Ejercicios: Comportamiento en el infinito

Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$. Determina el valor al que se aproxima la función cuando $x$ se hace infinitamente grande ($x \to +\infty$) y cuando se hace infinitamente pequeño ($x \to -\infty$).

La siguiente tabla muestra los valores que toma una función $g(x)$ para valores de $x$ cada vez mayores:

• $x = 10 \rightarrow g(x) = 2,9$

• $x = 100 \rightarrow g(x) = 2,99$

• $x = 1000 \rightarrow g(x) = 2,999$

• $x = 10000 \rightarrow g(x) = 2,9999$

A la vista de estos resultados, ¿a qué valor tiende la función $g(x)$ cuando $x \to +\infty$?

Calcula el comportamiento en el infinito de la siguiente función polinómica, es decir, halla el valor del límite:

$\lim_{x \to +\infty} (2x^3 - 5x^2 + 7x - 1)$

Determina la tendencia de la función $h(x) = -4x^5 + 3x^2 - 8$ cuando $x$ tiende a $-\infty$. Para ello, calcula $\lim_{x \to -\infty} h(x)$.

Calcula el siguiente límite de una función racional donde el grado del denominador es mayor que el del numerador:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 5}{x^2 + 4x + 1}$

Una colonia de bacterias crece según la función $P(t) = 150 \cdot 2^t$, donde $t$ se mide en horas. ¿Qué ocurre con la población de bacterias cuando el tiempo avanza indefinidamente ($t \to +\infty$)?

La cantidad de una sustancia radiactiva en miligramos sigue la función $M(t) = 500 \cdot 0,8^t$, donde $t$ son los años transcurridos. ¿A qué valor tiende la cantidad de sustancia a muy largo plazo ($t \to +\infty$)?

Observa la gráfica de la función $C(x)$ que representa el costo promedio (en dólares) de fabricar $x$ objetos. Indica cuál es la ecuación de la asíntota horizontal y explica qué significado tiene cuando el número de objetos producidos tiende a infinito.

El costo promedio de producción de $x$ unidades de un artículo electrónico viene dado por la función racional $C(x) = \frac{2500 + 15x}{x}$ en dólares. Calcula el límite de esta función cuando $x \to +\infty$ e interpreta el resultado en el contexto de la empresa.

La temperatura en grados Fahrenheit de una taza de café recién servida en una habitación disminuye con el tiempo $t$ (en minutos) según la función exponencial $T(t) = 22 + 68 \cdot 0,85^t$. ¿A qué temperatura tiende el café cuando ha transcurrido mucho tiempo? Justifica tu respuesta calculando matemáticamente el límite correspondiente.

En un ecosistema aislado, la población de cierta especie de ave se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1200t + 400}{2t + 5}$, donde $t$ es el tiempo en años desde que se iniciaron los registros. Determina hacia qué valor se estabilizará la población de aves a largo plazo.

Calcula el límite cuando $x \to -\infty$ de la siguiente función racional, prestando atención a los signos y a los grados de los polinomios:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3 - 2x^2 + x}{4 - 3x^3}$

Estudia el comportamiento de la función polinómica $f(x) = (2x^2 - 3x + 1) - (x^3 - 5x)$ calculando sus límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$.

Halla el valor del parámetro $k$ sabiendo que la función racional $f(x) = \frac{kx^2 - 3x + 7}{4x^2 + 5}$ tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{4x^2 + 1}{x^2 - 3} & \text{si } x > 0 \\ 3^x + 2 & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$

Calcula los límites $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Un capital de $\$2000$ se invierte a un interés compuesto anual del $4\%$. La función que describe el capital acumulado al cabo de $t$ años es $C(t) = 2000 \cdot 1,04^t$. ¿Cuál es el límite de $C(t)$ cuando $t \to +\infty$? ¿Consideras que este modelo matemático es realista para tiempos extremadamente largos? Razona tu respuesta.

La concentración de un determinado fármaco en la sangre (en mg/L) tras $t$ horas desde su administración oral sigue la función $C(t) = \frac{30t}{t^2 + 9}$. Calcula hacia qué valor tiende la concentración a muy largo plazo. A continuación, plantea y resuelve una inecuación para determinar a partir de qué hora (exacta) la concentración en sangre será estrictamente inferior a $1$ mg/L.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 8}{bx - 2}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, -10)$ y tiene una asíntota horizontal en la recta $y = 3$.

Estudia el comportamiento en el infinito de la función que incluye un valor absoluto $f(x) = \frac{4x + |x|}{x + 2}$. Para ello, calcula los límites cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. ¿Tiene la función la misma asíntota horizontal por la derecha que por la izquierda?

Una empresa de software estima que sus ganancias anuales (en miles de dólares) en función de los gastos en publicidad $x$ (también en miles de dólares) se ajustan a la función $B(x) = \frac{120x^2 - 500}{3x^2 + 2x + 10}$. ¿Existe un límite máximo para las ganancias por mucho que se invierta en publicidad de forma indefinida? Justifica tu respuesta calculando el límite en el infinito e indica a cuántos dólares asciende dicho tope.

Sea la función racional $f(x) = \frac{3x}{x+2}$. Calcula su límite $L$ cuando $x \to +\infty$. A continuación, plantea y resuelve una inecuación para averiguar a partir de qué valor de $x > 0$ se cumple que la distancia entre $f(x)$ y su límite $L$ es estrictamente menor que $0,01$.

Considera las funciones $f(x) = x^4$ y $g(x) = 1,5^x$. Para valores pequeños de $x$ la función polinómica es mayor que la exponencial (por ejemplo, para $x=2$, $16 > 2,25$). Sin embargo, determina cuál de las dos crece más rápido en el infinito ayudándote de una tabla de valores para $x = 10, 20$ y $30$. A partir de tu conclusión, deduce el valor del límite $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^4}{1,5^x}$.

Observa la siguiente gráfica que representa una función $f(x)$ con dos asíntotas horizontales diferentes. A partir de la gráfica, deduce el valor de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Basándote en lo que has estudiado sobre funciones exponenciales, escribe una posible expresión analítica que presente este tipo de comportamiento asintótico doble.

En un tanque industrial de $500$ galones de agua pura comienza a verterse una mezcla salina a razón de $10$ galones por minuto, con una concentración de $40$ gramos de sal por galón. Al mismo tiempo, la mezcla bien homogeneizada sale del tanque a la misma velocidad para mantener el volumen constante. La concentración de sal en el tanque (en g/gal) en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $C(t) = 40(1 - e^{-0,02t})$. Calcula el límite de $C(t)$ cuando $t \to +\infty$ y explica el significado físico de este resultado.