Ejercicios: Simetría

Observe las gráficas de las funciones representadas en los paneles A y B. Indique qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) presenta cada una de ellas, justificando su respuesta en función de su forma visual.

Dada la función polinómica $f(x) = 3x^2 - 5$, calcule el valor de $f(-x)$. A partir del resultado, indique si la función presenta simetría par, impar o ninguna.

Dada la función $g(x) = -2x^3$, calcule la expresión de $g(-x)$. ¿Qué tipo de simetría tiene esta función?

Se sabe que una función $h(x)$ tiene simetría par. Si la gráfica de esta función pasa por el punto $(4, 7)$, ¿qué otro punto pertenece obligatoriamente a su gráfica?

Una función $p(x)$ presenta simetría impar. Si sabemos que $p(2) = -5$, ¿cuál debe ser el valor de $p(-2)$? Escriba las coordenadas del punto correspondiente.

Analice la función lineal $f(x) = 4x$. Calcule $f(-x)$ y determine algebraicamente si es una función par, impar o si no tiene simetría.

Considere la función afín $f(x) = 2x + 1$. Compruebe algebraicamente si cumple la condición de simetría par ($f(-x) = f(x)$) o la de simetría impar ($f(-x) = -f(x)$).

El logotipo de una empresa se ha diseñado utilizando una función matemática que es simétrica respecto al origen de coordenadas. Si el trazado del logotipo pasa por el punto $(-3, 6)$, ¿por qué otro punto pasará con total seguridad?

Compruebe de forma algebraica el tipo de simetría que presenta la función racional $f(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}$.

Determine si la función $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ es par, impar o ninguna de las dos. Muestre todos los pasos de su razonamiento.

La trayectoria de un péndulo en función del tiempo $t$ se modeliza mediante una función $p(t)$. Sabiendo que $p(t)$ es una función impar y que a los $1.5$ segundos su posición es $p(1.5) = 4$ pulgadas, ¿cuál será su posición en $t = -1.5$ segundos? Explique el significado físico de este resultado.

El cable de un puente colgante adopta la forma de una parábola descrita por la ecuación $y = 0.05x^2 + 10$. Verifique algebraicamente si esta función presenta simetría par, impar o ninguna, e interprete el resultado geométricamente.

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 4x$, calcule los valores numéricos de $f(2)$ y $f(-2)$. ¿Qué sugieren estos resultados sobre la simetría de la función? Demuestre su hipótesis algebraicamente para cualquier valor de $x$.

La siguiente gráfica muestra la variación de temperatura $T$ en un experimento químico en función del tiempo $t$, registrada a partir del instante $t = 0$. Si el modelo matemático $T(t)$ que rige este experimento es una función par en todo su dominio real, ¿cuál será la temperatura en el instante $t = -3$? Justifique su respuesta.

Considere la función con valor absoluto $f(x) = |x| - 3$. Calcule la expresión para $f(-x)$ y determine si la función presenta algún tipo de simetría.

Sabiendo que $f(x)$ es una función impar y que está definida en el punto $x = 0$, ¿cuál debe ser obligatoriamente el valor de $f(0)$? Demústrelo utilizando la definición de función impar.

Encuentre el valor que debe tomar el parámetro $k$ para que la función $f(x) = x^2 + kx + 5$ sea una función par. Justifique su respuesta algebraicamente.

Determine el valor del parámetro $m$ para que la función polinómica $f(x) = 2x^3 + m x^2 - x$ presente simetría impar.

La potencia generada por un aerogenerador se modeliza mediante la función $P(v) = \frac{v^3}{v^2 + 10}$, donde $v$ representa la velocidad del viento. Estudie analíticamente la simetría de $P(v)$. Si consideramos velocidades de viento negativas como viento soplando en dirección contraria, ¿qué significado físico tiene la simetría obtenida respecto a la potencia generada?

Analice rigurosamente la simetría de la función racional $f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 - 4}$. Muestre todos los pasos algebraicos.

Un estudiante afirma que la función $f(x) = \frac{1}{x-2}$ es impar porque la $x$ del denominador está elevada a un exponente impar (1). ¿Es correcta esta afirmación? Demústrelo o refútelo mediante un análisis algebraico.

Para predecir una tendencia financiera, se crea un modelo multiplicando dos funciones más simples: $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Sabiendo que $f(x) = x^2$ (función par) y $g(x) = x$ (función impar), determine algebraicamente qué tipo de simetría tendrá la función resultante $h(x)$.

Calcule el valor del parámetro $b$ para que la función racional $f(x) = \frac{5x^2 + bx - 2}{x}$ sea una función impar.

Suponga que existe una función $f(x)$ que es simultáneamente par e impar en todo su dominio. Plantee el sistema de ecuaciones que se deriva de las definiciones de ambas simetrías y resuelva para encontrar cuál es la única función que cumple esta condición.