Tipos de funciones lineales. Polinomio de primer grado

Los tres tipos de funciones lineales

Un polinomio de primer grado en $x$ tiene la forma $mx + b$. Como función, es la más sencilla cuya gráfica es una recta que no es horizontal. Si además permitimos $m = 0$, obtenemos rectas horizontales.

Según los valores de $m$ y $b$, hay tres casos:

Algunos problemas llaman "estrictamente lineal" a la variación directa y "afín" al segundo tipo. Son solo otros nombres para los casos de la tabla.

¿Por qué importa tanto $b$? Si $b = 0$, al duplicar $x$ se duplica $y$, porque $m(2x) = 2(mx)$. Eso significa "proporcional". Si $b \neq 0$, la cantidad fija $b$ no se duplica. Para $y = 0.5x + 2$: con $x = 2$ se obtiene $y = 3$, pero con $x = 4$ se obtiene $y = 4$, no $6$.

Mueve los deslizadores y observa qué hacen $m$ y $b$ con la recta:

Evaluar una función y comprobar puntos

Para evaluar $f$ en $a$, sustituye $x$ por $a$ y calcula $f(a)$. Para ir en sentido contrario, es decir, hallar la entrada que da cierta salida $k$, resuelves la ecuación $mx + b = k$.

Intersecciones con los ejes y el triángulo que forman

Una recta corta los ejes en puntos especiales.

• Intersección con el eje $y$: haz $x = 0$. Obtienes $(0, b)$.

• Intersección con el eje $x$: haz $y = 0$ y resuelve $mx + b = 0$. Obtienes $x = -\dfrac{b}{m}$, cuando $m \neq 0$.

Si una recta tiene intersecciones positivas, forma un triángulo rectángulo en el primer cuadrante. Los dos catetos están sobre los ejes, así que el área es $\tfrac{1}{2} \cdot (\text{intersección con } x) \cdot (\text{intersección con } y)$.

También puedes hacerlo al revés.

Escribir una ecuación a partir de una pendiente y un punto

Si conoces la pendiente $m$ y un punto de la recta, la única incógnita en $y = mx + b$ es $b$. Sustituye el punto y despeja $b$. Un solo punto no basta, porque por él pasan infinitas rectas. Necesitas dos datos independientes, como un punto y la pendiente.

La misma idea sirve para hallar un parámetro desconocido. Si una recta debe pasar por un punto, sustituye el punto y despeja la incógnita.

Escribir una ecuación a partir de dos puntos o de una gráfica

Con dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$, primero halla la pendiente y luego halla $b$ como en la sección anterior.

Para leer una ecuación a partir de una gráfica, busca la intersección con el eje $y$ (donde la recta cruza ese eje) y dos puntos que caigan exactamente en cruces de la cuadrícula. Cuenta el cambio vertical y el horizontal entre ellos. En la figura, la intersección con el eje $y$ es $1$ y la pendiente es $\tfrac{3}{4}$, así que $y = \tfrac{3}{4}x + 1$.

Rectas paralelas y coincidentes

Dos rectas $y = m_1x + b_1$ y $y = m_2x + b_2$ se comparan así:

• Paralelas: misma pendiente, distinta intersección con el eje $y$ ($m_1 = m_2$, $b_1 \neq b_2$). Nunca se cortan.

• Coincidentes: misma pendiente y misma intersección con el eje $y$. Son la misma recta.

• Pendientes distintas: se cruzan en exactamente un punto.

Cuando un problema da varias condiciones, traduce cada una a una ecuación sobre $m$ y $b$: "paralela a $r$" fija la pendiente; "pasa por un punto" o "tiene una intersección con el eje $y$ dada" fija $b$.

Dónde se cortan dos rectas

En el punto de intersección, ambas rectas tienen la misma $x$ y la misma $y$. Por eso, iguala las dos expresiones de $y$, despeja $x$ y luego sustituye para obtener $y$.

Las intersecciones suelen dar el punto para otro paso.

Modelar con funciones lineales

Para convertir una historia en una función, hazte dos preguntas:

1. ¿Cuál es la cantidad inicial (el valor cuando $x = 0$)? Esa es $b$.

2. ¿Cuánto cambia la salida por cada unidad extra de entrada? Esa es $m$. Es negativa cuando la cantidad disminuye.

Cuando solo conoces dos datos, halla primero la pendiente.

Volvamos al inicio: el scooter cuesta $\$1$ por desbloquearlo más $\$0.40$ por minuto, así que $C(t) = 0.4t + 1$. Un paseo de 15 minutos cuesta $C(15) = 0.4 \cdot 15 + 1 = 6 + 1 = \$7$.

Costo, ingreso y funciones inversas

Los negocios usan dos funciones lineales. El costo $C(x) = (\text{costo por artículo})x + (\text{costo fijo})$ y el ingreso $R(x) = (\text{precio})x$. La ganancia es $P(x) = R(x) - C(x)$. Para hallar cuántos artículos dan al menos una ganancia meta, resuelve una desigualdad (también llamada inecuación).

Para $f(x) = mx + b$, la inversa se obtiene intercambiando los papeles de entrada y salida y despejando: $x = \dfrac{y - b}{m}$.

Funciones lineales a trozos y sus gráficas

A veces una situación sigue una regla lineal al principio y otra distinta después. Una función a trozos (piecewise function) usa una fórmula distinta en cada intervalo de $x$.

Las gráficas de distancia contra tiempo también son lineales a trozos. La pendiente de cada segmento es la velocidad: un segmento plano significa que está detenido, una pendiente positiva significa que se aleja de casa y una pendiente negativa significa que regresa. La rapidez es el tamaño de la pendiente.

Resumen