El consejo estudiantil quiere convertir una esquina del estacionamiento de la escuela en un huerto rectangular con un área de $84\text{ ft}^2$. El lado largo debe medir $5$ ft más que el lado corto. ¿Cuánto mide cada lado? Probar números al azar podría tardar mucho. Una ecuación cuadrática lo resuelve en un minuto.
Ya sabes resolver $ax^2+bx+c=0$ por factorización, completando el cuadrado o con la fórmula cuadrática. Lo difícil de los problemas con palabras no es el cálculo final. Es traducir las palabras a una ecuación y luego decidir qué hacer cuando obtienes dos respuestas.
El plan de tres pasos
Cuando tengas tus soluciones, pregúntate qué representa la variable. Aquí tienes una guía rápida.
Lo que representa $x$
Rechaza una solución cuando sea...
Longitud, ancho, radio, rapidez, tiempo
negativa o cero
Edad
negativa, o hace imposible la edad de alguien
Personas, camisetas, boletos
negativa o no entera
Enteros, temperaturas, coordenadas
normalmente puede ser negativa; lee bien el problema
Algo mayor que el total disponible
demasiado grande (por ejemplo, cortar más que todo el lado)
Practica★☆☆Sin empezar
Encuentre un número positivo tal que el triple de su cuadrado sea exactamente igual a doce veces ese mismo número.
Encuentre un número positivo tal que el triple de su cuadrado sea exactamente igual a doce veces ese mismo número.
Para un rectángulo, $A=\ell w$. Para un cuadrado, $A=s^2$. Cuando el problema relaciona un lado con el otro ("5 ft más largo que...", "el doble del ancho menos 1"), elige un lado como $x$ y escribe el otro usando $x$.
Practica★☆☆Sin empezar
La base de una parcela rectangular mide $5$ pies más que su altura. Si su área total es de $150 \text{ m}^2$, calcule sus dimensiones.
La base de una parcela rectangular mide $5$ pies más que su altura. Si su área total es de $150 \text{ m}^2$, calcule sus dimensiones.
Una empresa de tecnología fabrica paneles solares con forma rectangular. El largo del panel debe ser el doble de su ancho menos $1 \text{ metro}$. Si para un nuevo…
Una empresa de tecnología fabrica paneles solares con forma rectangular. El largo del panel debe ser el doble de su ancho menos $1 \text{ metro}$. Si para un nuevo modelo se requiere que la superficie del panel sea de $28 \text{ m}^2$, halle sus dimensiones.
Un borde de ancho uniforme $x$ alrededor de un rectángulo agrega $x$ en cada lado. Así, cada dimensión crece $2x$, no $x$. El área del borde es
$$\text{área exterior}-\text{área interior}.$$
Practica★★☆Sin empezar
Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho está rodeada por un pasillo de césped de anchura uniforme $x$. Si el área exclusiva del…
Una piscina rectangular de $10 \text{ m}$ de largo por $6 \text{ m}$ de ancho está rodeada por un pasillo de césped de anchura uniforme $x$. Si el área exclusiva del pasillo es de $80 \text{ m}^2$, ¿cuál es la anchura del pasillo?
Un artesano quiere diseñar un marco de madera para un espejo rectangular. Las dimensiones del espejo son $80 \text{ cm}$ de alto por $60 \text{ cm}$ de ancho. El marco…
Un artesano quiere diseñar un marco de madera para un espejo rectangular. Las dimensiones del espejo son $80 \text{ cm}$ de alto por $60 \text{ cm}$ de ancho. El marco tendrá un grosor uniforme de $x \text{ cm}$ en la parte superior e inferior, pero en los laterales el grosor será el doble, es decir, $2x \text{ cm}$. Si el área total del marco (sin incluir el espejo) debe ser de $2400 \text{ cm}^2$, determine el valor de $x$.
En un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ (el lado más largo, opuesto al ángulo recto):
$$a^2+b^2=c^2.$$
Si un cateto se describe como "$x$ más algo", la ecuación resulta cuadrática.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo rectángulo, un cateto mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Si la hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, calcule la longitud de ambos catetos.
En un triángulo rectángulo, un cateto mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Si la hipotenusa mide $13 \text{ cm}$, calcule la longitud de ambos catetos.
Algunos problemas necesitan una fórmula que quizá hace tiempo no usas.
Cuando recortas cuadrados iguales en las esquinas de una hoja y doblas los lados, cada dimensión de la base pierde $2x$ (un corte en cada extremo), y la altura de la caja es $x$.
Practica★★☆Sin empezar
Para fabricar una cometa, se necesita una tela en forma de rombo. Se sabe que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor, y que el área total de la…
Para fabricar una cometa, se necesita una tela en forma de rombo. Se sabe que la diagonal mayor mide $4 \text{ cm}$ más que la diagonal menor, y que el área total de la cometa es de $96 \text{ cm}^2$. Calcule la longitud de ambas diagonales.
Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Se desea construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de…
Se dispone de una plancha de cartón rectangular de $30 \text{ cm}$ de largo por $20 \text{ cm}$ de ancho. Se desea construir una caja sin tapa cortando un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblando las solapas hacia arriba. Si el área de la base de la caja resultante debe ser de $336 \text{ cm}^2$, calcule el valor de $x$ y el volumen de la caja.
Una lata cilíndrica de conservas se diseña de modo que su altura es exactamente igual al diámetro de su base. Si para fabricar la lata (incluyendo las dos tapas…
Una lata cilíndrica de conservas se diseña de modo que su altura es exactamente igual al diámetro de su base. Si para fabricar la lata (incluyendo las dos tapas circulares y la cara lateral) se han utilizado exactamente $150\pi \text{ cm}^2$ de hojalata, calcule el radio de la base.
Los problemas de edades mezclan "hace años" (restar) con "dentro de años" (sumar), a menudo dentro de un cuadrado o un producto. Haz primero una tablita.
Practica★☆☆Sin empezar
Si al cuadrado de la edad que tendrá Lucía dentro de $3$ años le restamos el triple de la edad que tenía hace $2$ años, obtenemos $55$. ¿Qué edad tiene Lucía actualmente?
Si al cuadrado de la edad que tendrá Lucía dentro de $3$ años le restamos el triple de la edad que tenía hace $2$ años, obtenemos $55$. ¿Qué edad tiene Lucía actualmente?
La diferencia entre las edades de un abuelo y su nieto es de $56$ años. Hace $4$ años, la edad del abuelo era exactamente el cuadrado de la edad del nieto. ¿Qué edades…
La diferencia entre las edades de un abuelo y su nieto es de $56$ años. Hace $4$ años, la edad del abuelo era exactamente el cuadrado de la edad del nieto. ¿Qué edades tienen actualmente?
En estos problemas la incógnita está en un denominador. Multiplica todos los términos por el mínimo común denominador para eliminar las fracciones. Aparece una ecuación cuadrática.
Practica★★☆Sin empezar
Un grupo de amigos decide comprar un regalo de bodas que cuesta $\$120…
Un grupo de amigos decide comprar un regalo de bodas que cuesta $\$120$, a pagar a partes iguales. A última hora se unen dos amigos más al grupo, lo que hace que cada uno de los anteriores deba pagar $\$3$ menos de lo inicialmente previsto. ¿Cuántos amigos conformaban el grupo inicial?
El precio de costo de un lote de camisetas es de $\$300$. El vendedor decide quedarse con $5$ camisetas para su familia y vender el resto a $\$2$ más de lo que le costó…
El precio de costo de un lote de camisetas es de $\$300$. El vendedor decide quedarse con $5$ camisetas para su familia y vender el resto a $\$2$ más de lo que le costó cada una. Si tras venderlas todas obtiene un beneficio neto de $\$60$ (es decir, ingresa $\$360$ en total), ¿cuántas camisetas compró inicialmente?
Una compañía de teatro alquila una sala por $\$800…
Una compañía de teatro alquila una sala por $\$800$ para una representación. Para cubrir los gastos, deciden fijar un precio para la entrada. El día de la función asisten $40$ espectadores más de los esperados, por lo que el organizador decide rebajar el precio de la entrada en $\$1$, recaudando exactamente los $\$800$ necesarios. ¿Cuántos espectadores asistieron finalmente a la representación?
Para el movimiento: $d = r\cdot t$, así que $t=\dfrac{d}{r}$. Cuando dos viajes cubren la misma distancia a distintas rapideces, escribe cada tiempo como $\dfrac{d}{r}$ y relaciona los tiempos.
Cuando dos objetos se mueven por trayectorias perpendiculares, la distancia entre ellos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, y cada cateto es $\text{rapidez}\times\text{tiempo}$.
Problemas de trabajo. Si un trabajo toma $h$ horas hecho por una sola persona, esa persona termina $\dfrac1h$ del trabajo cada hora. Trabajando juntos, las fracciones se suman: $\dfrac1{h_1}+\dfrac1{h_2}=\dfrac1{h_{\text{juntos}}}$.
Practica★★★Sin empezar
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60 \text{ km}$. A la vuelta, debido a la fatiga, su velocidad media es $5 \text{ km/h}$ menor que a la…
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60 \text{ km}$. A la vuelta, debido a la fatiga, su velocidad media es $5 \text{ km/h}$ menor que a la ida, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo trayecto. ¿A qué velocidad circuló a la ida?
Dos carros parten a la vez desde el mismo cruce por dos carreteras perpendiculares. Uno circula a $10 \text{ km/h}$ más rápido que el otro. Al cabo de $2$ horas, la…
Dos carros parten a la vez desde el mismo cruce por dos carreteras perpendiculares. Uno circula a $10 \text{ km/h}$ más rápido que el otro. Al cabo de $2$ horas, la distancia en línea recta que los separa es de $100 \text{ km}$. ¿A qué velocidad circula cada uno?
Dos tuberías llenan juntas un tanque de agua en $6$ horas. Si se abriera solo la primera tubería, tardaría $5$ horas menos en llenar el tanque que si se abriera solo la…
Dos tuberías llenan juntas un tanque de agua en $6$ horas. Si se abriera solo la primera tubería, tardaría $5$ horas menos en llenar el tanque que si se abriera solo la segunda. ¿Cuánto tardaría cada tubería en llenar el tanque de forma independiente?
Si depositas un capital (principal) $P$ en una cuenta que paga una tasa anual $r$ (en forma decimal), compuesta una vez al año, el saldo después de $t$ años es
$$A=P(1+r)^t.$$
Después de $2$ años, $A=P(1+r)^2$. Es una cuadrática en $r$, así que encontrar una tasa desconocida lleva a una ecuación cuadrática.
Practica★★★Sin empezar
Un inversionista coloca un capital de $\$5000$ a una determinada tasa de interés compuesto anual. Al cabo de dos años, el capital acumulado es de $\$5408$. ¿Cuál fue la…
Un inversionista coloca un capital de $\$5000$ a una determinada tasa de interés compuesto anual. Al cabo de dos años, el capital acumulado es de $\$5408$. ¿Cuál fue la tasa de interés anual aplicada?
La trayectoria de un objeto lanzado es una parábola. Dos preguntas aparecen todo el tiempo:
"¿Cuándo está a una altura $k$?" Iguala la fórmula de la altura a $k$.
"¿Cuándo toca el suelo?" Iguala la altura a $0$.
La ecuación $-16t^2+48t=32$ tiene dos soluciones porque una recta horizontal en $32$ ft corta la parábola dos veces: una al subir y otra al bajar. (Aquí la gráfica usa $x$ para el tiempo.)
A veces los coeficientes son decimales y el coeficiente principal es negativo. Multiplica por una potencia de $10$ para eliminar los decimales, y luego por $-1$ para que $a$ sea positivo.
Practica★★☆Sin empezar
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ (en pies) en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión matemática…
Un proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ (en pies) en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión matemática $h = 40t - 5t^2$. ¿En qué instantes de tiempo el proyectil se encontrará exactamente a una altura de $75 \text{ metros}$?
En una competencia de atletismo, se lanza un peso. La trayectoria sigue una parábola dada por la ecuación $y = -0.05x^2 + 0.8x + 1.8$, donde $x$ es la distancia…
En una competencia de atletismo, se lanza un peso. La trayectoria sigue una parábola dada por la ecuación $y = -0.05x^2 + 0.8x + 1.8$, donde $x$ es la distancia horizontal en pies e $y$ la altura en pies. ¿A qué distancia horizontal tocará el suelo?
De vuelta al principio: el huerto mide $7$ ft por $12$ ft. Escribiste una ecuación cuadrática, la resolviste y comprobaste ambas respuestas con las palabras del problema.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado