Sucesiones

Observa las siguientes listas ordenadas de números. Tu tarea es identificar la regla lógica que sigue cada una y escribir los tres términos que continúan la serie:

• a) $2, 4, 6, 8, \dots$

• b) $1, 4, 9, 16, \dots$

• c) $10, 7, 4, 1, \dots$

• d) $3, 6, 12, 24, \dots$

Imagina que estás entrenando para una carrera de fondo. Tu entrenador anota las millas que corres cada semana para llevar un control de tu progreso. La lista de las últimas 6 semanas es la siguiente:

Considerando esta lista como una sucesión numérica ($a_n$):

1. ¿Cuál es el valor del término $a_1$? ¿Qué representa en el contexto del entrenamiento?

2. ¿Cuál es el valor del término $a_4$?

3. Si sigues el mismo ritmo de incremento, ¿cuántas millas correrás en la semana 7 ($a_7$)?

En matemáticas, utilizamos fórmulas para definir el valor de cualquier posición en una sucesión sin tener que escribir toda la lista. Esto se llama término general ($a_n$).

Calcula los cuatro primeros términos ($a_1, a_2, a_3, a_4$) y el término que ocupa la posición 10 ($a_{10}$) para las siguientes sucesiones definidas por su término general:

• a) $a_n = 3n + 1$

• b) $b_n = n^2 - 2$

Relaciona en tu cuaderno cada una de las siguientes sucesiones con su término general correcto. Ten en cuenta que $n$ representa la posición (1, 2, 3...).

Sucesiones:

• A: $2, 4, 6, 8, \dots$

• B: $1, 3, 5, 7, \dots$

• C: $5, 10, 15, 20, \dots$

• D: $1, 4, 9, 16, \dots$

Términos Generales:

• 1: $a_n = 2n - 1$

• 2: $a_n = n^2$

• 3: $a_n = 2n$

• 4: $a_n = 5n$

Dada la sucesión cuyo término general viene dado por la expresión algebraica $a_n = \frac{n^2 - 1}{n + 1}$, calcula los cuatro primeros términos y el término que ocupa la posición 15. ¿Observas alguna curiosidad al simplificar la expresión algebraica inicial?

Tenemos una sucesión cuyo término general es $b_n = n^2 - 3n + 2$.

1. Calcula los 5 primeros términos.

2. ¿Existe algún término de la sucesión que valga 0? Si es así, ¿qué posición o posiciones ocupa? Justifica tu respuesta resolviendo la ecuación correspondiente.

No todas las sucesiones están formadas por números enteros (como 1, 2, 3...). También pueden tener fracciones o números decimales. Observa la siguiente sucesión de números reales:

1. Escribe los tres términos siguientes.

2. ¿Cuál crees que es el término general $a_n$? Elige la opción correcta:

   • Opción A: $a_n = \frac{1}{n}$

   • Opción B: $a_n = \frac{1}{n+1}$

   • Opción C: $a_n = n + 1$

Halla el término general ($a_n$) de las siguientes sucesiones. Ten en cuenta que algunas pueden ser aritméticas, geométricas o de cuadrados perfectos:

• a) $5, \ 10, \ 15, \ 20, \ ...$

• b) $3, \ 6, \ 12, \ 24, \ ...$

• c) $\frac{1}{2}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{8}, \ \frac{1}{16}, \ ...$

• d) $1, \ 8, \ 27, \ 64, \ ...$

Estudia las siguientes sucesiones de números reales. Debes identificar el patrón lógico de construcción y hallar el término general $a_n$ en función de $n$ para cada una de ellas.

• Sucesión A: $0, \frac{3}{2}, \frac{8}{3}, \frac{15}{4}, \frac{24}{5}, \dots$

• Sucesión B: $-2, 4, -8, 16, -32, \dots$

• Sucesión C: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$

Pista para la Sucesión A: Fíjate por separado en cómo evoluciona el numerador y cómo evoluciona el denominador. Intenta relacionar el numerador con el cuadrado de la posición $n$.

Un "streamer" de videojuegos decide empezar a ahorrar para comprar un nuevo equipo.

El primer mes ahorra $\$50$, el segundo mes ahorra $\$100$, el tercer mes ahorra $\$200$ y el cuarto mes ahorra $\$400$.

1. Escribe la sucesión formada por el dinero ahorrado cada mes.

2. ¿Observas alguna regularidad? ¿Qué operación haces para pasar de un mes al siguiente?

3. Calcula cuánto ahorrará en el mes 5 y en el mes 6 si mantiene esta tendencia.

A continuación se presentan varias secuencias numéricas que siguen un patrón lógico. Tu tarea consiste en identificar la regla de formación y escribir los tres términos siguientes para cada una:

• a) $4, \ 7, \ 10, \ 13, \ ...$

• b) $3, \ -6, \ 12, \ -24, \ ...$

• c) $1, \ 4, \ 9, \ 16, \ 25, \ ...$

• d) $\frac{1}{2}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{4}{5}, \ ...$

María está entrenando para un maratón. El primer día corre durante 15 minutos. Su entrenador le ha preparado un plan donde cada día debe correr 4 minutos más que el día anterior.

1. Escribe la sucesión que representa los minutos que corre María durante los primeros 5 días.

2. Si mantiene este plan de entrenamiento, ¿cuántos minutos tendrá que correr el día número 20? Utiliza el término general para calcularlo.

A veces, para saber el valor de un término, necesitamos conocer el anterior. Esto se llama ley de recurrencia.

Dada una sucesión donde el primer término es $a_1 = 5$ y la regla para obtener los siguientes es:

(Esto significa: "el término actual es igual al término anterior más 3").

Calcula los términos $a_2, a_3, a_4$ y $a_5$.

Una sucesión se define por una ley de recurrencia cuando sus términos se obtienen operando con los anteriores. Considera la sucesión definida de la siguiente manera:

• El primer término es $a_1 = 2$.

• El segundo término es $a_2 = 3$.

• Cualquier término siguiente se calcula multiplicando los dos términos inmediatamente anteriores: $a_n = a_{n-1} \cdot a_{n-2}$.

Calcula los términos $a_3, a_4, a_5$ y $a_6$. ¿Crees que esta sucesión crece rápido o lento?

Considera la sucesión definida por la siguiente ley de recurrencia:

Esta es la famosa Sucesión de Fibonacci.

1. Calcula los 10 primeros términos de la sucesión.

2. Vamos a estudiar el comportamiento del cociente (división) entre dos términos consecutivos. Calcula los siguientes valores con 4 cifras decimales:

   • $\frac{a_2}{a_1}$

   • $\frac{a_3}{a_2}$

   • $\frac{a_6}{a_5}$

   • $\frac{a_{10}}{a_9}$

3. ¿Observas que los resultados se van acercando a un número concreto? Investiga qué número irracional famoso se aproxima al dividir términos consecutivos de esta sucesión cuando $n$ es muy grande.

En informática y diseño de algoritmos es común encontrarse con la sucesión de Collatz, también conocida como la conjetura $3n+1$. Aunque parece sencilla, es uno de los problemas abiertos más famosos de las matemáticas.

La regla de formación es recurrente. Dado un número natural inicial $a_1$, los siguientes términos se obtienen así:

• Si el término anterior $a_{n-1}$ es par, el siguiente es la mitad: $a_n = \frac{a_{n-1}}{2}$.

• Si el término anterior $a_{n-1}$ es impar, el siguiente se obtiene multiplicando por 3 y sumando 1: $a_n = 3 \cdot a_{n-1} + 1$.

• Escribe la sucesión completa empezando por $a_1 = 13$ hasta que llegues al número 1.

• ¿Cuántos términos tiene la sucesión generada (longitud de la órbita) hasta alcanzar el 1 por primera vez?

• Comprueba qué ocurre si continúas aplicando la regla una vez has llegado al 1. Describe el ciclo que se forma.

Imagina un videojuego de plataformas en 2D. El personaje se encuentra al pie de una escalera de $n$ escalones.

El personaje tiene dos formas de subir:

• Subir 1 escalón de un salto.

• Subir 2 escalones de un supersalto.

Queremos saber de cuántas formas distintas ($F_n$) puede llegar a la cima de la escalera.

• Si hay 1 escalón ($n=1$): Solo hay 1 forma (salto de 1). $F_1 = 1$.

• Si hay 2 escalones ($n=2$): Puede hacer (1+1) o (2). Hay 2 formas. $F_2 = 2$.

• Si hay 3 escalones ($n=3$): Puede hacer (1+1+1), (1+2) o (2+1). Hay 3 formas. $F_3 = 3$.

• Calcula de cuántas formas distintas puede subir una escalera de 4 escalones ($F_4$) y de 5 escalones ($F_5$). Descríbelas (por ejemplo: 1+2+1+1).

• Encuentra la relación que existe entre $F_n$, $F_{n-1}$ y $F_{n-2}$.

• Si la escalera tuviera 10 escalones, ¿de cuántas formas distintas podría subirla?

Las sucesiones muchas veces surgen de patrones geométricos. Observa la siguiente imagen que muestra cómo crece un triángulo formado por puntos.

Cuenta el número de puntos de cada figura para formar una sucesión numérica.

1. Escribe los primeros 4 términos de esta sucesión.

2. ¿Cuántos puntos tendrá la figura 5?

3. Sin dibujar, ¿podrías decir cuántos puntos se añaden para pasar de la figura 4 a la figura 5?

Observa la siguiente construcción geométrica formada por fósforos.

1. Dibuja en tu cuaderno la Figura 4 siguiendo la misma lógica de construcción.

2. Escribe la sucesión numérica que representa el número total de fósforos necesarios para construir cada figura ($a_1, a_2, a_3, a_4$).

3. Describe con tus propias palabras cómo aumenta el número de fósforos al pasar de una figura a la siguiente.

En un supermercado, un empleado está apilando latas de conserva formando una estructura triangular para una promoción.

• En la fila superior (fila 1) coloca 1 lata.

• En la fila inmediatamente inferior (fila 2) coloca 3 latas.

• En la fila 3 coloca 5 latas.

• En la fila 4 coloca 7 latas.

Escribe la sucesión que representa el número de latas por fila y halla una fórmula general ($a_n$) que nos permita saber cuántas latas habrá en la fila $n$ sin tener que contarlas una a una.

Observa la siguiente construcción de figuras geométricas formada por pequeños cuadrados.

• La Figura 1 es un solo cuadrado central.

• La Figura 2 se forma añadiendo un cuadrado en cada lado libre de la figura anterior (arriba, abajo, izquierda, derecha).

• La Figura 3 sigue el mismo patrón, añadiendo cuadrados solo en los lados exteriores libres de la figura anterior.

Se pide:

1. Dibuja en tu cuaderno la Figura 4.

2. Escribe la sucesión formada por el número total de cuadrados de las 5 primeras figuras.

3. Razona y encuentra una expresión algebraica para el término general $a_n$ que permita calcular el número de cuadrados de la figura que ocupa la posición $n$.

4. Calcula cuántos cuadrados tendría la Figura 20 sin necesidad de dibujarla.

Tenemos un polígono regular de $n$ lados. Queremos estudiar la sucesión formada por el número total de diagonales que tiene dicho polígono según aumenta su número de lados.

• $a_3$ (triángulo, 3 lados): 0 diagonales.

• $a_4$ (cuadrado, 4 lados): 2 diagonales.

• $a_5$ (pentágono, 5 lados): 5 diagonales.

• Dibuja un hexágono regular ($n=6$) y traza todas sus diagonales. ¿Cuál es el valor de $a_6$?

• Observa que para pasar de $a_3$ a $a_4$ sumamos 2; de $a_4$ a $a_5$ sumamos 3; de $a_5$ a $a_6$ sumamos 4. Siguiendo este patrón de crecimiento, calcula cuántas diagonales tendrá un decágono ($n=10$).

• El término general de esta sucesión viene dado por la fórmula cuadrática $a_n = \frac{n(n-3)}{2}$. Utiliza esta fórmula para comprobar tu resultado del apartado anterior.

Se define el Triángulo de Sierpinski mediante un proceso iterativo (que se repite) de eliminación de áreas.

Partimos de un triángulo equilátero negro de área $A = 64 \text{ cm}^2$ (Iteración 0).

• Iteración 1: Unimos los puntos medios de los lados y recortamos el triángulo central invertido (ese triángulo blanco se elimina). Nos quedan 3 triángulos negros más pequeños.

• Iteración 2: Repetimos el proceso con cada uno de los 3 triángulos negros restantes.

Se pide:

1. Escribe la sucesión $T_n$ que representa el número de triángulos negros en cada paso (paso 0, paso 1, paso 2, paso 3). ¿Qué tipo de sucesión es?

2. Escribe la sucesión $S_n$ que representa el área negra total que queda en la figura en cada paso.

3. Calcula qué área negra quedará en la figura tras realizar la iteración número 5.

Observa la siguiente sucesión de números periódicos:

Aunque parece que simplemente "se añaden unos", vamos a analizar su valor fraccionario.

1. Escribe los tres primeros términos de la sucesión en forma de fracción irreducible.

2. Encuentra el término general $a_n$ expresado como fracción.

3. Calcula la suma de los dos primeros términos $a_1 + a_2$ y expresa el resultado como fracción.

4. Investiga y razona: ¿A qué número entero se aproxima muchísimo el término $a_n$ cuando $n$ es un número muy grande (por ejemplo, con 100 unos)? Pista: piensa en la fracción generatriz de $0,\widehat{9}$.