Ejercicios: Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

Observe la siguiente gráfica de una función polinómica de grado 3.

Indique en qué intervalo la función es cóncava ($\cap$) y en cuál es convexa ($\cup$). Identifique las coordenadas exactas del punto $P$ sabiendo que es el punto de inflexión y se encuentra en el origen de coordenadas.

Clasifique las siguientes funciones cuadráticas como cóncavas ($\cap$) o convexas ($\cup$) sin necesidad de representarlas gráficamente. Recuerde fijarse en el coeficiente principal.

1. a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$
2. b) $g(x) = -x^2 + 5x$
3. c) $h(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4$
4. d) $i(x) = 8 - 2x^2$

Durante un partido de básquetbol, un jugador lanza el balón hacia la canasta. La trayectoria del balón sigue la ecuación $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, donde $h$ es la altura en pies y $t$ el tiempo en segundos.

¿La trayectoria descrita por el balón es cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$)? ¿Existe algún punto de inflexión en el vuelo del balón? Razone su respuesta basándose en la forma de la gráfica.

Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su respuesta detalladamente:

"Un punto de inflexión es aquel punto de la gráfica en el que la función pasa de ser creciente a ser decreciente, o viceversa."

La siguiente gráfica representa la altitud de un dron de vigilancia a lo largo del tiempo durante una maniobra de ascenso.

Identifique qué tipo de curvatura tiene la gráfica antes y después del punto $I$. Explique qué significa físicamente este punto de inflexión en el contexto del vuelo del dron (cómo cambia su forma de ascender).

Una pista de patinaje (tipo half-pipe) tiene una sección transversal cuya forma se puede modelar matemáticamente mediante la parábola $y = 0.5x^2$.

¿Qué tipo de curvatura presenta la pista, cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$)? ¿Existe algún punto de inflexión en esta estructura continua?

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3}{x}$, analice su gráfica mentalmente o dibujando un boceto rápido.

¿Qué tipo de curvatura tiene en el intervalo $(0, +\infty)$? ¿Y en el intervalo $(-\infty, 0)$? ¿Se puede decir que en $x=0$ hay un punto de inflexión?

Una empresa de impresión 3D tiene unos costos fijos mensuales de $\$1000$ y un costo de producción de $\$5$ por cada pieza fabricada. La función de costo total viene dada por $C(x) = 5x + 1000$.

¿Tiene esta función concavidad, convexidad o puntos de inflexión? Justifique su respuesta basándose en la representación gráfica de la función.

La siguiente gráfica muestra el número total acumulado de personas contagiadas por un virus en una población a lo largo de los días de un mes.

1. a) Identifique visualmente los intervalos donde la curva de contagios es convexa ($\cup$) y donde es cóncava ($\cap$).
2. b) Localice el punto de inflexión (marcado en naranja). ¿Qué significado crucial tiene este punto en la evolución de la epidemia respecto a la cantidad de nuevos contagios diarios?

Determine los valores del parámetro $k$ para los cuales la función cuadrática $f(x) = (2k - 8)x^2 + 3x - 5$ es una parábola cóncava ($\cap$).

¿Para qué valor exacto de $k$ la función dejaría de tener curvatura? ¿Qué tipo de función se obtendría en ese caso concreto?

La siguiente gráfica corresponde a una función definida por partes, compuesta por dos fragmentos de parábolas diferentes que se unen suavemente.

Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función global. ¿Qué representa el punto de unión naranja en $x=0$ en relación con la curvatura de la función?

Imagine que está llenando de agua, a un ritmo constante, una botella de vidrio que tiene una base esférica ancha y un cuello cilíndrico estrecho.

Si representamos gráficamente la altura del agua en la botella en función del tiempo transcurrido, describa cómo es la curvatura de la gráfica en la zona esférica inferior (donde la botella se ensancha y luego se estrecha). ¿Hay algún punto de inflexión? ¿Dónde se situaría de forma aproximada?

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$, se sabe por su gráfica que su punto de inflexión se encuentra situado exactamente en la coordenada $x$ que es el punto medio entre sus dos extremos relativos (un máximo local en $x=1$ y un mínimo local en $x=3$).

Calcule las coordenadas exactas del punto de inflexión y determine los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$) de la función.

La función $f(x) = |x^2 - 4|$ representa el valor absoluto de una parábola y su gráfica tiene forma de "W" redondeada.

Observe su gráfica y determine en qué intervalos la función es cóncava ($\cap$) y en cuáles es convexa ($\cup$). ¿Se pueden considerar los puntos $x=-2$ y $x=2$ (marcados en rojo) como puntos de inflexión propiamente dichos? Razone su respuesta.

El perfil de una etapa ciclista de montaña se puede modelar en un tramo concreto mediante la función $h(x) = -0.1x^3 + 1.5x^2 + 2x + 500$, donde $x$ es la distancia horizontal en millas y $h(x)$ es la altitud en pies. Se sabe que exactamente en la milla $x=5$ la pendiente de subida deja de aumentar y empieza a disminuir progresivamente hasta llegar a la cima.

¿Qué nombre recibe el punto $x=5$ en términos de análisis de funciones? ¿Qué tipo de curvatura tiene el perfil de la montaña antes y después de esa milla?

Compruebe si la suma de dos funciones convexas ($\cup$) da como resultado siempre otra función convexa.

Para investigarlo algebraicamente, tome las parábolas $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2x^2 - 4x + 1$, ambas convexas. Halle la expresión de la función suma $h(x) = f(x) + g(x)$ y analice el tipo de curvatura que presenta $h(x)$.

Describa y dibuje en su cuaderno un boceto de una función continua $f(x)$ definida en el dominio $[-5, 5]$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:

• Es simétrica impar (simetría respecto al origen).

• Tiene un máximo relativo en $x = 2$ y un mínimo relativo en $x = -2$.

• Tiene exactamente tres puntos de inflexión situados en $x = -3$, $x = 0$ y $x = 3$.

• Es convexa ($\cup$) en los intervalos $[-5, -3) \cup (0, 3)$.

• Es cóncava ($\cap$) en los intervalos $(-3, 0) \cup (3, 5]$.

La gráfica adjunta corresponde a la función racional $f(x) = \frac{100x}{x^2+4}$.

A partir de la observación detallada de la curva y de los puntos naranjas marcados, identifique cuántos puntos de inflexión posee la función y determine de forma aproximada los intervalos de concavidad ($\cap$) y convexidad ($\cup$) en todo su dominio $\mathbb{R}$.

Un tren de alta velocidad realiza un trayecto en línea recta. Durante los primeros $4$ minutos, acelera cada vez con mayor intensidad. Luego, del minuto $4$ al $8$, sigue acelerando pero cada vez a menor ritmo hasta alcanzar su velocidad de crucero máxima. Finalmente, del minuto $8$ al $12$, frena progresivamente hasta detenerse en la siguiente estación.

Si representamos la distancia recorrida en función del tiempo, ¿cuáles son los intervalos de concavidad y convexidad de esta gráfica de posición? Identifique los puntos de inflexión y explique su significado físico en relación con la aceleración del tren.

Considere la familia de funciones cuadráticas paramétricas dadas por la expresión $f(x) = (a^2 - 9)x^2 + 5x - 2$, donde $a$ es un número real.

1. a) ¿Para qué valores exactos del parámetro $a$ la función es una parábola convexa ($\cup$)?
2. b) ¿Para qué valores de $a$ es una parábola cóncava ($\cap$)?
3. c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual la gráfica de la función carezca de curvatura? En ese caso, ¿qué tipo de función geométrica se obtiene?

Un tanque de agua tiene la forma de un cono invertido (la punta hacia abajo y la base circular abierta hacia arriba). Se empieza a verter agua en su interior a un ritmo constante de galones por minuto.

Si construimos una gráfica que relacione la altura del nivel del agua $h(t)$ en función del tiempo transcurrido $t$, ¿la curva resultante será cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$)? Justifique su respuesta analizando cómo varía la velocidad a la que sube el nivel del agua a medida que el cono se ensancha.

Dada la siguiente función cuadrática definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4x & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 4x + 8 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

1. a) Compruebe algebraicamente si la función es continua en el punto de ruptura $x = 2$.
2. b) Estudie analíticamente la curvatura de cada uno de los dos tramos.
3. c) ¿Se puede afirmar rigurosamente que existe un punto de inflexión en $x = 2$? Razone su respuesta basándose en la definición de punto de inflexión.

Un capital inicial de $\$1000$ se invierte en un fondo a un interés compuesto anual del $5\%$. La función que describe el capital acumulado a lo largo del tiempo $t$ (en años) es $C(t) = 1000 \cdot (1.05)^t$.

Sabiendo que las funciones exponenciales con base mayor que $1$ tienen una curvatura característica, determine si esta función es cóncava ($\cap$) o convexa ($\cup$). ¿Llegará algún momento en el futuro en el que el ritmo de crecimiento del capital empiece a disminuir, generando así un punto de inflexión? Justifique su respuesta.

Suponga que la tasa de variación (el ritmo de crecimiento o pendiente) de una función $f(x)$ a lo largo del tiempo viene dada por la recta $y = -2x + 4$.

Sabiendo que el ritmo de crecimiento de $f(x)$ es cada vez menor (ya que la recta naranja que representa la tasa es estrictamente decreciente), ¿qué puede deducir sobre la curvatura global de la función original $f(x)$? ¿Tendrá la función original algún punto de inflexión? Razone su respuesta.