Te conviene dominar: Ecuaciones lineales (Matemáticas de 8.º grado (Pre-Álgebra))
Marcus está programando un videojuego de basquetbol. Para cada tiro necesita tres datos: a qué altura empieza el balón, a qué altura llega como máximo y dónde cae. Podría graficar 50 puntos, o podría leer los tres datos directamente de la fórmula.
Analizar una función es reunir datos como estos de forma organizada, para poder trazar toda la gráfica sin marcar docenas de puntos. Al final de esta página tendrás una lista de cinco pasos y la usarás con el tiro de Marcus.
La lista de pasos y cómo leer una gráfica
Dominio y rango a partir de una gráfica
Un punto cerrado significa que ese extremo está incluido. Un punto abierto significa que la gráfica se acerca a él pero nunca lo alcanza, así que no está incluido. Puedes escribir las respuestas como desigualdades (también llamadas inecuaciones) o en notación de intervalos: $-3 \le x < 4$ es lo mismo que $[-3, 4)$.
Practica★☆☆Sin empezar
Observa la siguiente gráfica y determina su dominio y su rango.
Observa la siguiente gráfica y determina su dominio y su rango.
Cuando una gráfica modela una situación real, el dominio y el rango quedan limitados por el contexto. Una población de bacterias medida durante 10 horas tiene dominio $0 \le t \le 10$ (el tiempo no puede ser negativo), y su rango empieza en la población inicial. Un tramo horizontal de la gráfica significa que la población es constante durante ese intervalo de tiempo.
Practica★☆☆Sin empezar
A partir de la siguiente gráfica, indica los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) y las coordenadas de sus extremos relativos.
A partir de la siguiente gráfica, indica los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) y las coordenadas de sus extremos relativos.
La siguiente gráfica muestra la evolución de una población de bacterias (en miles) cultivadas en un laboratorio a lo largo del tiempo (en horas). Estudia el dominio y el…
La siguiente gráfica muestra la evolución de una población de bacterias (en miles) cultivadas en un laboratorio a lo largo del tiempo (en horas). Estudia el dominio y el rango en el contexto del problema, e indica en qué intervalos la población crece, decrece o se mantiene constante.
Funciones definidas por partes, valor absoluto y continuidad
Una función definida por partes (piecewise function) usa fórmulas distintas en distintas partes de su dominio. Para evaluarla, primero decide a qué parte pertenece la entrada.
El valor absoluto como función definida por partes
$|u| = u$ cuando $u \ge 0$ y $|u| = -u$ cuando $u < 0$. Para reescribir $|\text{expresión}|$ como función definida por partes, halla dónde la expresión interior vale $0$ y divide ahí.
Practica★☆☆Sin empezar
Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto $x = 1$:…
Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto $x = 1$:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Dos gráficas pueden ser ambas crecientes y verse muy distintas: una se curva como una sonrisa y la otra como un ceño fruncido.
Con las parábolas es fácil: $y = ax^2 + bx + c$ es cóncava hacia arriba si $a > 0$ y cóncava hacia abajo si $a < 0$. Para una función definida por partes formada por parábolas, revisa cada parte.
Observa las esquinas agudas en $x = -3$ y $x = 3$: la gráfica cambia de concavidad ahí, así que esos puntos son los límites de los intervalos y no se incluyen en ellos.
Practica★★★Sin empezar
A partir de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$, obtén la expresión analítica como función a trozos de $g(x) = |x^2 - 4x|$. Representa mentalmente la situación y…
A partir de la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4x$, obtén la expresión analítica como función a trozos de $g(x) = |x^2 - 4x|$. Representa mentalmente la situación y determina los intervalos de concavidad y convexidad de $g(x)$.
Algunas gráficas se acercan cada vez más a una recta sin tocarla. Esa recta es una asíntota. ¿Por qué ocurre? Mira $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$.
$x$
$2.1$
$2.01$
$2.001$
$1.99$
$\dfrac{1}{x-2}$
$10$
$100$
$1{,}000$
$-100$
Cuando $x$ se acerca a $2$, dividimos $1$ entre un número diminuto y la salida se dispara. Esa es una asíntota vertical en $x = 2$.
Ahora ve hacia el otro lado. Para $x = 10, 100, 1000$ obtenemos $0.125$, aproximadamente $0.0102$ y aproximadamente $0.001$. A medida que $x$ se hace cada vez más grande (se escribe $x \to \infty$), la salida se acerca a $0$. Esa es una asíntota horizontal en $y = 0$.
Cuando las condiciones son más difíciles de leer directamente, escribe cada una como una ecuación en $a$, $b$, $c$ y resuelve el sistema resultante.
Practica★☆☆Sin empezar
Identifica las ecuaciones de la asíntota vertical y la asíntota horizontal de la función $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.
Identifica las ecuaciones de la asíntota vertical y la asíntota horizontal de la función $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.
La función racional $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ pasa por el punto $(0, 1)$, tiene una asíntota vertical en la recta $x = 2$ y una asíntota horizontal en la recta…
La función racional $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ pasa por el punto $(0, 1)$, tiene una asíntota vertical en la recta $x = 2$ y una asíntota horizontal en la recta $y = 3$. Plantea un sistema de ecuaciones y halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$.
La posición de un objeto en movimiento rectilíneo viene dada por la función $e(t) = 5t^2 + 2t$, donde $e$ es la distancia en pies y $t$ el tiempo en segundos. Calcula la…
La posición de un objeto en movimiento rectilíneo viene dada por la función $e(t) = 5t^2 + 2t$, donde $e$ es la distancia en pies y $t$ el tiempo en segundos. Calcula la velocidad media (tasa de variación media) en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$, e indica en qué intervalo el objeto se movió más rápido.
La concentración de un determinado fármaco en la sangre de un paciente, en mg/L, tras $t$ horas desde su administración viene dada por el modelo…
La concentración de un determinado fármaco en la sangre de un paciente, en mg/L, tras $t$ horas desde su administración viene dada por el modelo $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$. Calcula la tasa de variación media en la primera hora (intervalo $[0, 1]$) e interpreta el resultado. Además, razona matemáticamente cuál es la tendencia de la concentración del fármaco a largo plazo (cuando $t \to \infty$).
Cuando una función modela una situación real, tu lista de pasos responde preguntas reales. Para una cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$:
De vuelta al tiro de Marcus: esto es exactamente lo que necesitaba. La altura inicial es la intersección con el eje $y$, el punto más alto es el vértice y el tiempo de caída es el cero positivo. Obtuvo los tres datos de la fórmula, sin graficar.
Practica★★☆Sin empezar
Las ganancias de una empresa emergente, en miles de dólares, vienen dadas por la función $B(x) = -0.5x^2 + 10x - 18$, donde $x$ representa los años transcurridos desde…
Las ganancias de una empresa emergente, en miles de dólares, vienen dadas por la función $B(x) = -0.5x^2 + 10x - 18$, donde $x$ representa los años transcurridos desde su fundación. Determina en qué año se alcanza la ganancia máxima, a cuánto asciende dicha ganancia y en qué años la empresa no obtiene ni ganancias ni pérdidas (ganancia cero).
Un proyectil es lanzado hacia arriba y sigue una trayectoria descrita por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, donde $h$ es la altura en pies y $t$ el tiempo en…
Un proyectil es lanzado hacia arriba y sigue una trayectoria descrita por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, donde $h$ es la altura en pies y $t$ el tiempo en segundos desde el lanzamiento. Determina el dominio de la función restringido a la duración real del vuelo (hasta que impacta contra el suelo), la altura desde la que fue lanzado, la altura máxima que alcanza y el tiempo total de vuelo.
En un triángulo isósceles de base $12$ pulgadas y altura $10$ pulgadas, se inscribe un rectángulo cuya base $x$ descansa sobre la base del triángulo, como muestra la…
En un triángulo isósceles de base $12$ pulgadas y altura $10$ pulgadas, se inscribe un rectángulo cuya base $x$ descansa sobre la base del triángulo, como muestra la figura. Expresa el área del rectángulo en función de su base $x$ y determina el dominio de esta función en el contexto geométrico del problema.
Para ver la forma, reescribe $f(x) = 1 + \dfrac{3}{x^2 - 4}$. Para $x > 2$, la fracción es positiva y se achica a medida que $x$ crece, así que $f$ decrece desde valores muy grandes hacia $1$. Para $0 \le x < 2$ la fracción es negativa y se hunde hacia $-\infty$ cuando $x \to 2$, así que $f$ decrece desde $\tfrac14$. Por ser par, $f$ es creciente en $(-\infty, -2)$ y $(-2, 0)$, decreciente en $(0, 2)$ y $(2, \infty)$, con un máximo relativo en $\left(0, \tfrac14\right)$.
Cómo trazar una gráfica a partir de sus propiedades. Para dibujar una gráfica a partir de una lista de condiciones, primero traza las asíntotas como rectas punteadas. Luego marca los puntos dados y refléjalos si la función es par o impar. Por último, une los puntos con curvas que respeten el crecimiento y decrecimiento y que se acerquen a las asíntotas.
Practica★★☆Sin empezar
Describe el comportamiento de la función $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analizando su dominio, sus puntos de corte con los ejes, su simetría y sus asíntotas horizontales…
Describe el comportamiento de la función $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ analizando su dominio, sus puntos de corte con los ejes, su simetría y sus asíntotas horizontales y verticales.
Demuestra analíticamente si la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ es simétrica par, impar o ninguna de las dos. A continuación, calcula sus puntos de corte con los…
Demuestra analíticamente si la función $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ es simétrica par, impar o ninguna de las dos. A continuación, calcula sus puntos de corte con los ejes y determina las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales.
Esboza en tu cuaderno la gráfica de una función $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones: Su dominio es $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$. Es…
Esboza en tu cuaderno la gráfica de una función $f(x)$ que cumpla simultáneamente todas las siguientes condiciones:
Su dominio es $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.
Es una función con simetría impar.
Tiene asíntotas verticales en $x = -2$ y $x = 2$, y una asíntota horizontal en $y = 0$.
Presenta un máximo relativo en el punto $(-4, 1)$ y un mínimo relativo en $(4, -1)$.