área medida y determine entre qué valores máximo y mínimo se encuentra el área real de la habitación.

Al realizar el presupuesto para una obra, se estima que el costo de los materiales será de $\$15\,400$. Al finalizar la obra, las facturas suman un total real de $\$15\,825$. Calcule el error absoluto y relativo de la estimación inicial. Si la empresa constructora asume las pérdidas si el error relativo supera el $3\%$, ¿quién pagará la diferencia?

El tamaño de un archivo informático es de $4567.89$ Megabytes (MB). Al copiarlo a un disco duro, el sistema operativo trunca el valor a las décimas, mientras que un programa de compresión lo redondea a las décimas. Calcule la diferencia entre el error absoluto cometido por el sistema operativo y el cometido por el programa de compresión.

Para calcular la densidad de un bloque de metal, se mide su masa obteniendo $m = 12.4$ lb y su volumen obteniendo $V = 0.004$ pies$^3$. Si ambas medidas se han redondeado a la última cifra decimal mostrada, determine la cota de error absoluto de la masa y del volumen.

La distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente $149\,597\,870$ millas. Un libro de texto de escuela secundaria afirma que la distancia es de $1.5 \cdot 10^8$ millas. Calcule el error relativo porcentual que introduce el libro de texto al usar esta aproximación en notación científica.

Dos carpinteros cortan listones de madera que deben medir exactamente $\frac{5}{7}$ de pie. El primer carpintero corta el listón a $0.71$ pies y el segundo lo corta a $0.72$ pies. Sin usar decimales, operando con fracciones, determine cuál de los dos ha cometido un menor error absoluto.

En la fabricación de una pieza cilíndrica para un motor de alta precisión, se requiere que el radio sea $r = 2.50$ pulgadas y la altura $h = 8.00$ pulgadas. Si la maquinaria tiene una cota de error relativo del $1\%$ en cualquier medida lineal, demuestre algebraicamente si el error relativo máximo en el cálculo del volumen del cilindro ($V = \pi r^2 h$) será del $1\%$, $2\%$ o $3\%$. Asuma que los errores relativos son lo suficientemente pequeños para sumar sus aproximaciones lineales.

Un analista financiero estima el precio de una acción en bolsa. Sabemos que el error relativo de su estimación ha sido exactamente del $4\%$. Si el valor estimado que publicó fue de $\$26.00$, plantee y resuelva las ecuaciones necesarias para encontrar los dos posibles valores reales exactos que podría tener la acción.

Se sabe que al aproximar un número $x$ por $3.14$, el error absoluto cometido es menor que $0.005$. Por otro lado, al aproximar el mismo número $x$ por $3.146$, el error absoluto es menor que $0.002$. Exprese ambas condiciones como intervalos, calcule su intersección y determine el rango de valores posibles para el número exacto $x$.

Demuestre matemáticamente que si un número positivo $x$ se redondea a las unidades obteniendo una aproximación $A$, el error relativo $E_r$ siempre cumple la desigualdad $E_r \le \frac{0.5}{A - 0.5}$. Aplique esta fórmula para encontrar la cota máxima de error relativo al redondear a $A = 5$.

La velocidad de propagación de una señal en una red de fibra óptica se calcula mediante la fórmula $v = \frac{d}{t}$. Se mide una distancia $d = 1200 \pm 5$ m y un tiempo $t = 0.006 \pm 0.0001$ s. Calcule los valores máximo y mínimo posibles para la velocidad $v$, y deduzca a partir de ellos la cota de error absoluto general de la medición de la velocidad.

Un estudiante debe calcular el valor de $y = \sqrt{x}$. Sabe que el valor exacto de $x$ pertenece al intervalo $[15.8, 16.2]$. Si decide utilizar $x = 16$ para simplificar, obteniendo $y = 4$, determine la cota superior del error absoluto que está cometiendo en la variable $y$.

El siguiente diagrama muestra el intervalo de confianza de una medición en un experimento de física, donde el punto central representa el valor aproximado $V_a$ y los extremos representan los límites dados por la cota de error absoluto $E_a$. Si los extremos del intervalo son $14.35$ y $14.65$, determine el valor aproximado $V_a$, la cota de error absoluto $E_a$ y el error relativo máximo posible.

Al calcular el interés compuesto de un capital inicial de $\$10\,000$ al $5\%$ anual durante $10$ años, un contador decide truncar la tasa de crecimiento anual de $1.05$ a $1.0$ en sus cálculos preliminares. Calcule el error absoluto y el error relativo que comete en el cálculo del capital final. ¿Qué conclusión puede extraer sobre la propagación de errores en operaciones con exponentes elevados?