Ejercicios: Tasa de crecimiento

Dada la función lineal $f(x) = 3x - 5$, calcule la tasa de variación (TV) en el intervalo $[2, 5]$.

Calcule la tasa de variación media (TVM) de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$ en el intervalo $[1, 4]$.

El número de usuarios activos de una aplicación móvil pasó de $2000$ a $2500$ a lo largo de un mes. Calcule la tasa de crecimiento expresada en porcentaje.

A partir de la siguiente tabla de valores, que muestra la distancia $d$ (en millas) recorrida por un ciclista en función del tiempo $t$ (en horas), calcule la velocidad media (que equivale a la tasa de variación media) entre $t = 1$ y $t = 3$ horas.

• $t$ (h): $0, 1, 2, 3, 4$

• $d$ (millas): $0, 15, 32, 45, 60$

Calcule la tasa de variación media de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{12}{x}$ en el intervalo $[2, 6]$.

El precio de una acción en bolsa pasó de $\$15$ a $\$18$. ¿Cuál fue su tasa de crecimiento porcentual en ese periodo?

Dada la función $f(x) = 2x^2 + 1$, halle la tasa de variación (TV) y la tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[-1, 2]$.

Observe la gráfica de la función $f(x)$ y calcule la tasa de variación media en el intervalo $[0, 3]$.

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = -2t^2 + 12t + 20$. Calcule la tasa de variación media de la temperatura en el intervalo $[1, 4]$ e interprete el significado del resultado en el contexto del problema.

El crecimiento de una población de bacterias en un cultivo viene dado por la función $P(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. Calcule la tasa de crecimiento porcentual de la población en el intervalo de tiempo $[0, 2]$.

Sabiendo que la tasa de variación media de la función $f(x) = ax^2 - 3x$ en el intervalo $[1, 3]$ es igual a $5$, determine el valor numérico del parámetro $a$.

El siguiente gráfico muestra los ingresos mensuales de una tienda en línea (en miles de dólares) durante los primeros 6 meses del año. Calcule y compare la tasa de variación media en los intervalos $[1, 3]$ y $[4, 6]$.

El valor de un carro se deprecia según la función $V(t) = 24000 \cdot 0,85^t$, donde $t$ son los años transcurridos desde su compra y $V(t)$ el precio en dólares. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en el primer año (intervalo $[0, 1]$) y explique el significado práctico de su signo.

El nivel de agua de un embalse (en hectómetros cúbicos) durante los meses de verano sigue la función $N(t) = \frac{120}{t+1}$, donde $t$ es el número de meses transcurridos ($t=0$ es el inicio de junio, $t=1$ es el inicio de julio, etc.). Calcule la tasa de variación media entre el inicio de junio y el inicio de agosto ($t=2$) y la tasa de crecimiento porcentual en ese mismo periodo.

Las ganancias de una empresa constructora (en miles de dólares) se modelan con la función $G(x) = -x^2 + 10x - 9$, donde $x$ es el mes del año. Calcule la tasa de variación media en el intervalo $[2, 5]$ y en el intervalo $[6, 8]$. ¿Qué indican los signos obtenidos en cada caso sobre la marcha de la empresa?

El precio de un producto tecnológico era de $\$800$ en su lanzamiento. Dos meses después, su precio bajó a $\$640$. Suponiendo un modelo de decrecimiento lineal, calcule la tasa de variación media mensual y la tasa de crecimiento porcentual total en esos dos primeros meses.

La posición de un objeto en caída libre viene dada por $e(t) = 5t^2$ (donde $e$ se mide en pies y $t$ en segundos). Encuentre el instante exacto de tiempo $t > 1$ para el cual la velocidad media (que coincide con la tasa de variación media) en el intervalo $[1, t]$ es exactamente de $25$ pies/s.

Demuestre algebraicamente que la tasa de variación media de cualquier función afín $f(x) = mx + n$ en un intervalo cualquiera $[a, b]$ (con $a \neq b$) es siempre constante e igual a su pendiente $m$.

Observe la gráfica que representa la evolución del número de infectados durante una epidemia (en miles de personas) a lo largo de 8 semanas. Identifique visualmente y luego calcule de forma exacta la tasa de variación media en el intervalo de dos semanas consecutivas donde dicha tasa alcanza su valor máximo.

Determine el valor del parámetro $k$ para que la tasa de crecimiento porcentual de la función $f(x) = \frac{k}{x+2}$ en el intervalo $[2, 8]$ sea exactamente del $-60\%$. ¿Depende el resultado final del valor inicial de $k$? Razone su respuesta algebraicamente.

Una empresa de mercadotecnia analiza el rendimiento de dos campañas publicitarias. La campaña A genera visitas a un sitio web según el modelo lineal $V_A(t) = 100t + 500$, y la campaña B según el modelo exponencial $V_B(t) = 100 \cdot 1,5^t$ (donde $t$ se mide en días). Calcule la tasa de crecimiento porcentual de ambas campañas en el intervalo $[2, 4]$ y determine cuál experimenta un crecimiento relativo mayor en ese periodo.

Sabiendo que una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ tiene su vértice exactamente en el punto $(2, -1)$ y pasa por el punto de corte con el eje de ordenadas en $(0, 3)$, plantee el sistema correspondiente para encontrar su expresión y, a continuación, calcule su tasa de variación media en el intervalo $[1, 4]$.

El costo total de producción de $x$ unidades de un artículo viene dado por la función $C(x) = 0,1x^2 + 5x + 200$. Si el volumen de producción en la fábrica pasa de $40$ a $60$ unidades, calcule el incremento del costo total (TV), el costo medio por cada unidad adicional producida (TVM) y la tasa de crecimiento porcentual del costo total en dicho intervalo.

Sea la función exponencial $f(x) = 2^x$. Calcule la tasa de crecimiento porcentual en los intervalos $[1, 2]$, $[2, 3]$ y $[3, 4]$. A partir de los resultados obtenidos, demuestre algebraicamente que para cualquier intervalo de la forma $[n, n+1]$ (con $n \in \mathbb{N}$), la tasa de crecimiento porcentual de esta función es siempre constante.