Ejercicios: Ángulos inscritos y centrales

Una nueva rueda de la fortuna en el muelle de Santa Mónica tiene cabinas de pasajeros espaciadas uniformemente. Si el arco entre la cabina A y la cabina B mide $72^\circ$ desde el centro de la rueda, determina la medida del ángulo inscrito que se forma si un observador en la cabina C (ubicada en el extremo opuesto de la rueda) mira hacia las cabinas A y B.

Un arquitecto está diseñando un escenario teatral en forma de semicírculo. En el borde curvo del escenario se colocará un foco de luz que debe iluminar exactamente los dos extremos del diámetro del escenario. Calcula el ángulo de apertura que debe tener el foco de luz para cubrir exactamente el diámetro.

En un parque de la ciudad de Nueva York, cuatro senderos rectos forman un cuadrilátero inscrito en una plaza circular. Si el ángulo en la esquina noroeste del cuadrilátero mide $105^\circ$, calcula la medida del ángulo en la esquina sureste (la esquina opuesta).

Una pizzería en Chicago vende porciones individuales. Cada porción es un sector circular cortado de una pizza que tiene un radio de $8$ pulgadas. Si el ángulo central de la porción es de $45^\circ$, ¿cuál es la longitud del borde de la corteza (la longitud del arco) de esa porción? Expresa tu respuesta en términos de $\pi$.

Un aspersor automático en un jardín residencial riega el césped girando y cubriendo un sector circular. El aspersor alcanza una distancia de $15$ pies y gira un ángulo de $\frac{2\pi}{3}$ radianes. Calcula el área total del césped que recibe agua, expresando el resultado en términos de $\pi$.

Dos cámaras de seguridad están montadas en las paredes de una habitación circular y apuntan hacia la misma puerta doble. Las lentes de ambas cámaras abarcan exactamente el mismo arco que representa el ancho de la puerta. Si la primera cámara registra un ángulo de visión de $32^\circ$ hacia los extremos de la puerta, ¿cuál es el ángulo de visión de la segunda cámara?

Un reloj de pared decorativo tiene un radio de $10$ pulgadas. Calcula la longitud del arco a lo largo del borde del reloj que se extiende desde la marca de las 12 en punto hasta la marca de las 4 en punto. Expresa el resultado en pulgadas, redondeado a un decimal.

Un joyero diseña un colgante circular de plata. En el interior del círculo graba un cuadrilátero cuyos cuatro vértices tocan el borde del círculo. Si dos ángulos adyacentes del cuadrilátero miden $85^\circ$ y $110^\circ$, determina las medidas de los otros dos ángulos.

El diseño de un vitral circular incluye un cuadrilátero inscrito $ABCD$. Las medidas de los ángulos opuestos $A$ y $C$ están dadas por las expresiones algebraicas $m\angle A = (4x + 15)^\circ$ y $m\angle C = (3x + 25)^\circ$. Determina el valor de $x$ y la medida exacta de ambos ángulos.

Una piscina tiene forma de círculo con un diámetro dibujado en el fondo que divide la piscina en dos semicírculos. Un nadador se encuentra en el borde de la piscina y mira hacia los dos extremos del diámetro, formando un triángulo inscrito. Si el ángulo entre el diámetro y la línea de visión hacia uno de los extremos es de $38^\circ$, calcula la medida del ángulo entre el diámetro y la línea de visión hacia el otro extremo.

Un contratista está instalando un borde de luces LED alrededor del arco superior de una ventana semicircular. El área del cristal semicircular es de $1,250$ pulgadas cuadradas. Si las luces LED cuestan $\$3.50$ por pulgada, ¿cuál será el costo total de instalar las luces a lo largo del borde curvo de la ventana? Usa $\pi \approx 3.14$ y redondea tu respuesta al dólar más cercano.

En una pizzería, puedes comprar una rebanada de una pizza grande de $16$ pulgadas de diámetro cortada en $8$ porciones iguales, o una rebanada de una pizza mediana de $12$ pulgadas de diámetro cortada en $6$ porciones iguales. Calcula el área de cada rebanada usando radianes para los ángulos centrales y determina cuál rebanada te da más cantidad de pizza.

Un automóvil corre por una pista circular de pruebas que tiene un radio de $2.5$ millas. Un espectador se encuentra de pie en el borde de la pista. Desde la perspectiva del espectador, el automóvil se desplaza a lo largo de la pista creando un ángulo inscrito de $42^\circ$. Calcula la distancia real en millas que recorrió el automóvil a lo largo del arco.

El logotipo de una aplicación de celular consiste en un triángulo inscrito en un círculo. Los tres vértices del triángulo dividen la circunferencia en tres arcos cuyas longitudes están en la proporción de $2:3:4$. Calcula las medidas en grados de los tres ángulos interiores del triángulo inscrito.

El brazo del limpiaparabrisas de un autobús mide $28$ pulgadas de largo, pero la escobilla de goma que realmente limpia el cristal solo ocupa las $20$ pulgadas exteriores del brazo (es decir, el extremo interior de la escobilla está a $8$ pulgadas del centro de rotación). Si el limpiaparabrisas gira a través de un ángulo de $135^\circ$, calcula el área exacta del parabrisas que es limpiada por la escobilla.

En un museo de ciencias, un péndulo de $40$ pulgadas de longitud oscila de un lado a otro. En un movimiento, la punta del péndulo recorre un arco de $12$ pulgadas de longitud. Determina el ángulo central de la oscilación tanto en radianes como en grados. Redondea el ángulo en grados a un decimal.

Un campo de cultivo en Iowa tiene forma circular con un radio de $0.8$ millas. Un dron de inspección vuela exactamente sobre el perímetro del campo. Durante su vuelo, la cámara del dron barre un área de terreno que corresponde a un sector circular de $0.64\pi$ millas cuadradas. Calcula la distancia física en millas que el dron recorrió a lo largo del arco, y determina el ángulo central correspondiente en grados.

En el diseño de una mesa de lujo, se cortará un segmento circular del borde de un tablero redondo grande de caoba que tiene un radio de $24$ pulgadas. El corte se hará a lo largo de una cuerda que subtiende un ángulo central de $\frac{\pi}{3}$ radianes. Calcula el área exacta de la madera que se desperdiciará (el área del segmento circular).

Un sistema de ecuaciones rige los ángulos de un cuadrilátero $PQRS$ inscrito en una circunferencia. Las medidas de los ángulos están dadas por: $m\angle P = (2x + y)^\circ$, $m\angle Q = (3x - y)^\circ$, $m\angle R = (x + 2y)^\circ$ y $m\angle S = (2x + 3y)^\circ$. Resuelve el sistema para encontrar los valores de $x$ e $y$, y demuestra que se cumple el teorema de los cuadriláteros inscritos verificando la medida de cada ángulo.

Un arquitecto paisajista está diseñando un patio en forma de sector circular. El cliente tiene un presupuesto estricto para los materiales del borde, lo que limita el perímetro total del sector (los dos radios más el arco curvo) a exactamente $60$ pies. Si el arquitecto quiere que el patio tenga un área de $200$ pies cuadrados, plantea y resuelve una ecuación para encontrar el radio necesario y el ángulo central en radianes.

Un faro de navegación en la costa de Maine gira constantemente. Su haz de luz ilumina la superficie del océano formando un sector circular con un alcance máximo (radio) de $6$ millas. Si el faro gira a una velocidad angular constante de $\frac{\pi}{4}$ radianes por minuto, ¿cuántos kilómetros cuadrados de océano son barridos por el haz de luz en exactamente $45$ segundos? (Usa la conversión $1 \text{ milla} = 1.609 \text{ km}$ después de calcular el área en millas cuadradas).

En un círculo con centro $O$, se traza un diámetro $AB$. Un punto $C$ se ubica en la circunferencia de manera que la longitud del arco $AC$ es el doble de la longitud del arco $CB$. Se traza una cuerda $AD$ de modo que el ángulo inscrito $\angle CAD$ mide $15^\circ$. Calcula la medida del ángulo central $\angle DOB$.

Dos engranajes circulares están conectados por una cadena, pero para este problema nos enfocaremos solo en el engranaje mayor, que tiene un radio de $14$ pulgadas. La cadena envuelve el engranaje mayor a lo largo de un arco mayor que subtiende un ángulo central de $240^\circ$. Si la cadena se reemplaza por una nueva que envuelve el mismo engranaje pero formando un ángulo inscrito de $135^\circ$ desde un punto en el borde no tocado por la cadena, ¿cuál es la diferencia en longitud entre el contacto de la antigua cadena y la nueva cadena sobre el engranaje?

Una pista de atletismo cubierta consiste en dos semicírculos perfectos conectados por dos segmentos rectos. El radio de los semicírculos es de $50$ pies. Un corredor $X$ se detiene en el punto donde termina la recta y empieza la curva. Un corredor $Y$ está de pie en la mitad exacta de esa misma curva semicircular. Si un entrenador $Z$ se ubica en el extremo opuesto del mismo semicírculo, ¿cuál es la medida del ángulo $\angle XZY$ y qué longitud de arco separa a los corredores $X$ e $Y$?