Ejercicios: Factorización y regla de Ruffini

Aplique la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indique claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es el resto de la división.

Sin realizar la división, utilice el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.

Utilice el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifique su respuesta mostrando los cálculos.

Extraiga el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo:

$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$

Factorice los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de identidades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):

1. a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
2. b) $B(x) = 9x^2 - 16$

Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilice la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.

Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indique directamente cuáles son todas sus raíces y especifique la multiplicidad de cada una de ellas (si son simples, dobles, etc.).

Construya un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Exprese el resultado final en forma desarrollada (operando los factores).

Un tanque de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del tanque es exactamente $x$, factorice el polinomio para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las dimensiones de su base rectangular.

Halle el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.

La altura de un dron de pruebas, en pies, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia su descenso, se modela mediante el polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Factorice el polinomio para determinar en qué instantes exactos de tiempo el dron se encuentra a nivel del suelo ($H(t) = 0$).

Factorice completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extraiga primero el factor común y luego encuentre las raíces del polinomio resultante.

Calcule el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factorice completamente el polinomio $P(x)$.

Las ganancias mensuales de una empresa, en miles de dólares, vienen dadas por la expresión $B(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$, donde $x$ es el número de meses transcurridos desde su creación. Factorice la expresión para averiguar en qué mes o meses la ganancia de la empresa es exactamente cero.

Realice la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puede utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre $(x - \frac{3}{2})$ y ajustando posteriormente el cociente obtenido.

Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factorice el polinomio al máximo para expresar el volumen como el producto de tres dimensiones lineales (largo, ancho y alto).

Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modela mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentre todas las raíces del polinomio para determinar los puntos exactos donde la tensión es nula.

Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.

Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factorice el polinomio completamente en polinomios irreducibles con coeficientes reales para hallar las posibles expresiones algebraicas de su base y su altura.

Construya un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir, $P(0) = 12$). Exprese el polinomio final de forma desarrollada.

Factorice completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Tenga en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indique claramente cuáles son sus raíces y la multiplicidad de cada una.

Utilizando la factorización de polinomios y las identidades notables, demuestre algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, es siempre un múltiplo de $8$ para cualquier número entero $n$.

Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Compruebe mediante el teorema del resto o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una de sus raíces. A continuación, factorice el polinomio completamente para encontrar sus otras dos raíces (una de ellas es una fracción).

En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factorice el polinomio completamente para descubrir todas las raíces y sus respectivas multiplicidades, logrando así descifrar el código.