Covarianza
¿Los estudiantes que pasan más tiempo en el celular duermen menos? Si pones a cada estudiante en un diagrama de dispersión (scatter plot) como un punto (horas de pantalla, horas de sueño), la nube baja de izquierda a derecha. Haz lo mismo con la estatura y el número de zapato, y la nube sube. La covarianza es un número que resume hacia qué lado se inclina la nube. Al terminar esta página podrás predecir ese signo para el estudio del celular y calcular la covarianza a mano.
¿Hacia qué lado se inclina la nube?
Empieza con el centro de gravedad de los datos, el punto de las medias $(\bar{x}, \bar{y})$. Este punto divide la gráfica en cuatro regiones.
Para cada punto, mira qué tan lejos está $x$ de $\bar{x}$ y qué tan lejos está $y$ de $\bar{y}$. Si ambos están por encima de sus medias (arriba a la derecha), o ambos por debajo (abajo a la izquierda), el producto $(x - \bar{x})(y - \bar{y})$ es positivo. Si uno está por encima y el otro por debajo (arriba a la izquierda o abajo a la derecha), el producto es negativo.
La covarianza es el promedio de esos productos.
Aquí $N$ es el número de pares de datos. (Algunos cursos de estadística dividen entre $N - 1$ para la covarianza muestral. Los problemas de esta página dividen entre $N$.)
En una investigación sobre el rendimiento deportivo, se relaciona el número de horas semanales de entrenamiento ($X$) con el tiempo en minutos que un atleta tarda en…
En una investigación sobre el rendimiento deportivo, se relaciona el número de horas semanales de entrenamiento ($X$) con el tiempo en minutos que un atleta tarda en completar una carrera de $10$ millas ($Y$). ¿Qué signo espera que tenga la covarianza $s_{xy}$? Razone brevemente su respuesta.
Al estudiar la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado a una planta (en onzas) y su crecimiento semanal (en pulgadas), se obtiene una covarianza de $24,6$.…
Al estudiar la relación entre la cantidad de fertilizante aplicado a una planta (en onzas) y su crecimiento semanal (en pulgadas), se obtiene una covarianza de $24,6$. ¿Qué indica el signo de este parámetro estadístico sobre la relación entre el fertilizante y el crecimiento?
La fórmula para calcular
Restar las medias en cada punto es tedioso. Hay un atajo. Desarrolla $(x - \bar{x})(y - \bar{y}) = xy - x\bar{y} - \bar{x}y + \bar{x}\bar{y}$ y promedia cada término. Todo se simplifica a:
Cuidado: $\sum x_i y_i$ significa multiplicar primero cada par y después sumar.
En un estudio bidimensional sobre $25$ individuos, se han obtenido las medias $\bar{x} = 8$ y $\bar{y} = 15$. Sabiendo que la suma de los productos de las variables es…
En un estudio bidimensional sobre $25$ individuos, se han obtenido las medias $\bar{x} = 8$ y $\bar{y} = 15$. Sabiendo que la suma de los productos de las variables es $\sum x_i y_i = 3200$, calcule la covarianza $s_{xy}$.
Dada la siguiente tabla con tres pares de valores correspondientes a las variables $X$ e $Y$: | $X$ | 2 | 4 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:| | $Y$ | 3 | 5 | 10 | Calcule…
Dada la siguiente tabla con tres pares de valores correspondientes a las variables $X$ e $Y$:
| $X$ | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|
| $Y$ | 3 | 5 | 10 |
Calcule el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ y la covarianza de la distribución.
Se ha medido la temperatura $X$ (en $^\circ\text{C}$) y la resistencia $Y$ (en MPa) de un nuevo material plástico en $5$ ensayos distintos, obteniendo los siguientes…
Se ha medido la temperatura $X$ (en $^\circ\text{C}$) y la resistencia $Y$ (en MPa) de un nuevo material plástico en $5$ ensayos distintos, obteniendo los siguientes resultados:
| Temperatura ($X$) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| Resistencia ($Y$) | 85 | 78 | 65 | 50 | 32 |
Calcule la covarianza de esta distribución bidimensional e interprete su signo en el contexto del problema.
Cómo trabajar con sumas y medias
Muchas veces un problema te da números resumen en lugar de los datos. Usa estas relaciones:
-
$\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{N}$ y $\bar{y} = \dfrac{\sum y_i}{N}$
-
$s_{xy} = \dfrac{\sum x_i y_i}{N} - \bar{x}\bar{y}$
-
Despejando la suma de los productos: $\sum x_i y_i = N\,(s_{xy} + \bar{x}\bar{y})$
El centro de gravedad de una distribución bidimensional es $(5, 9)$. Si la media aritmética de los productos de los valores de ambas variables es…
El centro de gravedad de una distribución bidimensional es $(5, 9)$. Si la media aritmética de los productos de los valores de ambas variables es $\frac{\sum x_i y_i}{N} = 42$, determine el valor de la covarianza.
Para un conjunto de $40$ datos bidimensionales, se sabe que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$ y la covarianza es $s_{xy} = -8,5$. Halle el valor de la suma de los productos…
Para un conjunto de $40$ datos bidimensionales, se sabe que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$ y la covarianza es $s_{xy} = -8,5$. Halle el valor de la suma de los productos $\sum x_i y_i$.
De una variable estadística bidimensional $(X,Y)$ compuesta por $8$ observaciones, se conocen los siguientes datos: $\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 64$, y…
De una variable estadística bidimensional $(X,Y)$ compuesta por $8$ observaciones, se conocen los siguientes datos:
$\sum x_i = 40$, $\sum y_i = 64$, y $\sum x_i y_i = 280$.
Calcule el centro de gravedad y la covarianza.
Cómo despejar un dato faltante
Como la covarianza es una fórmula común, un número que falta es solo una incógnita en una ecuación. Escribe $\bar{y}$ y $\sum xy$ en términos de la incógnita, sustituye en la fórmula y resuelve.
Otro truco útil: ¿qué pasa si agregas un punto que está exactamente en el centro de gravedad? Las medias no cambian, pero $N$ aumenta en $1$ y $\sum xy$ aumenta en $\bar{x}\bar{y}$.
En una distribución bidimensional de $3$ pares de valores, se conocen dos de ellos: $(1, 2)$ y $(4, 6)$. El tercer par es $(2, a)$, donde $a$ es un valor desconocido. Si…
En una distribución bidimensional de $3$ pares de valores, se conocen dos de ellos: $(1, 2)$ y $(4, 6)$. El tercer par es $(2, a)$, donde $a$ es un valor desconocido. Si se sabe que la covarianza de la distribución es $s_{xy} = 2$, plantee una ecuación y halle el valor de $a$.
Un conjunto de $10$ pares de datos bidimensionales tiene como medias $\bar{x} = 6$ y $\bar{y} = 8$, y su covarianza es $s_{xy} = 4$. Si se descubre que falta por incluir…
Un conjunto de $10$ pares de datos bidimensionales tiene como medias $\bar{x} = 6$ y $\bar{y} = 8$, y su covarianza es $s_{xy} = 4$. Si se descubre que falta por incluir un undécimo par de datos que coincide exactamente con el centro de gravedad, es decir, el par $(6, 8)$, calcule la nueva covarianza del conjunto de $11$ datos.
Tablas de frecuencias
Cuando el mismo par aparece varias veces, usamos frecuencias. Un par $(x_i, y_j)$ que aparece $f_{ij}$ veces aporta su producto $f_{ij}$ veces.
Para las medias, usa los totales de filas y columnas: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i f_{i\cdot}}{N}$ y $\bar{y} = \dfrac{\sum y_j f_{\cdot j}}{N}$.
Calcule la covarianza de la siguiente distribución bidimensional expresada en una tabla de frecuencias absolutas $f_i$: | $X$ | $Y$ | $f_i$ | |:---:|:---:|:---:| | 1 | 4…
Calcule la covarianza de la siguiente distribución bidimensional expresada en una tabla de frecuencias absolutas $f_i$:
| $X$ | $Y$ | $f_i$ |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 10 |
| 5 | 8 | 10 |
Se ha realizado una encuesta a $20$ familias sobre el número de vehículos que poseen ($X$) y el número de espacios de garaje que tienen en propiedad ($Y$). Los…
Se ha realizado una encuesta a $20$ familias sobre el número de vehículos que poseen ($X$) y el número de espacios de garaje que tienen en propiedad ($Y$). Los resultados se resumen en la siguiente tabla de doble entrada:
| $X \backslash Y$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 6 | 0 |
| 2 | 1 | 5 | 4 |
Calcule el centro de gravedad y la covarianza $s_{xy}$.
Se ha probado un nuevo fármaco en un grupo de pacientes. La variable $X$ representa la dosis administrada (en mg) y la variable $Y$ la reducción de la presión arterial…
Se ha probado un nuevo fármaco en un grupo de pacientes. La variable $X$ representa la dosis administrada (en mg) y la variable $Y$ la reducción de la presión arterial (en mmHg). Los resultados se muestran en la siguiente tabla de doble entrada:
| $X \backslash Y$ | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|
| 10 | 3 | 2 | 0 |
| 20 | 1 | 4 | 1 |
| 30 | 0 | 2 | 5 |
Calcule la covarianza de esta distribución y explique qué sugiere el resultado sobre la eficacia del fármaco.
Datos de gráficas, listas e intervalos agrupados
Los problemas no siempre te dan una tabla ordenada. Hay tres presentaciones comunes:
Un diagrama de dispersión. Lee las coordenadas de cada punto, escríbelas como una tabla de pares y luego usa la fórmula.
Una lista de pares. Aplica la fórmula, como en el ejemplo del tiempo de estudio.
Intervalos agrupados. Cuando $X$ viene dada en intervalos como $[20, 40)$, reemplaza cada intervalo por su marca de clase, el punto medio, y luego trata los datos como una tabla de frecuencias.
Observe el siguiente gráfico de dispersión que representa cuatro observaciones obtenidas en un experimento de laboratorio: A partir de las coordenadas enteras de los…
Observe el siguiente gráfico de dispersión que representa cuatro observaciones obtenidas en un experimento de laboratorio:
A partir de las coordenadas enteras de los puntos mostrados en el gráfico, determine la tabla de valores y calcule la covarianza de la distribución.
En un estudio sobre el tiempo de uso de pantallas, se ha agrupado la edad de los encuestados ($X$) en intervalos, relacionándola con el número de dispositivos…
En un estudio sobre el tiempo de uso de pantallas, se ha agrupado la edad de los encuestados ($X$) en intervalos, relacionándola con el número de dispositivos inteligentes que poseen ($Y$):
| Edad ($X$) | $[10, 20)$ | $[20, 30)$ | $[30, 40)$ |
|---|---|---|---|
| Dispositivos ($Y$) | 3 | 4 | 2 |
| Frecuencia ($f_i$) | 15 | 25 | 10 |
Utilizando las marcas de clase para la variable $X$, calcule la covarianza de la distribución.
En un estudio económico sobre la relación entre la tasa de inflación ($X$, en $\%$) y la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$) de un país durante $5$ años consecutivos, se…
En un estudio económico sobre la relación entre la tasa de inflación ($X$, en $\%$) y la tasa de desempleo ($Y$, en $\%$) de un país durante $5$ años consecutivos, se registraron los siguientes pares de valores: $(2, 8)$, $(3, 6)$, $(4, 5)$, $(5, 4)$, $(6, 2)$. Calcule la covarianza e indique si los resultados apoyan una relación directa o inversa entre ambas tasas.
Cambios de origen y de escala en los datos
¿Qué le pasa a la covarianza si cambias de unidades, o si le sumas una constante a todos los valores?
En un experimento de termodinámica, la covarianza entre la presión y el volumen de un gas en ciertas condiciones es $s_{xy} = -15,4$. Si para facilitar los cálculos el…
En un experimento de termodinámica, la covarianza entre la presión y el volumen de un gas en ciertas condiciones es $s_{xy} = -15,4$. Si para facilitar los cálculos el investigador decide sumar $2$ a todos los valores de presión y restar $5$ a todos los valores de volumen, ¿cuál será el nuevo valor de la covarianza?
En un estudio de arquitectura, la covarianza entre la longitud de una viga $X$ (medida en metros) y su deformación máxima $Y$ (medida en milímetros) es $s_{xy} = 3,5$.…
En un estudio de arquitectura, la covarianza entre la longitud de una viga $X$ (medida en metros) y su deformación máxima $Y$ (medida en milímetros) es $s_{xy} = 3,5$. Si se decide expresar la longitud en centímetros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$) y la deformación en micrómetros ($1\text{ mm} = 1000\,\mu\text{m}$), calcule el nuevo valor de la covarianza.
Un equipo de biólogos ha medido el peso $X$ (en kg) y la longitud $Y$ (en cm) de una especie de reptil, obteniendo una covarianza $s_{xy} = 45$. Para una publicación…
Un equipo de biólogos ha medido el peso $X$ (en kg) y la longitud $Y$ (en cm) de una especie de reptil, obteniendo una covarianza $s_{xy} = 45$. Para una publicación internacional, deciden transformar los datos: el peso se expresará en libras ($1\text{ kg} = 2,2\text{ lb}$) y la longitud en metros ($1\text{ m} = 100\text{ cm}$). Además, por un ajuste del equipo de medición, restan $0,5\text{ m}$ a todas las longitudes. ¿Cuál será el valor de la covarianza con las nuevas unidades?
Combinar variables y relaciones lineales exactas
Algunos problemas también usan la varianza de $X$ o de $Y$. Puedes obtenerla a partir de sumas con el mismo atajo que usamos para la covarianza.
Observa que la covarianza solo necesitó $\sum x_i y_i$ y las medias. Si un problema da también sumas de cuadrados, son para las varianzas, así que usa las que pida la pregunta.
Ahora la covarianza tiene tres reglas útiles. Sea $s_x^2$ la varianza de $X$ (con el mismo $N$ en el denominador).
Relación lineal exacta. Si cada par cumple $y = mx + b$, entonces $y - \bar{y} = m(x - \bar{x})$, así que
$$s_{xy} = \frac{\sum (x - \bar{x}) \cdot m(x - \bar{x})}{N} = m \cdot \frac{\sum (x - \bar{x})^2}{N} = m \, s_x^2.$$La covarianza es la pendiente por la varianza de $X$. El signo coincide con el signo de la pendiente.
Dada una variable bidimensional $(X,Y)$, se sabe que existe una relación funcional lineal exacta dada por la ecuación $y_i = -3x_i + 5$ para todos los pares de la…
Dada una variable bidimensional $(X,Y)$, se sabe que existe una relación funcional lineal exacta dada por la ecuación $y_i = -3x_i + 5$ para todos los pares de la distribución. Sabiendo que la varianza de la variable $X$ es $s_x^2 = 4$, demuestre analíticamente y calcule el valor numérico de la covarianza $s_{xy}$.
En una empresa, se estudia la relación entre los años de antigüedad de los empleados ($X$) y su salario mensual en cientos de dólares ($Y$). Se conocen los siguientes…
En una empresa, se estudia la relación entre los años de antigüedad de los empleados ($X$) y su salario mensual en cientos de dólares ($Y$). Se conocen los siguientes datos: $\bar{x} = 10$, $\bar{y} = 20$, la varianza de la antigüedad es $s_x^2 = 16$ y la covarianza es $s_{xy} = 24$. Se decide crear un índice de "valoración total" definido como $Z = X + Y$. Calcule la covarianza entre la antigüedad ($X$) y este nuevo índice ($Z$).
Un departamento de marketing analiza el gasto en publicidad $X$ (en miles de $\$$) y las ventas generadas $Y$ (en miles de $\$$) en $10$ campañas distintas. Se dispone…
Un departamento de marketing analiza el gasto en publicidad $X$ (en miles de $\$$) y las ventas generadas $Y$ (en miles de $\$$) en $10$ campañas distintas. Se dispone de las siguientes sumas:
$\sum x_i = 150$, $\sum y_i = 800$, $\sum x_i^2 = 2500$, $\sum y_i^2 = 70000$, $\sum x_i y_i = 12500$.
Calcule la covarianza original. Si para el próximo año se decide que todos los gastos en publicidad aumentarán un $10\%$ y las ventas esperadas aumentarán un $20\%$, ¿cuál será la covarianza estimada de los datos transformados?
Límites de la covarianza
La covarianza es útil, pero tiene tres puntos débiles.
1. Su tamaño depende de las unidades. El peso en gramos y la estatura en cm podrían dar $s_{xy} = 15{,}000$, y los mismos datos en kg y m dan $0.15$. La relación es idéntica. Por eso solo el signo tiene un significado directo. Para medir la fuerza se necesita el coeficiente de correlación $r$, que elimina las unidades.
2. Una covarianza igual a cero no significa "no hay relación". Solo significa que no hay tendencia lineal. Toma $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$. Aquí $\bar{x} = 0$ y $\bar{y} = \frac{2}{3}$, y $\sum xy = -1 + 0 + 1 = 0$, así que $s_{xy} = 0 - 0 = 0$, y sin embargo $y = x^2$ exactamente.
Si dos variables son independientes, su covarianza es $0$. Pero lo contrario es falso, como muestra la parábola: $s_{xy} = 0$ no prueba independencia.
3. Un valor atípico puede dominar. Cuatro puntos agrupados $(1, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 3)$, $(4, 2)$ tienen $\sum x = 10$, $\sum y = 8$, $\sum xy = 21$, así que $s_{xy} = \frac{21}{4} - 2.5 \cdot 2 = 0.25$. Agrega un punto muy alejado $(20, 20)$: ahora $\sum x = 30$, $\sum y = 28$, $\sum xy = 421$, y $s_{xy} = \frac{421}{5} - 6 \cdot 5.6 = 84.2 - 33.6 = 50.6$. Un solo punto multiplicó la covarianza por unas $200$ veces.
Se analiza la trayectoria de un objeto mediante $5$ puntos cuyas coordenadas $(X,Y)$ son: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(2, 4)$. Calcule la covarianza de…
Se analiza la trayectoria de un objeto mediante $5$ puntos cuyas coordenadas $(X,Y)$ son: $(-2, 4)$, $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$ y $(2, 4)$.
Calcule la covarianza de esta distribución bidimensional. A la vista del resultado, ¿se puede afirmar que las variables $X$ e $Y$ son estadísticamente independientes? Justifique su respuesta relacionándola con el gráfico.
Un conjunto de datos bidimensionales consta de los siguientes $5$ puntos fuertemente agrupados: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$; y un punto atípico:…
Un conjunto de datos bidimensionales consta de los siguientes $5$ puntos fuertemente agrupados: $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(2, 1)$, $(3, 2)$, $(3, 3)$; y un punto atípico: $(13, 15)$.
Calcule la covarianza del conjunto completo de los $6$ puntos. A continuación, calcule la covarianza excluyendo el punto atípico y compare los resultados para explicar la sensibilidad de la covarianza ante valores extremos.
Volvamos al inicio: para el tiempo de pantalla frente al sueño, la nube baja, así que esperamos una covarianza negativa. Solo podríamos comparar qué tan fuerte es con otros estudios una vez eliminadas las unidades (la correlación, que viene en la siguiente sección).