Funciones de raíz cuadrada (radicales)
Emma deja caer una pelota desde un puente que está a $h$ pies de altura. El tiempo que tarda en llegar al suelo se modela con $t(h)=\sqrt{h/5}$ segundos. Esta función hace algo que las rectas y las parábolas nunca hicieron: no está definida para todos los valores de entrada. No existen alturas negativas, y no hay raíz cuadrada real de un número negativo. Antes de usar una función radical, siempre debes averiguar dónde "vive".
La función raíz cuadrada
La función radical más sencilla es $f(x)=\sqrt{x}$. Toma una entrada $x$ y devuelve su raíz cuadrada principal (no negativa). Estos son algunos valores.
| $x$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sqrt{x}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Marca esos puntos y únelos. Obtienes la mitad de una parábola acostada.
Fíjate en tres cosas. La gráfica empieza en $(0,0)$ y nunca va a la izquierda del eje $y$. Nunca baja del eje $x$. Sigue subiendo, pero cada vez más despacio. Por lo tanto, el dominio es $x\ge 0$ y el rango es $y\ge 0$.
Para evaluar una función radical, sustituye la entrada en el radicando y calcula la raíz.
Dada la función $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de sus imágenes para $x = 5$ y $x = 13$.
Dada la función $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de sus imágenes para $x = 5$ y $x = 13$.
Cómo hallar el dominio
Hallar el dominio siempre consiste en dos pasos. Escribe "radicando $\ge 0$" y luego resuelve la desigualdad (también llamada inecuación).
Mira la gráfica. A la izquierda de $x=8$ no hay curva. La función no "vale cero" ahí; está indefinida.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x - 8}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x - 8}$.
Halla el dominio de la función $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.
Halla el dominio de la función $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.
Cuando el radicando es cuadrático
¿Y si el radicando es algo como $x^2-9$? Entonces la condición del dominio es una desigualdad cuadrática, y la respuesta puede ser un intervalo entre dos números o dos partes fuera de ellos.
Este es el método.
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Escribe radicando $\ge 0$.
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Halla dónde el radicando es igual a $0$ (factorízalo). Esos son los puntos frontera.
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Imagina la parábola $y=g(x)$. Te interesa la parte que está sobre el eje $x$ o en él.
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Comprueba con un punto de prueba.
Ahora una parábola que abre hacia abajo. Sea $g(x)=-x^2+4x+5=-(x-5)(x+1)$. Solo es no negativa entre sus ceros.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.
Traslaciones y reflexiones de la gráfica
Mueve $h$ y $k$ y observa el punto de inicio. Una buena forma de relacionar una gráfica con su ecuación es usar los puntos clave. Desde el inicio $(h,k)$, la curva pasa por $(h+1,\,k+1)$, $(h+4,\,k+2)$ y $(h+9,\,k+3)$. Por ejemplo, $\sqrt{x-2}$ empieza en $(2,0)$ y luego pasa por $(3,1)$ y $(6,2)$.
Cuando el radicando tiene un coeficiente en $x$, halla el valor de $x$ donde empieza resolviendo radicando $=0$. El rango sale del número que se suma fuera de la raíz.
Observa las tres funciones representadas en la siguiente gráfica. Identifica cuál de ellas corresponde a la expresión $f(x) = \sqrt{x - 2}$ y justifica tu respuesta…
Observa las tres funciones representadas en la siguiente gráfica. Identifica cuál de ellas corresponde a la expresión $f(x) = \sqrt{x - 2}$ y justifica tu respuesta indicando su dominio.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ que resulta al desplazar la gráfica de $f(x)$ tres unidades hacia la derecha y dos…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ que resulta al desplazar la gráfica de $f(x)$ tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba.
Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifica tu respuesta analizando las características de la función radical.
Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifica tu respuesta analizando las características de la función radical.
Cómo despejar $x$ y hallar las intersecciones con los ejes
Evaluar da una salida a partir de una entrada. Muchas veces quieres ir en sentido contrario: dada la salida, hallar la entrada. En una función radical, deshaces la raíz cuadrada elevando al cuadrado.
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Aísla el radical en un lado.
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Eleva al cuadrado ambos lados.
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Resuelve la ecuación que resulta.
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Comprueba tu respuesta en la ecuación original.
Intersecciones con los ejes. La intersección con el eje $y$ es $f(0)$, pero solo si $0$ está en el dominio. La intersección con el eje $x$ se halla resolviendo $f(x)=0$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.
Calcula el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ toma el valor $4$.
Calcula el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ toma el valor $4$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.
Intersecciones entre gráficas y parámetros desconocidos
Para hallar dónde se cortan dos gráficas, iguala sus expresiones y resuelve. Luego comprueba la solución en las ecuaciones originales. También debe estar en el dominio de ambas funciones.
También puedes usar puntos de la gráfica para hallar números desconocidos en la ecuación.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tenga como dominio el intervalo $[-2, +\infty)$ y pase por el punto $(2, 4)$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tenga como dominio el intervalo $[-2, +\infty)$ y pase por el punto $(2, 4)$.
Observa las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{x + 1}$ y $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina el dominio de cada una de ellas y calcula el punto exacto donde se…
Observa las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{x + 1}$ y $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina el dominio de cada una de ellas y calcula el punto exacto donde se intersecan.
Halla los puntos de intersección entre la recta $y = x - 2$ y la función radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprueba que la solución obtenida pertenece al dominio de ambas…
Halla los puntos de intersección entre la recta $y = x - 2$ y la función radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprueba que la solución obtenida pertenece al dominio de ambas funciones y satisface la ecuación original.
Radicales definidos por partes, continuidad y simetría
Una función definida por partes (piecewise function) usa una regla distinta en cada parte del dominio. Las funciones radicales se combinan con frecuencia de esta forma. Estas son tres preguntas que quizá debas responder.
Dominio: es la unión de los dominios de las partes, cada uno restringido a su propio intervalo.
Continuidad en $x=c$: la gráfica se puede dibujar pasando por $x=c$ sin levantar el lápiz. En una función definida por partes, comprueba que las partes se encuentran en el mismo punto ahí.
Simetría: una función es par si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$ del dominio (la gráfica es simétrica respecto al eje $y$). Es impar si $f(-x)=-f(x)$ (la gráfica es simétrica respecto al origen). Para comprobarlo, calcula $f(-x)$ para $x>0$ y para $x<0$, usando cada vez la parte correcta.
Observa la siguiente función definida por partes y su representación gráfica:…
Observa la siguiente función definida por partes y su representación gráfica:
$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Estudia su dominio, razona si es una función continua en $x=0$ y demuestra algebraicamente si posee algún tipo de simetría (par o impar).
Funciones radicales en el mundo real
Aparece una raíz cuadrada siempre que una cantidad depende del cuadrado de otra y despejas la segunda. Piensa en objetos que caen, péndulos, ondas y la distancia al horizonte.
Esta es la fórmula del péndulo $T(L)=2\pi\sqrt{L/10}$ ($T$ está en segundos y $L$ es la longitud de la cuerda en pies). Recorre la curva y fíjate en cómo se aplana.
Para evaluar, sustituye. Para hallar la entrada, aísla la raíz, eleva al cuadrado y comprueba.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer desde una altura $h$ (en pies) se puede aproximar mediante la función $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. ¿Cuánto tiempo…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer desde una altura $h$ (en pies) se puede aproximar mediante la función $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo una pelota que se deja caer desde un puente de $45$ pies de altura?
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple viene dado por la función $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en pies. Si queremos…
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple viene dado por la función $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en pies. Si queremos construir un péndulo que tenga un periodo de exactamente $2$ segundos, ¿qué longitud debe tener el hilo? (Utiliza $\pi \approx 3.14$).
La velocidad $v$ (en mph) a la que se propaga un tsunami en el océano depende de la profundidad $d$ (en pies) del agua, según la función $v(d) = 11.2 \sqrt{d}$. Si se ha…
La velocidad $v$ (en mph) a la que se propaga un tsunami en el océano depende de la profundidad $d$ (en pies) del agua, según la función $v(d) = 11.2 \sqrt{d}$. Si se ha detectado que un tsunami avanza a una velocidad de $336$ mph, ¿a qué profundidad se encuentra el océano en ese punto?
Escala y dominio en contexto
Escala. Como $\sqrt{m^2\cdot x}=m\sqrt{x}$, para multiplicar por $m$ la salida de una función de raíz cuadrada, tienes que multiplicar la entrada por $m^2$.
Dominio en contexto. La fórmula puede tener un dominio restringido, y la situación real puede restringirlo aún más (por ejemplo, los conteos deben ser números enteros).
La distancia $d$ (en millas) a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ (en pies) sobre el nivel del mar se puede aproximar mediante…
La distancia $d$ (en millas) a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ (en pies) sobre el nivel del mar se puede aproximar mediante la función $d(h) = 3.57 \sqrt{h}$. Si te encuentras en la parte superior de un faro a $10$ pies de altura, ¿cuántos pies adicionales tendrías que subir para que la distancia al horizonte visible se duplique?
El costo de producción $C$ (en dólares) de una fábrica de componentes electrónicos depende del número de unidades producidas $x$ según la función…
El costo de producción $C$ (en dólares) de una fábrica de componentes electrónicos depende del número de unidades producidas $x$ según la función $C(x) = 200 + 10\sqrt{x - 100}$. Determina el dominio de la función en este contexto. Si el costo de un lote ha sido de $\$350$, ¿cuántas unidades se han producido?
Razón de cambio y geometría
Recuerda la razón de cambio promedio de $f$ de $x=a$ a $x=b$: $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ En una función radical no es constante. La gráfica es curva, así que la razón depende del intervalo.
Geometría. Una raíz cuadrada convierte área en longitud. Si una cara de un cubo tiene área $A$, entonces su arista es $a=\sqrt{A}$. Como $V=a^3$, podemos escribir el volumen en términos de $A$ así: $$V=(\sqrt{A})^3=A\sqrt{A}.$$
El radio $r$ de un círculo en función de su área $A$ viene dado por $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcula la tasa de variación media del radio cuando el área pasa de…
El radio $r$ de un círculo en función de su área $A$ viene dado por $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcula la tasa de variación media del radio cuando el área pasa de $100\pi$ a $400\pi$ unidades cuadradas.
La relación entre el volumen $V$ de un cubo y su arista $a$ es $V = a^3$. Sin embargo, si consideramos el área de una de sus caras $A = a^2$, expresa la arista $a$ en…
La relación entre el volumen $V$ de un cubo y su arista $a$ es $V = a^3$. Sin embargo, si consideramos el área de una de sus caras $A = a^2$, expresa la arista $a$ en función del área $A$. Luego, expresa el volumen $V$ en función del área $A$ usando una función radical y calcula el volumen si el área de una cara es $25 \text{ cm}^2$.
De vuelta al puente: para $t(h)=\sqrt{h/5}$, la condición $h/5\ge 0$ significa $h\ge 0$, así que el dominio es $[0,\infty)$. Eso coincide con la realidad, ya que no existen alturas negativas. Una pelota que se deja caer desde un puente de 45 ft tarda $t(45)=\sqrt{9}=3$ segundos en llegar al suelo.