Números racionales

Números racionales y conjuntos numéricos

Todos los números que has visto hasta ahora pertenecen a una "familia". Cada familia cabe dentro de otra más grande.

Los números naturales y los enteros también son racionales: $5 = \frac{5}{1}$ y $-3 = \frac{-3}{1}$. Por eso $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, donde $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$ son los números naturales (de contar) y $\mathbb{Z}$ son los enteros.

Los decimales también encajan. $2.5 = \frac{5}{2}$ y $0.75 = \frac{3}{4}$, así que los decimales finitos son racionales. Los decimales periódicos también lo son, y más abajo aprenderás a demostrarlo. Un decimal que nunca termina y nunca se repite, como $\sqrt{7}$ o $\pi$, es irracional. Escribimos $\mathbb{I}$ para los irracionales, que tienen su propia página.

Cada número pertenece a muchos conjuntos, así que "clasificar" significa: nombrar el conjunto más pequeño que lo contiene.

Fracciones como decimales: ¿finitos o periódicos?

Si divides el numerador entre el denominador de una fracción, siempre obtienes un decimal. O se acaba (finito) o se repite para siempre. Una barra marca el bloque que se repite: $0.\overline{27} = 0.272727\ldots$ Algunos problemas usan un acento circunflejo en lugar de la barra, como en $2.\widehat{7}$, que significa lo mismo que $2.\overline{7}$.

Los decimales periódicos son de dos tipos:

• Periódicos puros: el bloque se repite justo después del punto decimal, como $0.\overline{27}$.

• Periódicos mixtos: primero hay algunos dígitos que no se repiten, como $0.8\overline{3}$.

Puedes saber cuál obtendrás sin dividir. Fíjate en el denominador.

La misma idea te dice qué numeradores funcionan.

De un decimal periódico a una fracción

Todo decimal finito o periódico es una fracción. Algunos problemas te piden "escribir el decimal como fracción en su forma más simple" (simplest form), es decir, la fracción más simple que es igual al decimal.

Los decimales finitos son fáciles: lee el valor posicional. $1.35 = \frac{135}{100} = \frac{27}{20}$.

Los decimales periódicos necesitan un truco. Multiplica por una potencia de $10$ para que las colas infinitas coincidan, luego resta y las colas se cancelan.

Cuando hay dígitos antes del bloque periódico (mixto), usa dos multiplicadores: uno que ponga el punto decimal justo antes del bloque periódico, y otro que lo ponga justo después del primer bloque.

¿Es $0.999\ldots$ realmente $1$?

Ahora podemos resolver el misterio de la calculadora de Emma. Primero, usa el método con $0.\overline{3}$. Sea $x = 0.333\ldots$, así que $10x = 3.333\ldots$ Resta: $9x = 3$, así que $x = \frac{1}{3}$. Eso confirma lo que sugiere la calculadora: $0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ exactamente.

Ahora multiplica ambos lados por $3$:

Por lo tanto, $0.\overline{9} = 1$.

Volvamos al principio: la calculadora de Emma solo muestra siete $9$, así que muestra una versión redondeada. El número completo e interminable $0.999\ldots$ no es "casi" $1$. Es otro nombre para $1$, igual que $\frac{1}{2}$ y $\frac{2}{4}$ son dos nombres para un mismo número. Lo mismo pasa con todos los decimales finitos: $0.5 = 0.4\overline{9}$.

Tu turno: demuestra que $0.\overline{9} = 1$ directamente con el método de restar las colas.

Operaciones con números racionales

Cuando una expresión mezcla fracciones, decimales, potencias y raíces, convierte todo a fracciones primero (escribe los decimales periódicos como fracciones, $1.5 = \frac{3}{2}$, $\sqrt{0.25} = \frac{1}{2}$). Así la respuesta es exacta, sin redondeos.

Orden, recta numérica y densidad

Comparar números racionales

Para comparar, pon los números en la misma forma. Reescribe las fracciones con un denominador común, o convierte todo a decimales y alinea los dígitos. Si hay un decimal periódico, escribe varios dígitos.

Ubicarlos en la recta numérica

Para ubicar $\frac{a}{b}$ exactamente, divide cada unidad en $b$ partes iguales y cuenta $a$ de ellas desde $0$ (hacia la derecha si es positivo, hacia la izquierda si es negativo). Para una fracción impropia conviene escribir primero un número mixto. $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$: avanza $2$ unidades enteras a la derecha y luego $3$ cuartos más. $-\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$: retrocede $1$ unidad a la izquierda y luego $2$ tercios más.

Densidad

Entre dos números racionales siempre hay otro, y luego otro, y así para siempre.

Fracciones de una cantidad

Las fracciones aparecen en todos los problemas verbales. Tres ideas cubren la mayoría.

Razones y fracciones repetidas

"$5$ de cada $8$" es la fracción $\frac{5}{8}$. El resto es $1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$. Si sabes cuántos hay en un grupo, divide entre su fracción para obtener el total.

Cuando una cantidad depende de otra por una fracción, y esa depende de una tercera, multiplica las fracciones a lo largo de la cadena.

Si se aplica la misma fracción una y otra vez, obtienes una potencia. Así se comporta exactamente una pelota que rebota.

Una pelota que se deja caer desde $27$ pies y rebota hasta $\frac{2}{3}$ de su altura anterior alcanza $27 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 27 \cdot \frac{8}{27} = 8$ pies en el tercer rebote. Después de $n$ rebotes la altura es $h \cdot r^n$, una sucesión geométrica con razón común $r$. Cuando $r$ es una fracción cuyo denominador es una potencia de $2$ (o de $5$), el resultado es un decimal finito, como viste antes.

Trabajar juntos y repartir

Tasas. Si una llave llena un tanque en $t$ horas, en $1$ hora llena $\frac{1}{t}$ del tanque. Las tasas se suman cuando varias máquinas trabajan juntas, y un desagüe resta. Cuando conoces la fracción combinada por hora, el tiempo para llenar todo el tanque es su recíproco.

Repartos. Cuando varias personas aportan fracciones del total, la fracción que sobra es $1$ menos las demás. Si las ganancias se reparten en proporción a lo que cada quien invirtió, cada persona recibe la misma fracción de la ganancia que de la inversión.

En el widget, las partes $2 : 3 : 5$ son las fracciones $\frac{1}{5}, \frac{3}{10}, \frac{1}{2}$ del total.

Error de medición

Cuando mides algo, el resultado suele ser un decimal un poco distinto del valor exacto. Los números racionales nos permiten decir exactamente cuánto se desvía.

¿Por qué dos tipos? Equivocarte por $1$ pulgada importa mucho en una tabla de $10$ pulgadas y casi nada en un camino de $10$ millas. El error relativo compara la equivocación con el tamaño de lo que se mide.

Acertijos con recíprocos y resultados enteros

El recíproco (inverso multiplicativo) de $\frac{a}{b}$ es $\frac{b}{a}$. Su producto es $1$. Los acertijos que involucran un número y su recíproco suelen convertirse en una ecuación que puedes resolver con las herramientas de Álgebra 1.

La gráfica muestra $y = x + \frac{1}{x}$ y la recta horizontal $y = \frac{10}{3}$. Se cruzan en dos puntos, que son las dos soluciones del ejemplo siguiente.

Otro tipo de acertijo pregunta cuándo una fracción con una variable es un entero. El truco es separar la parte entera para que solo quede una fracción sencilla.

Resumen