Factorización de polinomios y división sintética
Jayden lanza un cohete de juguete en el patio de su casa. Un modelo para su altura en pies, $t$ segundos después del lanzamiento, es $h(t) = -t^3 + 4t^2 + 12t$. ¿Cuándo aterriza el cohete? Tendrías que resolver $-t^3 + 4t^2 + 12t = 0$, y no hay una fórmula rápida para una cúbica. Pero si el polinomio está escrito como un producto de factores, la respuesta salta a la vista, porque un producto es cero solo cuando uno de sus factores es cero. En esta página aprenderás a descomponer un polinomio en factores y la herramienta que lo hace posible en grados mayores: la división sintética.
Sacar el MCD como factor común
Todo problema de factorización empieza igual: sacar el máximo común divisor (MCD). Para encontrarlo, toma el MCD de los coeficientes y, para cada variable, el exponente más pequeño que aparece en todos los términos.
Extraiga el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo: $P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Extraiga el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo:
$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Productos especiales al revés
Después del MCD, mira lo que queda. Si coincide con alguno de los productos especiales que aprendiste al multiplicar, puedes factorizarlo de inmediato, simplemente recorriendo el patrón al revés.
| Patrón | Forma factorizada |
|---|---|
| $a^2 + 2ab + b^2$ (trinomio cuadrado perfecto) | $(a + b)^2$ |
| $a^2 - 2ab + b^2$ (trinomio cuadrado perfecto) | $(a - b)^2$ |
| $a^2 - b^2$ (diferencia de cuadrados) | $(a + b)(a - b)$ |
En un trinomio cuadrado perfecto, el primer y el último término deben ser cuadrados perfectos, y el término del medio debe ser $2ab$, el doble del producto de sus raíces cuadradas. En una diferencia de cuadrados debe haber exactamente dos términos, ambos cuadrados perfectos, con un signo menos entre ellos.
Los productos especiales también son una herramienta poderosa para las demostraciones. Para probar que una expresión siempre es múltiplo de $k$, factorízala y busca $k$.
Factorice los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de identidades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):…
Factorice los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de identidades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):
- a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
- b) $B(x) = 9x^2 - 16$
Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factorice el polinomio completamente en polinomios irreducibles con…
Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factorice el polinomio completamente en polinomios irreducibles con coeficientes reales para hallar las posibles expresiones algebraicas de su base y su altura.
Utilizando la factorización de polinomios y las identidades notables, demuestre algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares…
Utilizando la factorización de polinomios y las identidades notables, demuestre algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, es siempre un múltiplo de $8$ para cualquier número entero $n$.
División sintética
Para un polinomio de grado 3 o mayor, el MCD y los productos especiales casi nunca bastan. La herramienta central es la división sintética (synthetic division), una forma rápida de dividir $P(x)$ entre un binomio $(x - a)$ usando solo los coeficientes. Algunos problemas la llaman regla de Ruffini; es el mismo método.
Veamos la idea con $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ dividido entre $(x - 2)$:
-
Escribe los coeficientes de $P(x)$ en una fila, poniendo un $0$ por cada potencia que falte. Pon $a$ (aquí $2$) a la izquierda.
-
Baja el primer coeficiente.
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Multiplícalo por $a$, escribe el resultado debajo del siguiente coeficiente y suma.
-
Repite el paso 3 hasta que se acaben los coeficientes.
-
El último número es el residuo. Los otros números de abajo son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que $P(x)$.
¿Qué pasa si el divisor no es mónico, como $2x - 1$? Reescríbelo como $2\left(x - \tfrac{1}{2}\right)$, divide entre $x - \tfrac12$ y luego divide el cociente entre $2$. El residuo no cambia.
Aplique la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indique claramente cuál es el polinomio cociente y cuál…
Aplique la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indique claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es el resto de la división.
Realice la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puede utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre…
Realice la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puede utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre $(x - \frac{3}{2})$ y ajustando posteriormente el cociente obtenido.
El teorema del residuo y el teorema del factor
Antes de armar una tabla completa de división sintética para una posible raíz, puedes probarla mucho más rápido. La división da $P(x) = (x - a)\,Q(x) + R$. Ahora sustituye $x = a$: el término $(a - a)\,Q(a)$ se vuelve $0$ y queda $P(a) = R$.
Las raíces de un polinomio son las intersecciones de su gráfica con el eje $x$. La gráfica de abajo muestra $P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ cruzando el eje $x$ en cada raíz.
Sin realizar la división, utilice el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Sin realizar la división, utilice el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Utilice el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifique su respuesta mostrando los cálculos.
Utilice el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifique su respuesta mostrando los cálculos.
Cómo encontrar las raíces candidatas
Probar números al azar es lento. Por suerte, si los coeficientes son enteros, se pueden listar las posibles raíces racionales.
La lista da candidatas, no garantías. Pruebas cada una con el teorema del residuo y, cuando una funciona, divides con división sintética.
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Compruebe mediante el teorema del resto o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una…
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Compruebe mediante el teorema del resto o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una de sus raíces. A continuación, factorice el polinomio completamente para encontrar sus otras dos raíces (una de ellas es una fracción).
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modela mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentre…
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modela mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentre todas las raíces del polinomio para determinar los puntos exactos donde la tensión es nula.
Factorizar por completo
Factorizar por completo significa seguir hasta que cada factor tenga grado 1, o grado 2 sin raíces reales. Usa este orden cada vez:
Para una cuadrática restante $x^2 + bx + c$, busca dos números que multipliquen $c$ y sumen $b$. Para $ax^2 + bx + c$ con $a \neq 1$, usa agrupación (como en el ejemplo anterior) o la fórmula cuadrática.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilice la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilice la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Factorice completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extraiga primero el factor común y luego encuentre las raíces del polinomio resultante.
Factorice completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extraiga primero el factor común y luego encuentre las raíces del polinomio resultante.
Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factorice el polinomio al máximo para expresar el…
Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factorice el polinomio al máximo para expresar el volumen como el producto de tres dimensiones lineales (largo, ancho y alto).
Raíces múltiples
A veces el mismo factor aparece más de una vez. Si $(x - r)$ aparece $k$ veces, entonces $r$ es una raíz de multiplicidad $k$. Una raíz de multiplicidad 1 es simple, de multiplicidad 2 es doble, de multiplicidad 3 es triple.
La multiplicidad también se ve en la gráfica. En una raíz de multiplicidad impar la gráfica cruza el eje $x$; en una raíz de multiplicidad par solo toca el eje y da la vuelta. Aquí $x = -1$ es una raíz doble y $x = 2$ es simple:
Si cuentas las raíces con su multiplicidad, un polinomio de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces reales (exactamente $n$ si todos los factores son lineales).
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indique directamente cuáles son todas sus raíces y especifique la multiplicidad de cada una de ellas (si…
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indique directamente cuáles son todas sus raíces y especifique la multiplicidad de cada una de ellas (si son simples, dobles, etc.).
Factorice completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Tenga en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indique claramente cuáles son sus raíces y…
Factorice completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Tenga en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indique claramente cuáles son sus raíces y la multiplicidad de cada una.
En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factorice el…
En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factorice el polinomio completamente para descubrir todas las raíces y sus respectivas multiplicidades, logrando así descifrar el código.
Construir un polinomio a partir de sus raíces
La factorización también funciona al revés. Si conoces las raíces, el teorema del factor te da los factores, y luego los multiplicas.
Si un problema dice que el coeficiente principal es $1$, entonces $a = 1$ y no hay nada que despejar. Una raíz doble significa que su factor aparece dos veces: las raíces $1$ (doble) y $-2$ dan $(x - 1)^2(x + 2)$.
Construya un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Exprese el resultado final en forma…
Construya un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Exprese el resultado final en forma desarrollada (operando los factores).
Construya un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir,…
Construya un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir, $P(0) = 12$). Exprese el polinomio final de forma desarrollada.
Cómo hallar coeficientes desconocidos
Los teoremas también sirven para despejar coeficientes desconocidos. Cada condición ("divisible entre $x - a$", "residuo $R$") se convierte en una ecuación, al sustituir $x = a$.
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"Divisible entre $(x - a)$" significa $P(a) = 0$.
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"Residuo $R$ al dividir entre $(x - a)$" significa $P(a) = R$.
Halle el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Halle el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Calcule el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factorice…
Calcule el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factorice completamente el polinomio $P(x)$.
Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.
Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.
Factorizar en el mundo real
Siempre que un polinomio modela una situación y quieres saber cuándo es igual a cero, factorízalo. Recuerda dos cosas: saca primero el MCD y luego quédate solo con las respuestas que tengan sentido (el tiempo no puede ser negativo, una longitud debe ser positiva).
Volviendo al principio: el cohete aterriza después de exactamente $6$ segundos, y lo encontramos sin ninguna fórmula cúbica, solo factorizando.
Un tanque de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del…
Un tanque de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del tanque es exactamente $x$, factorice el polinomio para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las dimensiones de su base rectangular.
La altura de un dron de pruebas, en pies, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia su descenso, se modela mediante el polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$.…
La altura de un dron de pruebas, en pies, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia su descenso, se modela mediante el polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Factorice el polinomio para determinar en qué instantes exactos de tiempo el dron se encuentra a nivel del suelo ($H(t) = 0$).
Las ganancias mensuales de una empresa, en miles de dólares, vienen dadas por la expresión $B(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$, donde $x$ es el número de meses transcurridos…
Las ganancias mensuales de una empresa, en miles de dólares, vienen dadas por la expresión $B(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$, donde $x$ es el número de meses transcurridos desde su creación. Factorice la expresión para averiguar en qué mes o meses la ganancia de la empresa es exactamente cero.