Propiedades de los radicales y racionalización de denominadores
Tu calculadora dice que $\sqrt{72} \approx 8.4852813742$, pero la clave de respuestas dice $6\sqrt{2}$. ¿Son el mismo número? ¿Y por qué una clave escribiría $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ como $\sqrt{6}-2$? En esta sección aprenderás los pasos que llevan cualquier expresión con radicales a su forma más simple, para que puedas comparar respuestas, sumarlas y seguir trabajando con ellas.
Simplificar: sacar factores
Un radical está en forma simplificada cuando no queda ningún factor que sea potencia perfecta bajo la raíz. En una raíz cuadrada, eso significa que no hay factores que sean cuadrados perfectos aparte del 1. En una raíz cúbica, que no hay cubos perfectos, y así sucesivamente.
Potencias perfectas útiles que debes reconocer:
| Tipo | Valores |
|---|---|
| Cuadrados | 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 |
| Cubos | 8, 27, 64, 125, 216 |
| Cuartas potencias | 16, 81, 256 |
Con variables se hace igual (supón que las variables son positivas). Divide cada exponente entre el índice: el cociente indica cuántas copias salen fuera y el residuo se queda dentro.
Extraiga todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) $\sqrt{72}$ b) $\sqrt[3]{250}$
Extraiga todos los factores posibles de los siguientes radicales:
- a) $\sqrt{72}$
- b) $\sqrt[3]{250}$
Introduzca los factores enteros dentro del radical y simplifique si es posible: a) $3 \sqrt{5}$ b) $2 \sqrt[4]{3}$
Introduzca los factores enteros dentro del radical y simplifique si es posible:
- a) $3 \sqrt{5}$
- b) $2 \sqrt[4]{3}$
Reducir el índice y radicales anidados
Los radicales son potencias con exponentes fraccionarios: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$. Eso facilita dos movimientos nuevos. Puedes reducir el índice simplificando la fracción $m/n$, y puedes combinar raíces anidadas multiplicando fracciones.
Simplifique los siguientes radicales dividiendo el índice y el exponente por su máximo común divisor: a) $\sqrt[6]{27}$ b) $\sqrt[8]{16}$
Simplifique los siguientes radicales dividiendo el índice y el exponente por su máximo común divisor:
- a) $\sqrt[6]{27}$
- b) $\sqrt[8]{16}$
Simplifique la siguiente expresión introduciendo los factores en el radical más interior y expresándola como una única raíz: $\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$
Simplifique la siguiente expresión introduciendo los factores en el radical más interior y expresándola como una única raíz:
$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{2}}$
Simplifique la siguiente expresión con radicales anidados, expresando el resultado como una única raíz: $\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{8}}}$
Simplifique la siguiente expresión con radicales anidados, expresando el resultado como una única raíz:
$\sqrt{2 \cdot \sqrt[3]{4 \cdot \sqrt{8}}}$
Sumar y restar radicales semejantes
Los radicales semejantes tienen el mismo índice y el mismo radicando. Puedes sumarlos o restarlos igual que los términos semejantes: $3x + 2x = 5x$, así que $3\sqrt{2}+2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
Realice las siguientes sumas y restas de radicales semejantes: a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$ b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$
Realice las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:
- a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
- b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$
Realice la siguiente operación, extrayendo primero los factores necesarios para que los radicales sean semejantes: $3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$
Realice la siguiente operación, extrayendo primero los factores necesarios para que los radicales sean semejantes:
$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$
Multiplicar y dividir radicales
Con el mismo índice, multiplica o divide los radicandos directamente: $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Con índices distintos, primero reescribe todo con un índice común.
Realice las siguientes multiplicaciones de radicales con el mismo índice y extraiga factores si es posible: a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ b)…
Realice las siguientes multiplicaciones de radicales con el mismo índice y extraiga factores si es posible:
- a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
- b) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{10}$
Reduzca a índice común y realice la siguiente multiplicación y división de radicales: $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$
Reduzca a índice común y realice la siguiente multiplicación y división de radicales:
$\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{6}}$
Racionalizar un denominador monomio
Dejar un radical en el denominador no es "incorrecto", pero no es la forma estándar. Racionalizar significa multiplicar el numerador y el denominador por lo que deje el denominador sin radicales. El valor no cambia, porque multiplicas por $1$.
Racionalice el denominador de las siguientes fracciones y simplifique el resultado: a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$
Racionalice el denominador de las siguientes fracciones y simplifique el resultado:
- a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
- b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$
Racionalice las siguientes fracciones con raíces de índice mayor que 2: a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$ b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$
Racionalice las siguientes fracciones con raíces de índice mayor que 2:
- a) $\frac{10}{\sqrt[5]{8}}$
- b) $\frac{3}{\sqrt[4]{27}}$
Extraiga todos los factores posibles de la siguiente raíz y simplifique la expresión resultante: $\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$
Extraiga todos los factores posibles de la siguiente raíz y simplifique la expresión resultante:
$\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$
Racionalizar con el conjugado
Si el denominador tiene dos términos, como $\sqrt{a}+\sqrt{b}$, multiplicar por $\sqrt{a}$ no elimina ambos radicales. Usa el conjugado: los mismos dos términos con el signo opuesto en medio.
Racionalice las siguientes expresiones multiplicando por el conjugado del denominador: a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$
Racionalice las siguientes expresiones multiplicando por el conjugado del denominador:
- a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
- b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$
Racionalice el denominador y simplifique al máximo la siguiente expresión: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
Racionalice el denominador y simplifique al máximo la siguiente expresión:
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
Racionalice el denominador de la siguiente fracción y simplifique al máximo operando el numerador: $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Racionalice el denominador de la siguiente fracción y simplifique al máximo operando el numerador:
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Aplicaciones a la geometría y la física
Los radicales aparecen siempre que usas el teorema de Pitágoras o una fórmula con raíz cuadrada. Las respuestas exactas conservan todos los dígitos, y los radicales simplificados las hacen legibles.
En un triángulo isósceles la altura cae en el punto medio de la base. Eso forma un triángulo rectángulo con catetos $h$ y $\tfrac{b}{2}$, y con hipotenusa igual a uno de los lados iguales.
El período $T$ de oscilación de un péndulo se calcula con la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. Si tenemos un péndulo de longitud $l = 12$ pies y consideramos la…
El período $T$ de oscilación de un péndulo se calcula con la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. Si tenemos un péndulo de longitud $l = 12$ pies y consideramos la gravedad como $g = 10$ pies/s$^2$, halle el valor exacto del período $T$. Racionalice el denominador y extraiga los factores posibles.
Calcule la longitud exacta de la diagonal principal $D$ de un cubo cuya arista mide $a = \sqrt{5}$ pulgadas. Recuerde que la diagonal de un cubo se calcula como…
Calcule la longitud exacta de la diagonal principal $D$ de un cubo cuya arista mide $a = \sqrt{5}$ pulgadas. Recuerde que la diagonal de un cubo se calcula como $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Exprese el resultado de la forma más simplificada posible.
La fachada de una cabaña tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $\sqrt{6}$ pies y los dos lados iguales miden $\sqrt{15}$ pies cada uno. Calcule…
La fachada de una cabaña tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $\sqrt{6}$ pies y los dos lados iguales miden $\sqrt{15}$ pies cada uno. Calcule el valor exacto de la altura $h$ sobre la base y el área total de la fachada. Racionalice los resultados si aparecen raíces en el denominador.
De vuelta al inicio: $\sqrt{72} = \sqrt{36\cdot2} = 6\sqrt{2} \approx 8.485$, así que tu calculadora y la clave de respuestas coinciden. Y con el conjugado, $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = \sqrt{6}-2$.