Ejercicios: Representación de funciones

Un taxista cobra una bajada de bandera de $\$3$ y $\$1,5$ por cada milla recorrida. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del trayecto con las millas recorridas.

Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si inicialmente hay $100$ bacterias, escribe la función exponencial $N(t)$ que proporciona el número de bacterias en función del tiempo $t$ en horas.

Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$.

Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Observa la gráfica de la recta y determina su pendiente, su ordenada en el origen y su expresión algebraica.

Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.

El beneficio de una empresa de tecnología, en miles de dólares, viene dado por la función $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, donde $x$ es el número de dispositivos vendidos en cientos. ¿Cuántos dispositivos deben vender para maximizar su beneficio y cuál es dicho beneficio máximo?

La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.

El alquiler de un autobús para una excursión escolar cuesta $\$600$. Escribe la función $C(x)$ que determina el costo por estudiante en función del número de estudiantes $x$ que asistan. Si a última hora se dan de baja $5$ estudiantes, escribe la nueva función de costo por estudiante y halla cuánto pagará cada uno si originalmente iban a ir $30$ estudiantes.

Se invierten $\$5000$ en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modela el capital acumulado al cabo de $t$ años y calcula el capital disponible tras $5$ años.

El periodo de oscilación $T$ (en segundos) de un péndulo simple depende de su longitud $L$ (en pies) según la función radical $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$. Calcula el dominio de la función en este contexto y determina el periodo de un péndulo de $2,45$ pies de longitud.

A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica de la nueva parábola e indica el vector de traslación aplicado.

El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Calcula el nivel de intensidad sonora de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.

La altura $h(t)$ en pies de una cabina de una rueda de la fortuna de la feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la rueda de la fortuna? ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?

Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era negativa antes de aplicar el valor absoluto.

La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura máxima en el punto $(2, 7)$ y cae al suelo, halla la expresión algebraica de la parábola y determina a qué distancia horizontal del punto de lanzamiento impactará.

La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de corte $A$ y $B$.

La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y $t$ el tiempo en años. Si un hueso conserva solo el $12,5\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuántos años han transcurrido?

Un granjero dispone de $120$ pies de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe la función que proporciona el área del terreno en función de la anchura $x$ perpendicular al río. ¿Qué dimensiones maximizan el área y cuál es el área máxima?

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las asíntotas verticales y horizontales se intercambian entre $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.

Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota horizontal en $y = 3$ y pasa por el punto $(2, 8)$.

El costo mensual de la factura del agua en un municipio se calcula mediante una función definida a trozos: una cuota fija de $\$10$ que incluye los primeros $15 \text{ m}^3$, un costo de $\$0,5$ por $\text{m}^3$ adicional para el consumo entre $15 \text{ m}^3$ y $30 \text{ m}^3$, y un costo de $\$1,2$ por cada $\text{m}^3$ que exceda los $30 \text{ m}^3$. Escribe la expresión analítica de la función costo $C(x)$ en función de los pies cúbicos totales consumidos $x$.